不定积分概念性质(26)

1、2021-11-13微积分-不定积分概念与性质1上课 手机手机 关了吗？关了吗？2021-11-13微积分-不定积分概念与性质2第第5章章 不定积分不定积分2021-11-13微积分-不定积分概念与性质3( )?df xdx 微分微分 ?( )df xdx 积分积分 如：已知如：已知ss(t)，求，求v(t) 已知已知vv(t)，求，求s(t) 微分微分 积分积分 5.1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质1 运算角度运算角度一、问题的引入一、问题的引入2 实际问题实际问题即：微分的逆运算是积分即：微分的逆运算是积分2021-11-13微积分-不定积分概念与性质4例例 xxcossin

2、xsin是是xcos的的原原函函数数. 1ln(0)xxx 如果在区间如果在区间i内，内，1.定义定义:可可导导函函数数)(xf的的即即ix ，都都有有)()(xfxf 或或dxxfxdf)()( ，导函数为导函数为)(xf，或或dxxf)(在在区区间间i内内原原函函数数. .二、原函数二、原函数 ( )fx ( )( )fxx 是是 的一个原函数的一个原函数.问题问题: 1.原函数何时存在原函数何时存在? 2.有多少个有多少个? 3.怎样求怎样求?2021-11-13微积分-不定积分概念与性质52. . 原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数

3、.问题：问题： (1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例 xxcossin xcxcossin （ 为任意常数）为任意常数）c那那么么在在区区间间i内内存存在在可可导导函函数数)(xf，使使ix ，都有，都有)()(xfxf . .(2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？2021-11-13微积分-不定积分概念与性质63. 原函数结构定理：原函数结构定理：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxf ccxf )(都都是是)(xf的的原原函函数数.（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)( xf)( xg)( xf则则cxgxf )

4、()(（ 为任意常数）为任意常数）c证证 )()()()(xgxfxgxf 0)()( xfxfcxgxf )()(（ 为任意常数）为任意常数）c 即：如果函数有一个原函数，则必有无穷多即：如果函数有一个原函数，则必有无穷多个原函数，且它们之间只相差一个常数，因而，个原函数，且它们之间只相差一个常数，因而，广义地讲，一个函数的原函数只有一个。广义地讲，一个函数的原函数只有一个。全体原函数全体原函数 任意一个原函数任意一个原函数2021-11-13微积分-不定积分概念与性质7任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数1. 不定积分的定义：不定积分的定义：在在区区间间i内内，cxfdxxf )(

5、)(被积表达式被积表达式积分变量积分变量函函数数)(xf的的带带有有任任意意常数项的原函数常数项的原函数称称为为)(xf在在区区间间i内内的的不定积分不定积分，记为，记为 dxxf)(. .即：即：三、不定积分三、不定积分2021-11-13微积分-不定积分概念与性质8例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 cxdxx2021-11-13微积分-不定积分概念与性质92. 不定积分的几何意义不定积分的几何意义一簇曲线一簇曲线o( )yf x ( )yf xc函函数数)(xf的的原原函函

6、数数的的图图形形称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线.初始条件：在初始条件：在f (x)的所有原函数中确定一个的条件的所有原函数中确定一个的条件.2021-11-13微积分-不定积分概念与性质10例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的一个原函数的一个原函数.,22 cxxdx,)(2cxxf 由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）, 1 c所求曲线方程为所求曲线方程

7、为. 12 xy3. 不定积分的性质不定积分的性质性质性质1 求不定积分和求导数、微分互为逆运算求不定积分和求导数、微分互为逆运算性质性质2性质性质3(先积后微，形式不变；先微后积，相差常数）先积后微，形式不变；先微后积，相差常数） ( )f x dx ( )f x( )df x dx ( )f x dx( )fx dx ( )f xc ( )df x ( )f xc ( )( )kf x dxkf x dx ( )( )( )( )f xg xdxf x dxg x dx( )( )( )( )f xg x dxf x dxg x dx23( )( )( )( )f xg xf x dxg

8、x dx= 注：注：2021-11-13微积分-不定积分概念与性质12(1) 0dxc 基本积分表基本积分表(1):1(2)(1);1xx dxc 11xx (5)dxx (3)xe dx ;xec (4)xa dx ;lnxaca 5.2 基本积分公式与直接积分法基本积分公式与直接积分法ln;xc 基本积分公式要熟记基本积分公式要熟记2021-11-13微积分-不定积分概念与性质13 xdxcos)6(;sincx xdxsin)7(;coscx xdx2cos)8( xdx2sec;tancx xdx2sin)9( xdx2csc;cotcx xdxxtansec)10(;seccx xd

9、xxcotcsc)11(;csccx 21(12)1dxx arcsin;xc 21(13)1dxx arctan.xc 基本积分公式要熟记基本积分公式要熟记2021-11-13微积分-不定积分概念与性质142321x dxxdxdx32xxxc2(321)xxdx 例例2 2 求积分求积分.2dxxx dxx 2572x 例例1 1 求积分求积分2.7c 注注:最后结果最后结果在没有积分在没有积分号时要加号时要加c2021-11-13微积分-不定积分概念与性质15例例3 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xa

10、rcsin2 c 例例4 4 (32 )xxedx (32 )xxe dxdex231ln2xxxeec 2021-11-13微积分-不定积分概念与性质16例例5 5 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(222111dxxx dxxdxx 1112arctanln.xxc2021-11-13微积分-不定积分概念与性质17例例6 6 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1cxx 2021-11-13微积分-不定积分概念与性质18例例

11、7 7 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21cx 说明：说明：以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.2021-11-13微积分-不定积分概念与性质19解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costancxx , 5)0( y, 6 c所求曲线方程为所求曲线方程为. 6costan xxy2021-11-13微积分-不定积分概念与性质20基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的

12、概念：)()(xfxf 不定积分的概念：不定积分的概念： cxfdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系小结直接积分法直接积分法思考题思考题符号函数符号函数 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf在在(, +)内内是否存在原函数？是否存在原函数？为什么？为什么？解答解答假设有原函数假设有原函数f(x)，则，则12,0( )? ,0,0 xcxf xxxcx 故假设错误故假设错误即即f (x)在在(, +)内不存在原函数内不存在原函数.结论结论含有含有第一类间断点第一类间断点的函数都没有原函数的函数都没有原函数.由由“f(x)可导必连续可导必连续”得得:c1c2f

13、(0),0( ),0,0 xcxf xcxxcx 但但f(x)在在x0不可导不可导2021-11-13微积分-不定积分概念与性质22提示：化分数指数提示：化分数指数提示：用除法提示：用除法练习：练习：421xdxx xxx dx 2(1)(2)xxdxx 提示：用除法提示：用除法提示：用除法提示：用除法31xdxx 11:(1)ln111dxd xxcxx注注42(1)11xxxd 3(1)11xxdx 凑微分法求不定积分！2021-11-13微积分-不定积分概念与性质23提示：用三角公式提示：用三角公式提示：用三角公式提示：用三角公式221sincosdxxx cos 2sincosxdxxx 22(tan2cot)xx dx 2222sincossincosxxdxxx 提示：用三角公式提示：用三角公式2(tancot)xx dx (cossin)xx dx cossinxxc tancotxxc 22secc(c)sxx dx tancotxxc 2021-11-13微积分-不定积分概念与性质24提示：用三角公式提示：用三角公式提