第九章 多元函数微分学

1、1第九章第九章 多元函数多元函数微分学微分学 ( 下下 )21、设空间曲线的方程、设空间曲线的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.第六节第六节 偏导数在几何上的应用偏导数在几何上的应用m.),(0000tttzzyyxxm 对应于对应于;),(0000ttzyxm 对应于对应于设设m 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面3考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxmm 割线割线 的方程为的方程为mm ,000zzzyy

2、yxxx 4,0,时时即即当当 tmm得曲线在得曲线在m处的切线方程处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx 切线的方向向量称为曲线的切线的方向向量称为曲线的切向量切向量： )(),(),(000tttt 法平面法平面：过：过m点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面,0)()()(000000 zztyytxxt t t t ,000zzzyyyxxx 5解解例例1 1)22, 1, 12( 处处的的切切线线及及法法平平面面方方程程. . 点点)22, 1, 12( 对应的参数对应的参数2 t, , ，txcos1 ，tysin ，2cos2tz 所以在该点处的切向量为所以在

3、该点处的切向量为 求求曲曲线线ttxsin , ,tycos1 , ,2sin4tz 在在点点 ,2, 1, 1 t所求所求切线方程为切线方程为 ,22211112/ zyx 法平面方程为法平面方程为 ，0)22(2112/ zyx .42/2 zyx即即62、设空间曲线方程为、设空间曲线方程为,)()( xgzxfy,),(000处处在在zyxm,)()(100000 xgzzxfyyxx 0)()()(00000 zzxgyyxfxx法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为7求求曲曲线线6222 zyx，0 zyx在在点点 例例2 2)1, 2, 1( 处处的的切切线线及及法法平平面面

4、方方程程. 解解将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导并移项，得求导并移项，得 ， 1ddddddddxzxyxxzzxyy，011 zyzyj解得解得jzxxy11dd ，zyxz jxyxz11dd ，zyyx ,0dd pxy,1dd pxz8,1, 0, 1 t所求切线方程为所求切线方程为,110211 zyx法平面方程为法平面方程为, 0)1()2(0)1( zyx.0 zx由此得切向量由此得切向量 即即91、曲面方程为、曲面方程为0),( zyxf在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点m的曲线的曲线,)()()(: tztytx 二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法

5、线ntm并并设设0tt 时时对对应应点点m. 10ntm，0)(),(),( tttf 两边关于两边关于 t 求导求导, ,得得 ，0)()()( tftftfzyx ，0)()()(000 tftftfmzmymx 所以所以而而)(),(),(000ttt 为为曲曲线线上上过过点点),(000zyxm 的切向量的切向量, ,上式表明它与向量上式表明它与向量,mzmymxfffn 垂直垂直. .由于由于 曲线在曲面上曲线在曲面上, 故有故有11 这个平面称为曲面在该点的这个平面称为曲面在该点的切平面切平面, , 切平面方程为切平面方程为,0)()()(000 zzfyyfxxfmzmymx通通

6、过过点点),(000zyxm而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直线线称称为为 曲曲面面在在该该点点的的法法线线. 法线方程为法线方程为.000mzmymxfzzfyyfxx n称称为为曲曲面面的的法法向向量量, , ntm由由 的的任任意意性性, ,曲曲面面上上所所有有过过点点m的的曲曲线线的的切切线线均均在在过过m且且以以n为为法法向向的的平平面面上上, , 12求球面求球面14222 zyx在点在点)3 , 2 , 1(0m处的切处的切平面及法线方程平面及法线方程. . 例例3 3解解令令 14),(222 zyxzyxf, , 则则 ,zyxfffn ，2,2,2zyx 6, 4, 20

7、 mn，3, 2, 1/所求所求切平面方程为切平面方程为 ，0)3(3)2(2)1( zyx.01432 zyx即即所求法线所求法线方程为方程为 .332211 zyx13),(yxfz 曲面在曲面在 m 处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在m处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxf 令令xxff , yyff , 1 zf, 法法向向量量1, yxffn, , 2、曲面方程为、曲面方程为14)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzy

8、x 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量的的全全微微分分在在点点函函数数),(),(00yxyxfz 因为曲面在因为曲面在 m 处的切平面方程为处的切平面方程为),(yxfz 在在),(00yx的全微分，表示的全微分，表示曲面曲面),(yxfz 在点在点),(000zyx处的处的切平面上的点的竖坐标的增量切平面上的点的竖坐标的增量. 全微分的几何意义全微分的几何意义 15例例4 4求求旋旋转转抛抛物物面面122 yxz在在点点)4 , 1 , 2(处处的的切切平平面面及及法法线线方方程程. 解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1,

9、 2, 4 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx16求求曲曲面面2132222 zyx平平行行于于平平面面064 zyx的的切切平平面面方方程程. 解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 例例5 5法法向向量量 6,4,2000zyxn , , 因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx, 10 x所求切点为所求切点为满足曲面方程满足曲面方程),2 , 2

10、, 1(),2, 2, 1( 2132222 zyx170)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)法法向向量量 6,4,2000zyxn , , 切点为切点为),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 18练习：练习：p71 习题习题9.61.(1)19第七节第七节 多元函数的极值多元函数的极值的图形的图形观察二元函数观察二元函数22eyxxyz 播放播放20一、多元函数极值的定义一、多元函数极值的定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内有定的某邻域内有

11、定义，对于该邻域内异于义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若恒有：若恒有),(),(00yxfyxf ，则称函数在，则称函数在),(00yx有有极大值极大值；若恒有若恒有),(),(00yxfyxf ， 则称函数在， 则称函数在),(00yx有有极极小值小值. . 极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值. . 使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点. . 第七节第七节 多元函数的极值多元函数的极值21处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 处有极小值处有极小值在在函数函数)0 ,

12、0(4322yxz (1)(2)(3)例例1 1例例2 2例例3 322多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx具具有有偏偏导导数数，且且在在点点),(00yx处处有有极极值值，则则它它在在该该点点的的偏偏导导数数必必然然为为零零：0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. . （称（称驻点驻点） 例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点， 但但不不是是极极值值点点.驻点驻点极值点极值点注意注意：定理定理1 1（必要条件）（必要条件） 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？2

13、3设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数， 设设 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 定理定理2 2（充分条件）（充分条件）则则),(yxf在在点点),(00yx处处是是否否取取得得极极值值的的条条件件如如下下：令令 ayxfxx ),(00，byxfxy ),(00，cyxfyy ),(00， （1 1）02 bac时具有极值， 且当时具有极值， 且当0 a时有极大值，时有极大值，当当0 a时有极小值；时有极小值； （2 2）02 bac时时没没有有极极值值；（3 3）02 bac时

14、时可可能能有有极极值值, ,也也可可能能没没有有极极值值，还还需需另另作作讨讨论论 cbba负定负定正定正定24求求函函数数xyxyxyxf933),(2233 的的极极值值. . 求求得得驻驻点点：)2 , 1(),2 , 3(),0 , 1(),0 , 3( , , 二二阶阶偏偏导导数数为为：66, 0, 66 yffxfyyxyxx, , 例例4 4解解 063096322 yyfxxfyx令令cba acb 2)0, 3( )0, 1()2, 3( )2, 1(6 0 12 6 0 126 0 12 6 0 12 无无极值极值极极小小值值极极大大值值无无极值极值1, 3 x2, 0 y

15、f驻点驻点- -53125求最值的一般方法：求最值的一般方法： 将函数在将函数在d内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在d的边界上的最大值和最小值相互比较，其中的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值最大者即为最大值，最小者即为最小值. .二、多元函数的最值二、多元函数的最值26求求二二元元函函数数)4(),(2yxyxyxfz 在在直直线线6 yx，x 轴轴和和 y 轴轴所所围围成成的的闭闭区区域域 d 上上的的最最大大值值与与最最小小值值. 解解xyo6 yxd例例5 5先求函数在先求函数在d内的驻点，内的驻点， 0)4(),(0)4(2),(

16、222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得区区域域 d 内内唯唯一一驻驻点点)1 , 2(,且且4)1 , 2( f, 再再求求),(yxf在在 d边边界界上上的的最最值值， 解方程组解方程组 在边界在边界0 x和和0 y上上0),( yxf,27在在边边界界6 yx上上，即即xy 6， 得得 4, 021 xx， ,2|64 xxy,64)2 , 4( f 比比较较后后可可知知4)1 , 2( f为为最最大大值值, 64)2 , 4( f为最小值为最小值., )6(223xx )2)(6(2 xxz)60( x,0)4(6 xxz得得区区域域 d 内内唯唯一一驻驻点点)1 , 2(,且

17、且4)1 , 2( f, 在边界在边界0 x和和0 y上上0),( yxf,28一一块块宽宽2 24 4cm的的矩矩形形铁铁皮皮, ,两两边边折折起起, ,做做成成一一个个梯梯形形槽槽, ,当当x和和 为为何何值值时时, ,使使槽槽的的截截面面积积最最大大？ 若根据实际问题若根据实际问题, ,目标函数有最大值目标函数有最大值( (或最小或最小值值),),而在定义区域内部有唯一的极大而在定义区域内部有唯一的极大( (小小) )值点值点, ,则则可以断定该极大可以断定该极大( (小小) )值点即为最大值点即为最大( (小小) )值点值点. . 例例6 6解解 sincos222422421xxxx

18、s ， cossinsin2sin2422xxx 29其其中中 120 x, ,20 , , 注意到注意到 0sin, 0 x, ,化简后解得化简后解得 3, 8 x, , 由由实实际际问问题题可可知知, ,s 必必有有最最大大值值, ,且且内内部部唯唯一一驻驻点点, ,故故当当3, 8 x时时, ,槽槽的的截截面面积积最最大大, ,348 最最大大s. . ， cossinsin2sin2422xxxs 0)sin(coscos2cos240cossin2sin4sin242222xxxxsxxsx 令令30三、三、条件极值问题条件极值问题例例7 7 用铁皮做一个有盖的长方形水箱用铁皮做一个

19、有盖的长方形水箱, ,要求容积为要求容积为v, ,问怎么做用料最省？问怎么做用料最省？ 设设水水箱箱的的长长、宽宽、高高分分别别为为zyx, ,则则 目目标标函函数数：)( 2zxyzxys , , 约约束束条条件件：xyzv , , 实际问题中实际问题中, ,目标函数的自变量除了受到定义目标函数的自变量除了受到定义域的限制外域的限制外, , 往往还受到一些附加条件的约束往往还受到一些附加条件的约束, ,这类这类极值问题称极值问题称条件极值条件极值问题问题. . 解解 即表面积最小即表面积最小. . ，xyvz 代入目标函数代入目标函数, ,化为无条件极值问题：化为无条件极值问题： xyz31

20、目目标标函函数数化化为为：)( 2yvxvxys , , 0, 0 yx 令令 0)(20)(222yvxsxvysyx, , 求得唯一驻点求得唯一驻点3vyx , , 内部唯一驻点内部唯一驻点, ,且由实际问题且由实际问题s有最有最小小值值, ,故做成立方故做成立方体表面积最小体表面积最小. . 这种这种解解法的缺点：法的缺点： 1.1.变量之间的平等关系和对称性被破坏；变量之间的平等关系和对称性被破坏； 2.2.有时隐函数有时隐函数显化显化困难甚至不可能困难甚至不可能. . 从从而而3vz , , 32 要要找找函函数数),(yxfz 在在条条件件0),( yx 下下的的可可能能极极值值点

21、点，解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法其其中中 为为参参数数， 引入拉格朗日函数引入拉格朗日函数),(),();,(yxyxfyxf 令令,0),(0),(),(0),(),( yxfyxyxffyxyxffyyyxxx 若这样的点惟一若这样的点惟一, ,由实际问题由实际问题, ,可直接确定此即所求的点。可直接确定此即所求的点。33如如果果目目标标函函数数是是三三元元函函数数),(zyxf, ,且且约约束束条条件件有有两两个个, , 0),( zyxg, ,0),( zyxh, , 则构造拉格朗日函数为则构造拉格朗日函数

22、为 . ),(),(),(),;,(zyxhzyxgzyxfzyxf 令令,0),(0),(0),(),(),(0),(),(),(0),(),(),( zyxhzyxgzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzzzyyyxxx 解解出出zyx,，就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标. 34例例7 7 用铁皮做一个有盖的长方形水箱用铁皮做一个有盖的长方形水箱, ,要求容积为要求容积为v, ,问怎么做用料最省？问怎么做用料最省？ 目标函数：目标函数：)(2zxyzxys , , 约约束束条条件件：xyzv , , 解解构构作作拉拉格格朗朗日日函函数数 )(

23、)( 2vxyzzxyzxyf , , 令令 vxyzxyyxfxzzxfyzzyfzyx0)(20)(20)(2 , , 解解得得唯唯一一驻驻点点3vzyx , , 由实际问题由实际问题, ,即为最小值点即为最小值点. . 设设水水箱箱的的长长、宽宽、高高分分别别为为zyx, ,则则 xyz35在在周周长长为为p2的的一一切切三三角角形形中中, ,求求出出面面积积最最大大的的三三角角形形. . 设设三三角角形形的的三三条条边边长长分分别别为为zyx, , 则面积为则面积为 )()(zpypxpps , , 约约束束条条件件: : pzyx2 , , 目标函数取为：目标函数取为：)()(),(

24、zpypxpzyxf , , 令令 pzyxypxpfzpxpfzpypfzyx20)(0)(0)( , , 例例8 8解解，)2()()(pzyxzpypxpf 解得唯一驻点解得唯一驻点 ，pzyx32 即即做成做成正三角形时面积最大正三角形时面积最大. . ，pzyx ,036用用一一根根长长为为p2的的铁铁丝丝做做一一个个网网兜兜边边框框： 三角形中三角形中, ,以正三角形面积为最大以正三角形面积为最大： 221925. 093pp 四边形中四边形中, ,以正方形面积为最大：以正方形面积为最大： 2225. 041pp 五边形五边形( (正正) )： 222752. 051025251p

25、p 2223183. 0/ pprs 圆：圆：最大最大37平平面面0 zyx截截椭椭球球面面124222 zyx 得得一一椭椭圆圆截截线线, ,求求此此椭椭圆圆的的半半轴轴长长. . 在在约约束束条条件件 0 zyx 及及 442222 zyx 例例9 9解解 此椭圆的中心显然是坐标原点此椭圆的中心显然是坐标原点, ,因此问题即求因此问题即求 2222zyxr 下的最大值和最小值下的最大值和最小值. . 作拉格朗日函数作拉格朗日函数 222),(zyxzyxl )(2)442(222zyxzyx 38 (5) 0(4) 442(3) 042/(2) 022/(1) 02/222zyxzyxzz

26、lyylxxlzyx zyx )3()2()1( 042 r, , 1x, , 21 y, , 41 z, ,代代入入 )5(, , 222),(zyxzyxl )(2)442(222zyxzyx 由由390 , 041121111 , 7227222最最小小最最大大r, , 所所以以长长半半轴轴 722 , , ，031414 2 ，72121 2, 1 ， 42 r短短半半轴轴722 . . 40某公司为销售产品作两种方式的广告宣传， 当两种方式某公司为销售产品作两种方式的广告宣传， 当两种方式的宣传费分为别为的宣传费分为别为yx,时，销售量为时，销售量为yyxxz 101005200。若

27、销售产品所得利润是销售量的若销售产品所得利润是销售量的 1/5 减去广告费。减去广告费。现要使用现要使用广告费广告费 25 万元，问应如何选择两种广告形式，才能使广告产万元，问应如何选择两种广告形式，才能使广告产生的利润最大？最大利润是多少？生的利润最大？最大利润是多少？ 例例1010解解目标函数目标函数 25)101005200(51),( yyxxyxf， 约约束束条条件件 25 yx, , 作拉格朗日函数作拉格朗日函数 , )25(25)101005200(51),( yxyyxxyxf 41, )25(25)101005200(51),( yxyyxxyxf 求求),( yxf关于关于

28、 , yx的一阶偏导数， 并令其等于零得的一阶偏导数， 并令其等于零得 0)5(2002 x，0)10(2002 y，25 yx， 解解得得10,15 yx。 由问题的实际意义知，最大利润一定存在，故当两种由问题的实际意义知，最大利润一定存在，故当两种广告方式分别投入广告方式分别投入15万元与万元与10万元时，广告产生的利万元时，广告产生的利润最大，最大的利润为润最大，最大的利润为 . )(15)10,15(万万元元 f42某产品的生产函数某产品的生产函数414380),(yxyxq ， 其中， 其中yx,分别表示投入的劳力数和资本数，分别表示投入的劳力数和资本数，q是产量。是产量。若每个单若

29、每个单位劳力需位劳力需 600600 元， 每单位资本为元， 每单位资本为 20002000 元， 而劳力和资本元， 而劳力和资本投入的总预算为投入的总预算为 4040 万元，试求最佳资金投入分配方案。万元，试求最佳资金投入分配方案。 例例1111解解目目标标函函数数 414380),(yxyxq ， 约约束束条条件件 4000002000600 yx, , 或或 2000103 yx, , ，)2000103(804143 yxyxf 43由由，)2000103(804143 yxyxf 200010301020036043434141yxyxfyxfyx ，3103 yx，yx10 ,50

30、,500 yx由实际问题，此即最佳分配方案由实际问题，此即最佳分配方案. . 44练习：练习：p79 习题习题9.71. 45第八节第八节 方向导数与梯度方向导数与梯度一、方向导数一、方向导数 偏导数仅仅反映了函数偏导数仅仅反映了函数),(yxfz 沿沿x轴或轴或y轴轴方向的变化率方向的变化率. .下面考虑函数下面考虑函数),(yxfz 沿某个方向沿某个方向)sin,(cos l 的变化率的变化率. . oyxlp xyp引射线引射线内有定义，自点内有定义，自点的某一邻域的某一邻域在点在点设函数设函数lppuyxpyxfz)(),(),( ).(),(, puplyyxxplx 上的另一点且上

31、的另一点且为为并设并设为为的转角的转角轴正向到射线轴正向到射线设设 46 |pp,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且当当 沿着沿着 l 趋于趋于p 时，时，p , z 考虑考虑 ),(),(lim0yxfyyxxf 是否存在？是否存在？oyxlp xyp47oyxlp xyp定义定义若极限若极限 ),(),(lim0000sin:cos:0 yxfyyxxfyx )(22yx 存存在在, ,则则称称之之为为函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处沿沿方方向向 .lz )sin,(cos l的的方方向向导导数数, ,记记为为 |pp,)()(22yx ),(),(y

32、xfyyxxfz 且且当当 沿着沿着 l 趋于趋于p 时，时，p , z 考虑考虑48如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxp是是可可微微分分的的, , 那那末末函函数数在在该该点点沿沿任任意意方方向向 l 的的方方向向导导数数都都存存在在， 证证 由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 两边同除以两边同除以 ，得到，得到定理定理其其中中 为为 x 轴轴到到方方向向 l 的的转转角角. . ， sincosyfxflf 且有且有oyxlp xyp49 cos故有方向导数故有方向导数 ),(),(lim0yxfyyxx

33、f .sincos yfxf lf sin )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 50求求函函数数133),(223 xyyxxyxf在在点点) 1, 3(处处沿沿jil43 的的方方向向导导数数。 解解将将l单位单位化化，得得jil54530 ， 例例1 1所求方向导数所求方向导数 sincosyfxflf ,36322yxyxxf ,12)1 , 3( xf,632xyxyf ,9)1 ,3( yf.054)9(5312)1 ,3( lf51 sincosyfxflf 求函数求函数yxz2e 在点在点)0 , 1(p处沿从点处沿从点)0 , 1(p到点到点)1, 2( q的方向的

34、方向导数的方向的方向导数. 解解;1e)0, 1(2)0, 1( yxz,2e2)0, 1(2)0, 1( yxyz单位化得单位化得 21,21l, , 例例2 2所求方向导数所求方向导数 212211)0, 1( lz.21 ,1, 1 pq52求函数求函数22),(yxyxyxf 在点在点(1,1)沿沿与与x轴方向夹角为轴方向夹角为 的方向射线的方向射线 l的方向导数的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有并问在怎样的方向上此方向导数有 (1)最大值；最大值； (2)最小值；最小值； (3)等于零？等于零？ 解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf ,si

35、n)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos ),4sin(2 例例3 353故故（1）当当4 时时， 方向导数达到最大值方向导数达到最大值2; （2）当当45 时时， 方向导数达到最小值方向导数达到最小值2 ; （3）当当43 和和47 时时， )4sin(2)1 , 1( lf方向导数等于方向导数等于0. 54求求函函数数)ln(yxz 在在抛抛物物线线xy42 上上点点)2 , 1(处处, ,沿沿着着这这抛抛物物线线在在该该点点处处偏偏向向x轴轴正正向向的的切切线线方方向向的的方方向向导导数数. . 解解 sin1cos1)2, 1()2, 1(yxyx 例例

36、4 4，42 yy，1)2, 1( y抛抛物物线线xy42 上上点点)2 , 1(处处的的切切向向量量( (偏偏向向x轴轴正正向向) )为为 ,11)1(, 1， yt单位化单位化,11210， t sin)2 , 1(cos)2 , 1()1 , 1(yxfflf .32 55对于三元函数对于三元函数),(zyxfu ，它在空间一点，它在空间一点),(zyxp沿着方向沿着方向 l的方向导数为的方向导数为 三元函数的方向导数三元函数的方向导数， coscoscoszfyfxflf 其其中中 ,为为方方向向 l 的的方方向向角角. 方向导数是偏导数的推广，偏导数是特定方向的方向导数是偏导数的推广

37、，偏导数是特定方向的方向导数。方向导数。 56求求导导数数xzzyyxzyxf222),( 在在点点)1, 1, 1(处处沿沿方方向向kjil 2的的方方向向导导数数。 解解将将l单位化，得单位化，得 kjil6162610 ， 例例5 5所求方向导数所求方向导数 coscoscoszfyfxflf ,3| )2()1, 1, 1()1 , 1 , 1(2 zxyfx,3)1, 1, 1()1, 1, 1( zyff.0613623613 lf由对称性可得由对称性可得 57设设n是曲面是曲面632222 zyx 在点在点)1 , 1 , 1(p处的指处的指向外侧的法向量，求函数向外侧的法向量，

38、求函数2122)86(1yxzu 在此处沿方在此处沿方向向n的方向导数的方向导数. 解解令令, 632),(222 zyxzyxfpzyxfffn, 2, 6, 4 例例6 6，1, 3, 2141/ppyxzxxu22866 ;146 ppyxzyyu22868 ;148 ppzyxzu22286 .14 .711 故故ppzuyuxunu)coscoscos( 58定义定义 设函数设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域 d 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点dyxp ),(，都可定出一个向量都可定出一个向量jyfixf ，这向量称为函数，这向量称为函数

39、),(yxfz 在点在点),(yxp的的梯度梯度，记为，记为 二、梯度二、梯度.),(gradjyfixfyxf gradient59在在点点),(000yxp处处沿沿方方向向sin,cos l的的方方向向导导数数 当当0 , ,即即|grad|gradffl 时时, ,方向导数取到最方向导数取到最大值大值|grad|flz , ,即沿梯度方向函数值增加最快即沿梯度方向函数值增加最快； cos),(cos),(0000 yxfyxflzyxlyxf ),(grad00， cos|grad|f 其中其中),grad(lf 当当 , ,即即|grad|gradffl 时时, ,方向导数取到最小方向

40、导数取到最小值值|grad|flz , ,即沿梯度相反方向函数值减少最快即沿梯度相反方向函数值减少最快. . 60),(yxfz 在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面,曲面被平面曲面被平面 截得曲线截得曲线cz ,),( czyxfz所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图oyx2),(cyxf 1),(cyxf cyxf ),(等高线等高线),(gradyxf梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量p,),(cyxf ,0dd yfxfyx,d,dyx切切向向量量61等高线的画法等高线的画法播放播放62图图形形及及其其等等高高线线图图形形函函数数xyzsin 例如例如,63 三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域 g内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点gzyxp ),(，都可定义一个