导数的概念72618

1、 0tt ,0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求tt如图如图,0tt 的时刻的时刻取一邻近于取一邻近于, t 运动时间运动时间tsv 平均速度平均速度00ttss ).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得2t)(tlimv00 gtt瞬时速度瞬时速度.0gt 0limtsstt 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位

2、置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 t0 xxoxy)(xfy cnm 如果割线如果割线mn绕点绕点m旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置mt,直线直线mt就称为曲线就称为曲线c在点在点m处的处的切线切线.极限位置即极限位置即. 0, 0 nmtmn).,(),(00yxnyxm设设的斜率为的斜率为割线

3、割线mn00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxmnc沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线mt.)()(limtan000 xxxfxfkxx 如图如图,0limxyyxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim0000000000000( )()()limlimlim.xxxxxyyf xf xyfxxxxxx ,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或:记记.,0慢程度慢程度而变化的快而变化的快因变量随自变量的变化因变量随自变量的变化反映了反映了它它处的变化率处的变化率点导数是因变量在点点导数是因变量在点 x0limxyyxx 0, xxx xxfxxfxy

4、yxxxx )()(limlim00000.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx ,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或:记记.)(,)(内可导内可导在开区间在开区间就称函数就称函数处都可导处都可导内的每点内的每点在开区间在开区间如果函数如果函数ixfixfy 导数的定导数的定义义xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx ,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或:记记左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 右导数右导数:;)()(lim)()(

5、lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.例例.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy导数的定导数的定义义xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx

6、 ,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或:记记左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 右导数右导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.导数的定导数的定义义xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx ,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或:记记.)(),(,.)(.)(,dxxdfd

7、xdyxfyxfxfix或或记作记作的导函数的导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或.)()(00 xxxfxf 导数与导函数的关系导数与导函数的关系步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数ccxf .)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数.)1, 0()(的

8、导数的导数求函数求函数 aaaxfx.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya00( )()yyyf xf x 0000( )()yyf xf xyxxxxx 0000( )()limlim.xxxf xf xyyxxx );()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数( )sin()sinf xxxx ( )sin()sinf xxxxxx 00( )sin()sin( )limlimxxf xxxxfxxx 0002222cos

9、sinlimxxxxx cos x 4422(sin )(cos )xxxx (sin )cosxx xxccos)(sin0)( 1()xx aaaxxln)( xxee )(cos )sinxx 导数的定导数的定义义xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfyx )()(lim0即即oxy)(xfy t0 xm).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 导数的定导数的定义义xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxx

10、fyx )()(lim0即即oxy)(xfy t0 xm0()t, ()fxg 为倾角为倾角切线的斜率切线的斜率例例7 7.,)2 ,21(1方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.lim)(

11、0dtdststvt 电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.lim)(0dtdqtqtit 质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.导数的定导数的定义义xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfyx )()(lim0即即oxy)(xfy t0 xm0()t, ()fxg 为倾角为倾角xy2xy 0 xy 切线的斜率切线的斜率xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf处不可导处不可导在在0 x31xyxy01例如例如, 1)(

12、3 xxf.1处不可导处不可导在在 x例例.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处有处有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx导数的定导数的定义义xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfyx )()(l

13、im0即即oxy)(xfy t0 xm0()t, ()fxg 为倾角为倾角xy2xy 0 xy 切线的斜率切线的斜率1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.? 一、一、 填空题：填空题

14、：1 1、 设设)(xf在在0 xx 处可导，即处可导，即)(0 xf 存在，则存在，则 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . .2 2、 已知物体的运动规律为已知物体的运动规律为2ts ( (米米) )，则该物体在，则该物体在 2 t秒时的速度为秒时的速度为_ ._ .3 3、 设设321)(xxy , ,221)(xxy , ,53223)(xxxxy , , 则则它们的导数分别为它们的导数分别为dxdy1=_ =_ ，dxdy2=_ =_ ，dxdy3=_ .=_ .练习题练习题4 4、 设设2)(xxf , ,则则 )(xff_ _

15、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； )(xff_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .5 5、 曲曲 线线xey 在在 点点)1,0(处处 的的 切切 线线 方方 程程 为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 在在下下列列各各题题中中均均假假定定)(0 xf 存存在在，按按照照导导数数的的定定义义观观察察下下列列极极限限，分分析析并并指指出出a表表示示什什么么？ 1 1、axxxfxfxx 00)()(lim0； 2 2、ahhfh )(lim0，其其中中)0(0)0(ff 且且

16、存存在在； 3 3、ahhxfhxfh )()(lim000. .三三、证证明明：若若)(xf为为偶偶函函数数且且)0(f 存存在在，则则0)0( f. .四四、 设设函函数数 0,00,1sin)(xxxxxfk问问k k满满足足什什么么条条件件，)(xf在在0 x处处 ( (1 1) )连连续续； （2 2）可可导导；（3 3）导导数数连连续续. .五五、 设设函函数数 1,1,)(2xbaxxxxf, ,为为了了使使函函数数)(xf在在1 x处处连连续续且且可可导导，ba ,应应取取什什么么值值. .六六、 已已知知 0,0,sin)(xxxxxf, ,求求)(xf. .七七、 证证明明：双双曲曲线线2axy 上上任任一一点点处处的的切切线线与与两两 坐坐标标轴轴构构成成的的三三角角形形的的面面积积都都等等于于22a. .练习题答案练习题答案一、一、1 1、)(0 xf ； 2 2、)(0