第一节定积分的概念与性质98635

1、第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 内容提要内容提要 1.定积分的概念定积分的概念； 2. 定积分的几何意义定积分的几何意义; 3.定积分的性质。定积分的性质。 教学要求教学要求 1.理解定积分的概念理解定积分的概念； 2.掌握定积分的几何意义掌握定积分的几何意义; 3.掌握定积分的性质掌握定积分的性质,会利用估值会利用估值,比较大小。比较大小。 1. 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积一、定积分问题的两个实例一、定积分问题的两个实例曲边梯形：曲边梯形：它有三条边是直线段，它有三条边是直线段，其中两条边互相平行，其中两条边互相平行， 第三条边与前两条垂直叫做底边，第三条边与前两条

2、垂直叫做底边，第四条边是一条曲线弧叫做曲边第四条边是一条曲线弧叫做曲边.0,)(曲曲边边梯梯形形的的面面积积所所围围成成的的及及直直线线求求由由曲曲线线 ybxaxxfy,)(常数常数若若 xf曲边梯形是一个矩形，曲边梯形是一个矩形，ab xyo)(xfy dc面积面积=底底高高? a用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积而现在而现在 是一条曲线，是一条曲线，所以，不能用初等数学的方法解决所以，不能用初等数学的方法解决.曲线上的高度是变化的，曲线上的高度是变化的，)(xfy 显然显然,小矩形越多小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩

3、形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）abxyo)(xfy abxyo)(xfy 因此因此,我们用极限求曲边梯形面积我们用极限求曲边梯形面积.? a? aabxyo具体步骤如下：具体步骤如下：第一步第一步 分割分割第二步第二步 求近似求近似ix1x1 ix1 nx i ,1,12100121bxxxxxabxaxxxxnbannnn 使使令令个个分分点点内内任任意意插插入入在在区区间间;,11 iiiiixxxxxnba长长度度为为，个个小小区区间间分分成成把把区区间间，即即积积面面代代替替相相应应小小曲曲边边梯梯形形的的为为底底的的小小矩矩形形面面积积近近似似为为高高、，上上任任取取

4、一一点点在在每每个个小小区区间间iiiiiiaxfxx )(,1 iiixfa )( niiaa1iniixfa )(1 得曲边梯形面积得曲边梯形面积a的近似值为的近似值为第三步第三步 求和求和的的近近似似值值求求和和个个小小曲曲边边梯梯形形面面积积将将ian 第四步第四步 取极限取极限时，时，当当0 ,max21nxxx 记记.)(1axfinii面面积积的的极极限限就就是是曲曲边边梯梯形形的的 iniixfa )(lim10 即即abxyoix1x1 ix1 nx i iniixf )(1 2. 求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程动动，如如果果物物体体作作匀匀速速直直线线运运. )(

5、12ttvs 则路程则路程变变化化，随随时时间间但但现现在在速速度度ttv)(不能按此计算路程不能按此计算路程.是是连连续续变变化化的的，由由于于速速度度)(tv在很短的一段时间内，在很短的一段时间内，.于于等等速速速速度度的的变变化化很很小小，近近似似因此，因此， 在时间间隔很短的条件下，在时间间隔很短的条件下， 可用匀速代替变速可用匀速代替变速.与求曲边梯形面积的方法一样，由如下四步求路程与求曲边梯形面积的方法一样，由如下四步求路程.第一步第一步 分割分割212101tttttttnn 且且第三步第三步 求和求和iinitvs )(1 第四步第四步 取极限取极限,max21nttt 记记i

6、niitvs )(lim10 个分点，个分点， 内任意插入内任意插入在区间在区间1 n,21ttiiittt 的的长长度度记记为为小小区区间间,1), 2 , 1(,121nittnttii ，个小区间个小区间分成分成把区间把区间第二步第二步 求近似求近似 上的路程上的路程,1iitt is )(iv it ,121 nttt1 iitt 上某时刻上某时刻 的速度的速度,1iitt i bxxxxxann 1210二、定积分的概念二、定积分的概念定义定义个个分分点点，1 n,), 2 , 1(,1nixxii ,)(上上可可积积在在则则称称baxf,)(上的定积分上的定积分在在且称这个极限值是

7、且称这个极限值是baxf,)( badxxf记记为为.)(lim)(10iniibaxfdxxf 即即iinixfs )(1 作和作和1 iiixxx记记个个小小区区间间的的长长度度，为为第第 i,1iiixxi 上上任任取取一一点点个个小小区区间间在在第第 ,max21nxxx 记记存存在在，如如果果极极限限iinixf )(lim10 ，作作乘乘积积iixf )( 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积积分分区区间间,ba积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意注意1.： badxxf)( badttf)( baduuf)( badxxf)(是一个确定的常数是一个确

8、定的常数.定积分号定积分号iniitvs )(lim10 iniixfa )(lim10 (4) badxxf)( 21)(ttdttv注意注意2. 对定积分的对定积分的补充规定补充规定:定理定理1定理定理3 闭区间上的有界单调函数可积闭区间上的有界单调函数可积.定理定理2第一类间断点第一类间断点,注意注意3. 定积分的存在性定积分的存在性注意注意4. 初等函数在定义区间内部都是可积的初等函数在定义区间内部都是可积的., 0)( xf baadxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baadxxf)(曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值abxyoa)(xfy abxyoa)

9、(xfy 三三.定积分的几何意义定积分的几何意义积积取取负负号号轴轴下下方方的的面面在在轴轴上上方方的的面面积积取取正正号号；在在数数和和之之间间的的各各部部分分面面积积的的代代直直线线的的图图形形及及两两条条轴轴、函函数数它它是是介介于于xxbxaxxfx ,)( 的几何意义：的几何意义： badxxf)(4321)(aaaadxxfba 即即.2, 0, 0, 1 2所所围围成成图图形形的的面面积积直直线线利利用用定定积积分分表表示示由由曲曲线线例例 xxyxy,2,02上上连连续续在在因因为为被被积积函函数数xy , 0 y且且解解根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义，成成图图形形的

10、的面面积积为为所所围围直直线线由由曲曲线线2, 0, 0, 2 xxyxy.202dxxa iniixf )(1 iniibaxfadx )(lim10 abdxaba 时，时，特别地，当特别地，当1证明证明.2为为常常数数），其其中中（试试证证明明例例aabadxaba 由定积分定义由定积分定义, f(x)=a是常数是常数,积分和式积分和式inixa 1 niixa1)(aba )(lim0aba )(aba oyxabaaxf )(ix 例例3 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.10dxex 解解.10上上可可积积，所所以以在在iinixf )(1 ninine11)(121nnnne

11、een nneeen111)1(1 ndxex 10iinixf )(lim10 nnnenee1111)1(lim 111limlim)1(11 eeneennnniinixf )(1 ninine11)(121nnnneeen nneeen111)1(1 0 例例4 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx 解解iinixf )(1 iinix 21 iniixx 12oyx12xy nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn0 ndxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 例例5 利用定积分的几何意义求下列的

12、定积分利用定积分的几何意义求下列的定积分dxx 11dxx 11|(1)(2).22dxxrrr (3)xyorr xyo11 xyo11 011 dxx(1)解解1|11 dxx(2)22221rdxxrrr (3).)3(21dxx (4)(4)23)3(21 dxx3 yxo321证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk)()()(为常数为常数kdxxfkdxxkfbaba 性质性质1 被积函数的常数因子可以提到积分号外，即被积函数的常数因子可以提到积分号外，即三、定积分的性质三、定积分

13、的性质性质性质2 两个函数和（差）的定积分等于各个函数定积两个函数和（差）的定积分等于各个函数定积分的和（差），即分的和（差），即证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 .)( badxxg（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） badxxf)(由由性质性质1,2可得定积分的线性性质，即可得定积分的线性性质，即 banndxxfkxfkxfk)()()(2211 bannbabadxxfkdxxfkdxxfk)()()(2211 badxxf)( bccadxx

14、fdxxf)()(.补充补充：不论：不论 a, b, c 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则性质性质3abxyo)(xfy c假设假设 bca 证证 首先，因为定积分存在，而定积分与分法无关，首先，因为定积分存在，而定积分与分法无关，设设c为一分点。于是为一分点。于是a, b上的积分，可认为是上的积分，可认为是a, c,c, b上的积分之和，即上的积

15、分之和，即 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(. ,)(baiixf ,)(caiixf ,)(bciixf 对上式两边取极限即得对上式两边取极限即得 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.证证, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性质性质4oyxab)(xfa0)( dxxfba)(ba 如果在区间如果在区间a, b上上 0)( xf则则性质性质5证证),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0

16、)()( babadxxfdxxgoyxab)(xf)(xg)()(xgxf dxxfba )(dxxgba )(如果在区间如果在区间a, b上上 则则)(ba 证证, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 性质性质6证证,)(mxfm ,)( bababamdxdxxfdxm).()()(abmdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质7abxyo)(xfy mm)(ba )()()(abmdxxfabmba 则则证证mdxxfabmba )(1)()()(abmdxxfabmba 由闭区间上连

17、续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质8（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式使使,)(1)( badxxfabf)(ba 即即dxxfba )()(abf 积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab )( f底边，底边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积的一个矩形的面积。的一个矩形的面积。)(ba dxxfba )()(abf 例例6 已知已知 3022029,38dxxdxx，计算，计算 322.dxx解解因为因为 302dxx 323020222dxxdxxdxx所以所以 202dxx 322dxx319389 .20si

18、n的的范范围围试试估估计计定定积积分分dxex 1sin0 xeex sin1解解edxex2220sin 例例7由定积分的估值定理得由定积分的估值定理得所以有所以有,20 x是是增增函函数数，函函数数xedxedxedxx 2020sin201又因为又因为例例8 比较下列各对定积分的大小：比较下列各对定积分的大小：解解,2, 0,sin)1( xxx因因 2020sin, xdxxdx.sin2020dxxxdx 得得推推论论因因而而由由性性质质14(1)(2)(2),xex 0, 2 xdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx .103102的大小的大小与与比较比较dxxdxx 练习练习dxx 10解解例例9 由定积分表示如图中阴影部分的面积由定积分表示如图中阴影部分的面积2xy xy 2oxy dxxx)(210 adxx 102dxx 10dxx 102.1 , 02值值定定理理的的定定积积分分中中值值上上满满足足在在区区间间试试求求函函数数 xy 解解31102 dxx,31)01(1022 dxx .33 例例10小结小结定积分的实质：定积分的实质：特殊和式的极限特殊和式的极限.)(lim)(10iniibaxfdxxf 即即 badxxf)( badttf)( baduuf)( baabdxxfdxxf.)()( aad