隐函数求导法

1、17.4 隐函数求导法隐函数求导法7.4.1 一个方程的情形一个方程的情形7.4.2 方程组的情形方程组的情形20),(. 1 yxf隐函数的求导公式隐函数的求导公式7.4.1 一个方程的情形一个方程的情形7.4 隐函数求导法隐函数求导法3这个定理我们不证。现仅就公式作如下推导。这个定理我们不证。现仅就公式作如下推导。 将方程所确定的函数将方程所确定的函数y=f (x) 代入原方程代入原方程由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得, 0 dxdyyfxf 由于由于fy 连续连续,且且fy(x0,y0) 0,所以存在所以存在(x0,y0) 的一个邻域的一个邻域,在这邻

2、域内在这邻域内fy0 ,于是得于是得。yxffdxdy 其左端可以看作是其左端可以看作是x的一个复合函数，求这个函的一个复合函数，求这个函数的全导数，数的全导数，得恒等式得恒等式 f(x，f (x)0，)0( dxdyffyx4 隐函数的高阶导数隐函数的高阶导数 由方程由方程f(x，y)=0 在一定条件下（定理在一定条件下（定理6.4.1中的中的条件）可确定隐函数条件）可确定隐函数y=f (x) ，且有，且有yxffdxdy 如果如果f(x，y) 的二阶偏导数也都连续，将上式两端的二阶偏导数也都连续，将上式两端对对x再一次求导，右端可视作再一次求导，右端可视作x的复合函数，有的复合函数，有22

3、2)()(yyyyxxxyxxyfdxdyfffdxdyfffdxyd 3222yyyxyxxyyxxffffffff 不必记这个公式，要知道这一方法。不必记这个公式，要知道这一方法。 5解解 令令1),(22 yxyxf则则,2xfx ,2yfy , 0)1 , 0( f, 02)1 , 0( yf依定理知方程依定理知方程0122 yx在点在点)1 , 0(的某邻域的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且内能唯一确定一个单值可导、且0 x时时1 y的的函数函数)(xfy 6函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为 yxffdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyx

4、xy ,13y . 1022 xdxyd7解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxf ,),(22yxyxyxfx ,),(22yxxyyxfy yxffdxdy .xyyx ,arctan)ln(xyyx 2221,arctan)ln(求导求导两边对两边对或者在或者在xxyyx 2221,2222212221xyxyyxyxyyx .xyyxy 例例280),(. 2 zyxf 这个定理我们不证，与定理这个定理我们不证，与定理7.4.1类似，仅就公式类似，仅就公式作如下推导作如下推导:9由于由于 f(x，y，f (x ，y)0， 将上式两端分别对将上式两端分别对x和和y求导，应用

5、复合函数求导，应用复合函数求导法则得求导法则得.0 ,0 yzffxzffzyzx 因为因为fz连续连续,且且fz(x0,y0,z0)0 ，所以存在点，所以存在点(x0,y0,z0)的一个邻域，在这个邻域内的一个邻域，在这个邻域内fz0 ,于是得于是得. ,zyzxffyzffxz ),(0),(2211nnxxxzzzxxxf 所确立的所确立的对于对于., 2 , 1niffxzzxii 注注10解解 令令则则,4),(222zzyxzyxf ,2xfx , 42 zfz,2zxffxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 求偏导求

6、偏导两边对两边对或者在或者在xzzyx04222 ,zxxzxzxzzx 242211思路：思路：把把z看看成成yx,的的函函数数对对x求求偏偏导导数数得得xz ， 把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得yx ，解解令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz 把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 12整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 13 例例5

7、 5 设设(u，v) 具有连续的偏导数，证明由方程具有连续的偏导数，证明由方程 (cxaz，cybz)=0 确定的函数确定的函数z=f (x,y) ，满足，满足 . cyzbxza 方程的两端对方程的两端对x 求导有求导有 0)()( xzbxzacvu证明证明 方法一方法一 利用复合函数求导法则利用复合函数求导法则可得可得 .uuvczxab14方程两端对方程两端对y 求偏导有求偏导有 0)()( yzbcyzauu可得可得 .vuvbacyz 于是有于是有 . cbabcacyzbxzavuvu 15方法二方法二 公式法公式法 记记(cxaz，cybz)=f (x，y，z)，则，则fx=c

8、u，fy=cv，fz=aubv ,uuuzxbacffxz ,uuuzybacffyz 所以所以 . cyzbxza 16方法三方法三 利用全微分形式的不变性利用全微分形式的不变性移项移项 cudx+cvdy=(au+bv)dz.dybacdxbacdzvuvvuu ,uuubacxz vuvbacyz 所以所以 于是于是 .cyzbxza d(cxaz，cybz)=ud（cxaz）+vd(cybz) =u(cdx-adz)+v(cdy-bdz)=0 17 0),(0),(vuyxgvuyxf7.4.2 方程组的情形方程组的情形18在点在点),(0000vuyxp不等于零，则方程组不等于零，则

9、方程组 0),( vuyxf、 0),( vuyxg 在点在点),(0000vuyxp的某一邻域内恒能唯一确定一的某一邻域内恒能唯一确定一组组连续且具有连续偏导数的函数连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu ，),(yxvv ，它们满足条件，它们满足条件),(000yxuu , ,vv 0 ),(00yx，并有，并有 ,),(),(1vuvuvxvxggffggffvxgfjxu 19vuvuxuxuggffggffxugfjxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyggffggffvygfjyu .),(),(1vuvuyuyuggffggffyugfjyv 20解解1直接代入公

10、式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项x, vxvxxuyuxvyxuxxyyxj ,22yx 21在在0 j的条件下，的条件下，xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv 22dxdzdxdyxzzxyyzyxgzyxf,),(),(0),(0),(要求要求在一定条件下，确定了在一定条件下，确定了特别特别 条件条件: (1) f,g连同它们的一切偏导在连同它们的一切偏导在(x0,y0,z0)的领域内连续。的领域内连续。（2）f (x0,y0,z0)=0,g (x0,y0,z0)=00),(),()3()0,0( yxzygfj证略。求法证略。求法注注23 00dxdzgdxdyggdxdzfdxdyffzyxzyx从中解出从中解出dxdzdxdy,求导：求导：两边对两边对对对xxzxyxgxzxyxf 0)(),(,(0)(),(,(24dxdzdxdyzyxyxz,203222222求求 解解运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 x 求