八年级上复习资料数的开方

1、 第十一章：数 的 开 方一、平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的_。（也叫做二次方根）即：若x2=a，则x叫做a的平方根。2、平方根的性质：（1）一个正数有_个平方根。它们互为_数；（2）零的平方根是_；（3）负数_平方根。二、算术平方根1、算术平方根的定义：正数a的_的平方根，叫做a的算术平方根。2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有_个为正； （2）零的算术平方根是_；（3）负数_算术平方根； （4）算术平方根的非负性：_0。三、平方根和算术平方根记法：平方根±（读作：正负根号a）；算术平方根（读作根号a）即：“±”表示a的

2、_根，或者表示求a的平方根；“”表示a的_根，或者表示求a的算术平方根。其中a叫做被开方数。负数没有平方根，被开方数a必须为非负数，即：a0。四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。五、立方根1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的_根。（也叫做三次方根）即：若x3=a，则x叫做a的立方根。2、立方根的性质：（1）一个_数的立方根为正；（2）一个_数的立方根为负；（3）_的立方根是零。3、立方根的记法：（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。中的被开方数a的取值范围是：a为_。六、开立方：求一个数的立方根

3、的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。 七、注意事项：1、“±”、“”、“”的实质意义：“±”问：哪个数的平方是a；“”问：哪个非负数的平方是a；“”问：哪个数的立方是a。2、注意和中的a的取值范围的应用。如：若有意义，则x取值范围是 ；若有意义，则x取值范围是_ 对于几个算数平方根比较大小，被开方数越大，其算数平方根的值也越大。 如：5、算数平方根取值范围的确定方法：关键：找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。（夹逼法）如：确定的取值范围。，23。6、 几个常见的算数平方根的值：，实数与数轴一、无理数1、无理数定义：_叫做无理数。2、常见的无理

4、数：（1）开方开不尽的数。如：，等。（2）“”类的数。如：，等。（3）无限不循环小数。如：2.1010010001，-0.234242242224，等二、实数1、实数定义：_数与_数统称为实数。2、与实数有关的概念：（1）相反数：实数a的相反数为-a。若实数a、b互为_数，则a+b=0。（2）倒数：非零实数a的倒数为（a0）。若实数a、b互为倒数，则ab=_。（3）绝对值：实数a的绝对值为：3、实数的运算：有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。4、实数的分类：（1）按照正负性分为：正实数、零、负实数三类。（2）按照定义分为：5、几个“非负数”：（1）a2_0； （2）0； （3）0。

5、6、_数与数轴上的点是一一对应关系。 第12章 整式的乘除§12.1幂的运算一、同底数幂的乘法1、法则：am·an·ap·=am+n+p+（m、n、p均为正整数） 文字：同底数幂相乘，底数_，指数_。2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。如：2·3·4=2+3+4=9；(-2)2·(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25；()3·()4=()3+4=()7；(a+b)3·(a+b)4·(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8（2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指

6、数相加。（3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。二、幂的乘方1、法则：(am)n=_（m、n均为正整数）。推广：(am)nps=amn p s 文字：幂的乘方，底数_，指数_。2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。如：(2)3=2×3=6；()34=()3×4=()12；(a-b)24= (a-b)2×4=(a-b)8（2）运用时注意符号的变化。（3）注意该法则的逆应用，即：amn= (am)n，如：a15= (a3)5= (a5)3三、积的乘方1、法则：(ab)n=_（n为正整数）。推广：(acde)n=ancndnen 文字：积的乘方

7、等于把积的每一个因式都分别_，再把所得的幂相乘。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：(2)3=222=42；(×)2=()2×()2=2×3=6；(-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3；(a+b)(a-b)2=(a+b)2(a-b)2（2）运用时注意符号的变化。（3）注意该法则的逆应用，即：anbn =(ab)n；如：23×33= (2×3)3=63，(x+y)2(x-y)2=(x+y)(x-y)2四、同底数幂的除法1、法则：am÷an=_（m、n均为正整数，mn，a0） 文字：同底数幂相除

8、，底数_，指数_。2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。如：4÷3=4-3=；(-2)5÷(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4；()6÷()4=()6-4=()2=2；(a+b)16÷(a+b)14= (a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab +b2（2）注意a0这个条件。（3）注意该法则的逆应用，即：am-n = am÷an；如：a x-y= ax÷ay，(x+y)2a-3=(x+y)2a÷(x+y)3 （4）§13.2 整式的乘法一、单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，只要将

9、它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。如：(-5a2b2)·(-4 b2c)·(-ab)=(-5)×(-4)×(-)·(a2·a)·(b2·b2)·c =-30a3b4c二、单项式与多项式相乘法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。如：(-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2 x一(-3x2)·1=三、多项式与多项式相乘法则：（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积 相加。 如：

10、(m + n)(a + b)= ma+mb+na+nb (2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。如：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb§12.3 乘法公式一、两数和乘以这两数的差1、公式：(a+b)(a-b)=_；名称：_公式。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；(a+b+)( a+b -)

11、=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。（3）注意公式的来源还是“多项式×多项式”。二、完全平方公式1、公式：(a±b)2=_；名称：_公式。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：(+3)2=()2+2××3+32=2+6+9=11+6；(mn-a) 2=(mn)2-2mn·a+ a2= m2n2-2mna+ a2；( a+b -)2=( a+b)2-2( a+b)+2= a2+2a b+b2-2a-b +2；（2）注意公式运用时的对位“套

12、用”；（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。3、补充公式：(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。§12.4 整式的除法一、单项式除以单项式法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。如：-21a2b3c÷3ab=(-21÷3)·a2-1·b3-1·c =-7ab2c（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3 =8x6y3·

13、;（-7xy2）÷14x4y3=8×（-7）·x6+1y3+2÷14x4y3 =（-56÷14）·x7-4·y5-3=-4x3y25（2a+b）4÷（2a+b）2=（5÷1）（2a+b）4-2=5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）=20a2+20ab+5b2二、多项式除以单项式法则：（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。如：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)=21x4y3÷(-7x2y)-35x3y2÷(-7x2

14、y)+ 7x2y2÷(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y4y(2x-y)-2x(2x-y)÷(2x-y)= 4y(2x-y)÷(2x-y)-2x(2x-y)÷(2x-y)=4y-2x整式的运算顺序：先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。§12.5 因式分解1、 因式分解的定义： 把一个多项式化为_的形式，叫做因式分解。（分解因式）因式分解与整式乘法互为逆运算 二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。公因式的找法：

15、各项系数的最_数; 各项含有的相同字母的最_次幂.具体步骤：（1）“看”。观察各项是否有公因式；（2）“隔”。把每项的公因式“隔离”出来；（3）“提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。 (a-b) 2n=(b-a) 2n(n为正整数)；(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n为正整数)；如：8a2b-4ab+2a=2a·4ab-2a·2b+2a·1=2a(4ab-2b+1)；-5 a2+25 a=-5 a·a+5a·5=-5 a(a+5)(注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提

16、出来。)三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。1、平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)；名称：平方差公式。注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：102-92 =(10+9)(10-9)=19×1=19；4 x2y2-a2=(2xy)2-a2=(2xy+a)(2xy-a)；（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。（3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。2、完全平方公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数

17、式等。如：m2n2-2mna+ a2=(mn)2-2mn·a+ a2=(mn-a)2；x2+4xy+y2=x2+2·x·2y+(2y)2=( x+2 y)2（2）注意公式运用时的对位“套用”；（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。四、补充分解法：1、公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)( x+b)。如：x2+5x+6= x2+(2+3)x+2×3=(x+2)( x+3)；x2+5x-6=x2+6+(-1)x+6×(-1)=(x+6)( x-1)2、“十字相乘法”如：=(x+2)( x+7) =(x+2)( x-4) 1 2 1 2 1

18、7 1 -4 2 + 7=9 2 + (-4)=-2五、综合1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：“一提二套三分解”。2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：（1）看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。3、注意事项：（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；

19、（4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解，不要乱用此法。第十三章 全等三角形1命题：含有_的句子叫做命题。 正确的命题叫做_命题，错误的命题叫_命题。 命题可以写成“如果，那么”的形式。在数学中，许多命题是由_、_ 两部分组成的条件是已知事项；结论是由已知事项推出的事项2公理数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。3定理 数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。 4、逆命题、互逆命题（1） 对于两个命题，如

20、果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的_和_， 那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题 的_（2）原命题为真，它的逆命题_为真（3）每个命题都有逆命题 5、定理、互逆定理（1）如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么它叫做原命题的_,这两个 定理称为_定理.（2）不是所有的定理都有逆定理，但逆定理、互逆定理一定为真命题全等三角形1、定义：若两个三角形的三条边、三个角分别对应相等，则这两个三角形全等. 全等符号：“”若ABCABC。读作：三角形ABC全等于三角形ABC.2、全等三角形的判定定理（1）有两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等。（即SAS，“

21、边角边”）（2）有两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等。（即ASA，“角边角”）（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等。（即AAS，“角角边”）（4）有三边对应相等的两三角形全等。（即SSS，“边边边”）（5）有斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等。（即HL，“斜边直角边”）总结：一般三角形 SSS SAS ASA AAS 直角三角形 SSS SAS ASA AAS HL3、全等三角形的作用（1）用于直接证明线段相等，角相等。（2）用于证明直线的平行关系、垂直关系等。（3）用于测量人不能的到达的路程的长短等。（4）用于间接证明特殊的图形。（如证明等腰三角形、等边三角形、平行

22、四边形、矩形、菱形、正方形和梯形等）。（5）用于解决有关等积等问题。 尺规作图1、定义：只有使用_和没有_的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图。2、五种基本作图：（1）. 作一条线段等于已知线段（2）.作一个角等于已知角（3）.作已知角的平分线 （4）.经过一已知点作已知直线的垂线（5）.作已知线段的垂直平分线。等腰三角形 定义：两条边_的三角形叫等腰三角形。1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）3. 推论：等腰三角形 、 、 互相重合（即“ ”）等边三角形的性质及判定定理1、性质定理：等边三角形的三个角都相等，

23、并且每个角都等于 ；等边三角形是 轴对称图形，有 条对称轴.2、判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形.线段的垂直平分线1. 线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到 的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的 .2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到_的距离相等. 这个点叫_ 角平分线1. 角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到 的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2. 三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到_的距离相等. 这个点叫_ 第十四章 勾股定理ACBcab§14.1勾股定理一、直角三角形三边的关系1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。几何语言：如图，在RtABC中，C=90o，A、B、C所对的边分别是a、b、c 则有：_。2、勾股定理的证明反映了一种常用数学思想：“面积拼图法”。3、注意事项：（1）勾股定理必须在Rt使用，若遇到非Rt，则可引垂线段“构造”Rt。（2）注意Rt中告诉的“直角”是哪个，以便准确确定“斜边”。（3）在运用勾股定理求边长时，要用到“