一元函数与二元函数的异同

1、讨论一元函数与二元函数在连续、可导、可微上的异同一元函数与二元函数在连续、可导、可微性上的异同小组成员：计焯峰、李世林李玉彬、董慧峰饶朝炎、朱宏列张洪石、丁康康 班级：电气11班 一元函数定义：设有两个变量x和y，D是一个给定的数集，如果对于每个数xD，变量y按照一定的法则总有一个确定的数值和他对应，则称变量y是变量x的函数，记作y=f(x)，数集D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量.二元函数定义：设有变量x、y与z，如果变量x，y在一定的范围内任意取定一对值（x，y）时，变量z按照一定的对应法则f总有唯一确定的数值与之对应，那么，就称这个对应法则是变量x,y的二元函数，记作z=f（

2、x，y）,变量x,y称为自变量，变量z称为因变量，自变量x，y允许数值的范围称为函数的定义域.1、 一元函数与二元函数的在连续性上的异同一元函数的连续性定义： 设函数在点的某个邻域内有定义，如果当时，函数的极限存在，且等于，即， 那么就称函数在点处连续，并且称点是函数的连续点.二元函数的连续性定义： 设有二元函数，点是D的某个定义区域的内点或其属于D的边界点，如果，那么就称函数在点处连续.1 在有界闭区域上连续多元函数，也和闭区间上连续的一元函数一样有两个性质：性质1（有界性与最大值最小值定理）：在有界闭区间上连续的多元函数必有最大值和最小值。性质2（介值定理）：在有界闭区域上连续的多元函数必

3、定能取得介于函数在该区域函数在该区域上的最大值和最小值之间的任何数值。2 基本初等函数在其定义域内是连续的；一切二元初等函数在其定义域内是连续的。3 对于闭区间上连续的一元函数存在零点定理，而在有界闭区域上连续多元函数无零点定理。2、 一元函数与二元函数在导数上的异同一元函数的导数定义： 设函数在点的某一邻域内有定义，并设自变量在处取得增量(点仍在该邻域内)时，相应地，函数取得增量。如果与之比当时的极限存在，即如果极限 存在，那么，称此极限为函数在点处的导数，记为，即. 这时也称函数在点可导，或称函数在点具有导数或导数存在。二元函数的偏导数定义：设函数在点的某个邻域内有定义.当固定在而在处有增

4、量时，相应地，函数有增量.如果存在，那么称此极限为函数在点处对的偏导数.1 可导与连续的关系一元函数：1、若函数在点处可导，则在点处必连续.2、函数在点处连续，但在点处不一定可导.二元函数：1、 若函数在点处可导，但在点处不一定连续.2、 若函数在点处连续，但在点处不一定可导.2 一元函数的求导法则适应二元函数。例1：讨论函数在点x=0处的连续性与可导性.解：是定义在内的初等函数，故在x=0处连续. 因为,所以，即在处不可导.:例2：1）讨论在点（0,0）处的连续性.解：当点P沿轴趋向时，因为，所以，类似地，当点P沿轴趋向时，虽然点P以上述两种特殊方式趋于原点时函数的极限存在且相等，但是，当P

5、沿直线趋向时，其值因k而异，故不存在，所以在点（0,0）处不连续.2） 设，求在坐标原点（0,0）处的偏导数. 解：在坐标原点（0,0）处关于、的偏导数为三、一元函数与二元函数在微分上的异同一元函数的微分定义：设有函数.如果函数对于自变量在点处的增量的相应增量可以表示为 ，其中A是与无关的常数，那么，称函数在点处可微，并且称A为函数在点处的微分.二元函数的微分定义：如果函数在点的全增量可以表示为，其中不依赖于，而仅与有关，（显然，当且仅当且），那么称函数在点处可微分，而称为函数在点处的全微分.1 一元函数在一点可微的充要条件：一元函数函数在该点可导，并且函数的微分就是函数的导数与自变量的增量的

6、乘积； 二元函数可微分的充要条件：如果函数的偏导数在点的某邻域内存在，并且在点处这两个偏导数都连续，那么，函数在该点处可微分.2 对于一元函数与二元函数在某点连续，不一定可微，但可微一定连续；二元函数中，偏导数存在不一定可微，可微则偏导数存在，这与一元函数中，可微与可导等价有区别.例3：由例2的讨论知，函数，在点（0,0）处的两个偏导数都存在且有.但该函数的极限不存在，也就是说它在点（0,0）处不连续，因此该函数在点（0,0）不可微.:例4：设为可微函数，证明：若=1时，有，则必有 或.证：因为由题设知，将=1代入可得：，所以必有 或例5：设，其中在（0,0）点的某邻域内连续. （1）试问：满足什么条件时，存在. （2）证明：在点（0,0）处可微的充要条件是.解：（1） 要存在，则 要存在，则所以当时，存在.证：（2）充要性：已知，欲证在点（0,0）处可微，只需证注意到，所以. 又，由夹逼准则知. 从而在点（0,0）处可微，并且.必要性