第六章常微分方程习题

1、一阶微分方程的 习题课习题课 (一一)一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题解法及应用 第十二章 一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解一阶标准类型方程求解 关键关键: 辨别方程类型辨别方程类型 , 掌握求解步骤掌握求解步骤2. 一阶非标准类型方程求解一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法变量代换法 代换代换自变量自变量代换代换因变量因变量代换代换某组合式某组合式(2) 积分因子法积分因子法 选积分因子选积分因子, 解全微分方程解全微分方程四个标准类型四个标准类型: 可分离变量方程可分离变量方程, 齐次方程齐次方程

2、, 线性方程线性方程, 全微分方程全微分方程 例例1. 求下列方程的通解求下列方程的通解; 01) 1 (32xyeyy提示提示: (1),33xyxyeee因故为分离变量方程故为分离变量方程:通解通解;)2(22yyxyx;21)3(2yxy.2336)4(3223yyxyxxyxeyeyxydd32ceexy331方程两边同除以方程两边同除以 x 即为齐次方程即为齐次方程 , ,0时xyyxyx22)2(时，0 x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令令 y = u x ,化为分化为分离变量方程离变量方程.调换自变量与因变量的地位调换自变量与因变量的地位 ,221)3(yxy,

3、2dd2yxyx用线性方程通解公式求解用线性方程通解公式求解 .化为化为32232336)4(yyxyxxy方法方法 1 这是一个齐次方程这是一个齐次方程 .方法方法 2 化为微分形式化为微分形式 0d)23(d)36(3223yyyxxyxx故这是一个全微分方程故这是一个全微分方程 .xyu 令xqyxyp6例2. 求下列方程的通解求下列方程的通解:)lnln() 1(yxyyyx提示提示: (1)令令 u = x y , 得得(2) 将方程改写为将方程改写为0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxyyxxyxy22363)3(220d)31(d)3()4(22yyxxyxyuxuxul

4、ndd)(ln)(yxyyxxyyxxxy2ln21dd3(贝努里方程贝努里方程) 2 yz令(分离变量方程分离变量方程)原方程化为原方程化为令令 y = u tyyxxyxy22363)3(22) 1(2) 1(3dd22xyyxxy(齐次方程齐次方程)ytytty23dd22令令 t = x 1 , 则则tyxttyxydddddddd可分离变量方程求解可分离变量方程求解化方程为化方程为0d)31(d)3()4(22yyxxyxy变方程为变方程为yxxydd2两边乘积分因子两边乘积分因子2 y0)dd(3dd2yxxyyyxx用凑微分法得通解用凑微分法得通解:cyxyx321120)dd(

5、32yxxyy例3.设设f(x)f (x) g(x), 其中函数其中函数 f(x), g(x) 在在(,+)内满足以下条件内满足以下条件:, 0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1) 求求f(x) 所所满足的一阶微分方程满足的一阶微分方程 ;(03考研) (2) 求出求出f(x) 的的表达式表达式 .解解: (1) )()()()()(xgxfxgxfxf)()(22xfxg)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)2(2xfex所以所以f(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程满足的一阶线性非齐次微分方程:.2)()(xexgxf(2) 由一阶线性微分方程解的公式得由一阶线性微分

6、方程解的公式得cxeeexfxxxd4)(d22d2cxeexxd442代入上式，将0)0()0()0(gff1c得于是于是 xxeexf22)(xexfxf24)(2)(xxcee22练习题练习题:(题题3只考虑方法及步骤只考虑方法及步骤)p326 题题2 求以求以1)(22ycx为通解的微分方程为通解的微分方程.提示提示:1)(22ycx02)(2yycx消去消去 c 得得1) 1(22 yyp327 题题3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:xyyyx2) 1 (提示提示: 令令 u = x y , 化成可分离变量方程化成可分离变量方程 :uu2) 1ln(ln)2(xxayxy

7、x提示提示: 这是一阶线性方程这是一阶线性方程 , 其中其中,ln1)(xxxp)ln11()(xaxqp326 题题1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10)ln(2dd)3(xyyxy提示提示: 可化为可化为关于关于 x 的一阶线性方程的一阶线性方程yyxyyxln22dd0dd)4(33yxyxxy提示提示: 为贝努里方程为贝努里方程 , 令令2 yz0dddd)5(22yxyxyyyyxx提示提示: 为全微分方程为全微分方程 , 通解通解cyxyxarctan)(21220dd)3()9(24xyxyxy提示提示: 可化为贝努里方程可化为贝努里方程x

8、yxyxy43dd令令2xz 微分倒推公式微分倒推公式原方程化为原方程化为 yxxy2)10(xyxu2, 即即,22uuxy则则xydduxuuxudd)(22故原方程通解故原方程通解cyxxyx23)(33222ddxuuxuuexd2cueuud2d2cuuud21222232ucu u2xuxdd2xuudd2提示提示: 令令例例4. 设河边点设河边点 o 的正对岸为点的正对岸为点 a , 河宽河宽 oa = h, 一鸭子从点一鸭子从点 a 游向点游向点二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程利用共性建立微分方程 ,利用个性确定定解条件利用个性确定定解条件.为平

9、行直线为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点且鸭子游动方向始终朝着点o ,h提示提示: 如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系. 设时刻设时刻t 鸭子位于点鸭子位于点p (x, y) ,设鸭子设鸭子(在静水中在静水中)的游速大小为的游速大小为bp求鸭子游动的轨迹方程求鸭子游动的轨迹方程 . o ,水流速度大小为水流速度大小为 a ,两岸两岸 ),(ab )0,(aa abyxao则则关键问题是正确建立数学模型关键问题是正确建立数学模型, 要点要点:则鸭子游速则鸭子游速 b 为为定解条件定解条件 a由此得微分方程由此得微分方程yxvvyxddyxybyxa22即即v鸭子的实际运动速度为鸭子的实际运动

10、速度为( 求解过程参考求解过程参考p273例例3 ).0hyxyxddyxyxba12( 齐次方程齐次方程 )b0pobb ,dd,ddtytxv bavhpabyxao2222,yxybyxxb2222,yxyyxx思考思考: 能否根据草图列方程能否根据草图列方程?),(yxmyxo练习题练习题:p327 题题 5 , 6p327 题题5 . 已知某曲线经过点已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程求它的方程 .提示提示: 设曲线上的动点为设曲线上的动点为 m (x,y),)(xxyyy令令 x = 0, 得截距得截距, xyy

11、y由题意知微分方程为由题意知微分方程为xxyy即即11yxy定解条件为定解条件为.11xyyxxtanx此点处切线方程为此点处切线方程为它的切线在纵p327 题题6. 已知某车间的容积为已知某车间的容积为,m630303,co%12. 02的其中含的新鲜空气的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空分钟后使车间空2co气中的含量不超过的含量不超过 0.06 % ?提示提示: 设每分钟应输入设每分钟应输入,m3k t 时刻车间空气中含时刻车间空气中含2co,m3x为则在则在,ttt内车间内内车间内2co x两端除以两端除以 ,t并令并令0t25005400d

12、dkxktx与原有空气很快混合均匀后与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出以相同的流量排出 )得微分方程得微分方程tk10004. 0txk54005400( 假定输入的新鲜空气假定输入的新鲜空气 2co%04. 0现以含输入输入 , 的改变量为的改变量为 t = 30 时时5406. 0540010006. 0 x2504ln180k25005400ddkxktx5412. 00tx解定解问题解定解问题)04. 008. 0(545400tkex因此每分钟应至少输入因此每分钟应至少输入 250 3m新鲜空气新鲜空气 .初始条件初始条件540010012. 00tx5412. 0得得 k

13、 = ? 作业作业 p269 3 , 7; p276 *4 (2) ; p282 9 (2) , (4) 二阶微分方程的 习题课习题课 (二二)二、微分方程的应用二、微分方程的应用 解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 第十二章 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令令xyypdd)(),(ddpyfypp逐次积分求解逐次积分求解 2. 二阶线性微分方程的解法二阶线性微分

14、方程的解法 常系数情形常系数情形齐次齐次非齐次非齐次代数法代数法 欧拉方程欧拉方程yx 2yxpyq)(xftdextdd,令qpddd ) 1(y)(tef练习题练习题: p327 题 2 ; 3 (6) , (7) ; 4(2)； 8解答提示解答提示p327 题题2 求以求以xxececy221为通解的微分方程为通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根为由通解式可知特征方程的根为,2,121rr故特征方程为故特征方程为,0)2)(1(rr0232 rr即因此微分方程为因此微分方程为023 yyyp327 题题3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解, 01)6(2 yyy

15、.2sin52)7(xyyy 提示提示: (6) 令令, )(ypy 则方程变为则方程变为,01dd2 pyppyyypppd1d2即特征根特征根:xyyy2sin52)7( ,212, 1ir齐次方程通解齐次方程通解:)2sin2cos(21xcxceyx令非齐次方程特解为令非齐次方程特解为xbxay2sin2cos*代入方程可得代入方程可得174171,ba思思 考考若若 (7) 中非齐次项改为中非齐次项改为,sin2x提示提示:,sin22cos12xxxbxay2sin2cos*故d原方程通解为原方程通解为xx2sin2cos174171)2sin2cos(21xcxceyx特解设法有

16、何变化特解设法有何变化 ?p327 题题4(2) 求解求解02 yay,00 xy10 xy提示提示: 令令),(xpy 则方程变为则方程变为2ddpaxp积分得积分得,11cxap利用利用100 xxyp11c得再解再解,11ddxaxy并利用并利用,00 xy定常数定常数.2c思考思考若问题改为求解若问题改为求解0321 yy,00 xy10 xy则求解过程中得则求解过程中得,112xp问开方时正负号如何确定正负号如何确定?p327 题题8 设函设函数数222, )(zyxrrfu在在 r 0内内满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程, 0222222zuyuxu)(rf其中二阶可导二阶可导,

17、且且,1) 1 () 1 ( ff试将方程化为以试将方程化为以 r 为自变为自变量的常微分方程量的常微分方程 , 并求并求 f (r) .提示提示:rxrfxu)( 2222)(rxrfxu )(rf r132rx利用对称性利用对称性, 0)(2)( rfrrf即0)(2)(2 rfrrfr( 欧拉方程欧拉方程 )原方程可化为原方程可化为0)(2)(2 rfrrfr,lnrt 令1) 1 () 1 ( ff.12)(rrf解初值问题解初值问题:,ddtd 记则则原方程化为原方程化为 02) 1(fddd02fdd即通解通解: teccrf21)(rcc121利用初始条件得特解利用初始条件得特解

18、: xxcxcysincos21特征根特征根 :,2 , 1ir例例1. 求微分方程求微分方程2, xxyy,00 xy,00 xy提示提示:,2时当x故通解为故通解为)(sin2xxxy2,04 xyy满足条件满足条件2x在解满足解满足xyy ,00 xy00 xy处连续且可微的解处连续且可微的解.设特解设特解 :,baxy代入方程定代入方程定 a, b, 得得xy , 0, 000 xxyy利用得得2x由处的衔接条件可知处的衔接条件可知,2时当x04 yy,122xy12xy解满足解满足故所求解为故所求解为y,sinxx 2221,2cos)1 (2sinxxx2xxcxcy2cos2si

19、n21其通解其通解:定解问题的解定解问题的解:2221,2cos)1 (2sinxxxy例例2.,)(二阶导数连续设xf且满足方程且满足方程xtdtftxxxf0)()(sin)(. )(xf求提示提示: ,)()(sin)(00 xxtdtfttdtfxxxf则则xxfcos)()(sin)(xfxxf xtdtf0)()(xfx)(xfx问题化为解初值问题问题化为解初值问题:xxfxfsin)()( ,0)0(f1)0( f最后求得最后求得xxxxfcos2sin21)(思考思考: 设设, 0)0(,d)()(0 xxuuxxex?)(x如何求提示提示: 对积分换元对积分换元 ,uxt 令

20、则有则有xxttex0d)()()()(xexx 解解初值问题初值问题: xexx )()(,0)0(1)0(答案答案:xxexex41) 12(41)(的解的解. 例例3.设函数设函数),()(在xyy,)()(, 0的函数是xyyyxxy内内具有连续二阶导具有连续二阶导(1) 试将试将 xx( y) 所满足的微分方程所满足的微分方程 变换为变换为 yy(x) 所满足的微分方程所满足的微分方程 ;(2) 求变换后的微分方程满足初始条件求变换后的微分方程满足初始条件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx, 0)0(y数数, 且且23)0( y解解: ,1ddyyx, 1ddyxy即上式两

21、端对上式两端对 x 求导求导, 得得: (1) 由反函数的导数公式知由反函数的导数公式知(03考研考研)0)(dddd222 yyxyxy222)(ddddyyxyyx 3)(yy 代入原微分方程得代入原微分方程得 xyysin (2) 方程的对应齐次方程的通解为方程的对应齐次方程的通解为 xxececy21设的特解为设的特解为 ,sincosxbxay代入得 a0,21b,sin21xy故从而得从而得的通解的通解: xececyxxsin2121由由初始条件初始条件 ,23)0(, 0)0(yy得得1, 121cc故所求故所求初值问题的解为初值问题的解为 xeeyxxsin21二、微分方程的

22、应用二、微分方程的应用 1 . 建立数学模型建立数学模型 列微分方程问题列微分方程问题建立微分方程建立微分方程 ( 共性共性 )利用物理规律利用物理规律利用几何关系利用几何关系确定定解条件确定定解条件 ( 个性个性 )初始条件初始条件边界条件边界条件可能还要衔接条件可能还要衔接条件2 . 解微分方程问题解微分方程问题3 . 分析解所包含的实际意义分析解所包含的实际意义 例例4. 解解:欲向欲向宇宙发射一颗人造卫星宇宙发射一颗人造卫星, 为使其为使其摆脱地球摆脱地球 引力引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度初始速度应不小于第二宇宙速度, 试试计算此速度计算此速度.设设人造地球卫星质量为人造地球卫

23、星质量为 m , 地球质量为地球质量为 m , 卫星卫星的的质心到地心的距离为质心到地心的距离为 h , 由由牛顿第二定律得牛顿第二定律得: 222ddhmmgthm00dd,vthrht,0v为(g 为引力系数为引力系数)则有初值问题则有初值问题: 222ddhmgth又设又设卫星的初速度卫星的初速度，已知地球半径51063r),(ddhvth设,dddd22hvvth则代入原方程代入原方程, 得得2ddhmghvvhhmgvvdd2两边积分得两边积分得chmgv221利用初始条件利用初始条件, 得得rmgvc2021因此因此rhmgvv112121202221limvhrmgv12120注

24、意到注意到 为使为使,0v应满足0vrmgv20因为当因为当h = r (在地面上在地面上) 时时, 引力引力 = 重力重力, )sm81. 9(22ggmhmmg即即,2grmg故代入代入即得即得81. 910632250grv) s(m102 .113这这说明第二宇宙速度为说明第二宇宙速度为 skm2 .11求质点的运动规求质点的运动规例例5. 上的力上的力 f 所作的功与经过的时间所作的功与经过的时间 t 成正比成正比 ( 比例系数比例系数,00vs初始速度为初始位移为).(tss 律提示提示:,d0tksfss由题设两边对两边对 s 求导得求导得:stkfdd牛顿第二定律牛顿第二定律s

25、tktsmdddd22mktsts22ddddtdd2ddtsmk2 2ddts12 ctmk为为 k), 开方如何定开方如何定 + ?已知一质量为已知一质量为 m 的质点作直线运动的质点作直线运动, 作用在质点作用在质点例6. 一链条挂在一钉子上一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子启动时一端离钉子 8 m ,另一端离钉子另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦如不计钉子对链条所产生的摩擦 力力, 求链条滑下来所需的时间求链条滑下来所需的时间 .解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图. 设在设在时刻时刻 t , 链条较长一段链条较长一段xox下垂下垂 x m ,又设又设链条线

26、密度为常数链条线密度为常数,此时链条受力fgxgx)20(gx)10(2由由牛顿第二定律牛顿第二定律, 得得22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttxgxgtx10dd22101 . 021 . 01tgtgececx由由初始条件得初始条件得, 121 cc故故定解问题的解为定解问题的解为解得解得24)10(1021 . 0 xxetg), 1(舍去另一根左端当当 x = 20 m 时时,(s)625ln(10gt微分方程通解微分方程通解: 101 . 01 . 0tgtgeex思考思考: 若摩擦力为链条若摩擦力为链条 1 m 长的重量长的重量 , 定解问题的定解问题的数学模型是

27、什么数学模型是什么 ?摩擦力为链条摩擦力为链条 1 m 长的重量长的重量 时的数学模型为时的数学模型为xox不不考虑摩擦力时的数学模型为考虑摩擦力时的数学模型为g1(s)322419ln10gt22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx此时链条滑下来此时链条滑下来所需时间为所需时间为yoy练习题练习题从船上向海中沉放某种探测仪器从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测按探测要求要求, 需确定仪器的下沉深度需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度与下沉速度 v 之间的函之间的函数关系数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉

28、设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为设仪器质量为 m,体积为体积为b , 海水比重为海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正仪器所受阻力与下沉速度成正 比比 , 比例系数为比例系数为 k ( k 0 ) , 试建立试建立 y 与与 v 所满足的微分所满足的微分方程方程, 并求出函数关系式并求出函数关系式 y = y (v) . ( 95考研考研 )提示提示: 建立坐标系如图建立坐标系如图.质量质量 m体积体积 b由牛顿第二定律由牛顿第二定律b22ddtymvk重力重力浮力浮力 阻力阻力mgtvtydddd22tyyvddddyvvdd注意注意: bgmvkbgmkbgmmvkmyln)(2vkbgmyvvmdd初始条件为初始