第二讲应用举例

1、基础知识复习1、正弦定理2、余弦定理2222222222cos2cos2cosabcbcabacacbcababc2sinsinsin()abcrabcr其中 为外接圆的半径定理正弦定理余弦定理解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.a为锐角a为钝角或直角图形a为锐角a为钝角或直角关系式absinaabsinabsin aabab解的个数无解一解两解一解一解无解1、分析分析：理解题意，画出示意图 2、建模建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中3、求解求解：运用正弦定理和余弦定理

2、，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。4、检验检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。 实际问题实际问题数学问题（三角形）数学问题（三角形）数学问题的解（解三角形）数学问题的解（解三角形）实际问题的解实际问题的解解斜三角形应用题的一般步骤是：解斜三角形应用题的一般步骤是：:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在(1)测量距离.(2)测量高度.)3(测量角度解斜三角形中的有关名词、术语解斜三角形中的有关名词、术语： （1）坡度：斜面与地平面所成的角度。）坡度：斜面与地平面所成的角度。 （2）仰角和俯角：在）仰角和俯角：在视线视线和和水平线水平线所成的角中，所成的角中，视线

3、在水平线视线在水平线上方上方的角叫仰角，视线在水平线的角叫仰角，视线在水平线下下方方的角叫俯角。的角叫俯角。 （3）方位角：从正北方向）方位角：从正北方向顺时针顺时针转到目标方向转到目标方向的夹角。的夹角。 （4）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角内交叉而成的角:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在(1)测量距离.例例1.设设a、b两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在测量者在a的同测，在所在的河岸边选定一点的同测，在所在的河岸边选定一点c，测出测出ac的距离是的距离是55cm，bac51o

4、， acb75o，求，求a、b两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形sinsinabaccb解：根据正弦定理，得解：根据正弦定理，得答：答：a,b两点间的距离为两点间的距离为65.7米。米。sinsinsin55sinsinsin55sin7555sin7565.7( )sin(1805175 )sin54abacacbabcacacbacbababcabcm变式练习：两灯塔变式练习：两灯塔a a、b b与海洋观察站与海洋观察站c c的距离都的距离都等于等于a km,a km,灯塔灯塔a a在观察站

5、在观察站c c的北偏东的北偏东3030，灯塔，灯塔b b在观察站在观察站c c南偏东南偏东6060，则，则a a、b b之间的距离为多少？之间的距离为多少？例例2.a、b两点都在河的对岸（不可到达），设计两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。一种测量两点间的距离的方法。分析：用例分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一的方法，可以计算出河的这一岸的一点点c到对岸两点的距离，再测出到对岸两点的距离，再测出bca的大小，的大小，借助于余弦定理可以计算出借助于余弦定理可以计算出a、b两点间的距离。两点间的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点解：测量者可以在河岸边选定两点c

6、、d，测得，测得cd=a,并并且在且在c、d两点分别测得两点分别测得bca=, acd=, cdb=, bda=.在在 adc和和 bdc中，应用正弦定理得中，应用正弦定理得计算出计算出ac和和bc后，再在后，再在 abc中，应用余弦定理计中，应用余弦定理计算出算出ab两点间的距离两点间的距离sin()sin()sin()sin 180()sinsinsin()sin 180()aaacaabc222cosabacbcacbc变式训练：若在河岸选取相距变式训练：若在河岸选取相距4040米的米的c c、d d两两点，测得点，测得 bca= bca= ， acd= acd= ， cdb= cdb=

7、 ，bda=bda=60304560求求a、b两点间距离两点间距离 .注：阅读教材注：阅读教材p12p12，了解，了解基线基线的概念的概念练习练习1.一艘船以一艘船以32.2n mile / hr的速度向正的速度向正北航行。在北航行。在a处看灯塔处看灯塔s在船的北偏东在船的北偏东20o的的方向，方向，30min后航行到后航行到b处，在处，在b处看灯塔处看灯塔在船的北偏东在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？艘船可以继续沿正北方向航行吗？11545sin2016.1s

8、in207.787()sin45sin45,sin657.06()6.5asbsbasabsbn milesabhhsbn milehn mile 解：在中，由正弦定理得设点 到直线的距离为则此船可以继续沿正北方向航行答：此船可以继续沿正北方向航行练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆bc的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点b与车厢支点与车厢支点a之间的距离为之间的距离为1.95m，ab与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，ac长为长为1.40m，计算，计算bc

9、的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） （1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三角形？形？ 在在abc中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？cab练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆bc的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点b与车厢支点与车厢支点a之间的距离为之间的距离为1.95m，ab与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为6202

10、0，ac长为长为1.40m，计算，计算bc的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知abc中中ab1.95m，ac1.40m， 夹角夹角cab6620，求，求bc解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得答：顶杆答：顶杆bcbc约长约长1.89m。 cab22222 2cos 1.951.402 1.95 1.40 cos66 20 3.571 1.89(m)bcabacab acabc :多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在(2)测量高度.测量垂直高度测量垂直高度 1 1、底部可以到达的、底部可以到达的 测量出角测

11、量出角c c和和bcbc的长度，解直的长度，解直角三角形即可求出角三角形即可求出abab的长。的长。 .,. 3的方法物高度设计一种测量建筑为建筑物的最高点不可到达的一个建筑物是底部例ababab图中给出了怎样的一个图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，几何图形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想beaghdc2 2、底部不能到达的、底部不能到达的 例例3 ab是底部是底部b不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，a为建筑为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度物的最高点，设计一种测量建筑物高度ab的方法的方法分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部b是不可到达的，所以不能直是不

12、可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能直角三角形的知识，只要能测出一点测出一点c到建筑物的顶部到建筑物的顶部a的距离的距离ca,并测出由点并测出由点c观察观察a的仰角，就可以计算的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出法借助解三角形的知识测出ca的长的长。beaghdc)sin(sinaachahachaeab)sin(sinsinsin解：选择一条水平基线解：选择一条水平基线hg,使使h,g,b三点在同一条直线上。由三点在同一条直线上。由在在h,g两点用测角仪器测得两点用测角仪器测得a的的

13、仰角分别是仰角分别是，cd=a,测角仪测角仪器的高是器的高是h.那么，在那么，在 acd中，中，根据正弦定理可得根据正弦定理可得例例3. ab是底部是底部b不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，a为建筑为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度物的最高点，设计一种测量建筑物高度ab的方法的方法beaghdc).1(,3 .27.150, 4054,. 400mdcmbcacab精确到求出山高部分的高为塔已知铁角处的俯处测得在塔底的俯角面上一点处测得地铁塔上在山顶如图例分析：根据已知条件，应该设分析：根据已知条件，应该设法计算出法计算出ab或或ac的长的长)(177)1504054sin(4

14、054sin150cos3 .27)sin(sincossin,mbcbadabbdabdrt得解cd=bd-bc177-27.3=150(m)答：山的高度约为答：山的高度约为150米。米。)sin(cos)sin()90sin(bcbcab所以，)90sin()sin(abbc解：在解：在abc中，中，bca= 90 +, abc= 90 -, bac=-, bad=.根据正弦定理，根据正弦定理，例例3 3：如图：如图, ,一辆汽车在一条水平的公路上向一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶正西行驶, ,到到a a处时测得公路北侧远处一山顶处时测得公路北侧远处一山顶d d在西偏北在西偏北1515

15、0 0的方向上的方向上, ,行驶行驶5km5km后到达后到达b b处处, ,测测得此山顶在西偏北得此山顶在西偏北25250 0的方向上的方向上, ,仰角为仰角为8 80 0, ,求求此山的高度此山的高度cd cd 分析：要测出高分析：要测出高cd,只要测出只要测出高所在的直角三角形的另一条高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出条件，可以计算出bc的长。的长。例例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到a处时测得处时测得公路南侧远处一山顶公路南侧远处一山顶d在东偏南在东偏南15的方向上，行驶的方向

16、上，行驶5km后到后到达达b处，测得此山顶在东偏南处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山，求此山的高度的高度cd.解：在解：在abc中，中，a=15, c= 25 15=10.根据正弦定理，根据正弦定理，cababcsinsin).(4524. 710sin15sin5sinsinkmcaabbccd=bctandbcbctan81047(m)答：山的高度约为答：山的高度约为1047米。米。变式：某人在变式：某人在m m汽车站的北偏西汽车站的北偏西20200 0的方的方向上的向上的a a处，观察到点处，观察到点c c处有一辆汽车处有一辆汽车沿公路向沿公路向m m站行驶

17、。公路的走向是站行驶。公路的走向是m m站站的北偏东的北偏东40400 0。开始时，汽车到。开始时，汽车到a a的距离的距离为为3131千米，汽车前进千米，汽车前进2020千米后，到千米后，到a a的的距离缩短了距离缩短了1010千米。问汽车还需行驶千米。问汽车还需行驶多远，才能到达多远，才能到达m m汽车站？汽车站？ :多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在.)3(测量角度).01. 0,1 . 0(,.0 .5432,5 .6775,. 6000nmilecacnmilebbnmilea确到距离精角度精确到需要航行多少距离航行此船应该沿怎样的方向出发到达航行直接从如果下次后到达海岛的方向

18、航行东沿北偏出发然后从后到达海岛航行的方向沿北偏东出发一艘海轮从如图例例例6 一艘海轮从一艘海轮从a出发，沿北偏东出发，沿北偏东75的方向航行的方向航行67.5n mile后到达海岛后到达海岛b,然后从然后从b出发，沿北偏东出发，沿北偏东32的方向航行的方向航行54.0n mile后到达海岛后到达海岛c.如果下次航行直接从如果下次航行直接从a出发到达出发到达c,此船应该此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1,距距离精确到离精确到0.01n mile）?解：在解：在 abc中，中，abc1807532137，根据余弦定理，根据余

19、弦定理，15.113137cos0 .545 .6720 .545 .67cos22222abcbcabbcabac练习练习1 1如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄cb绕绕c点旋转点旋转时，通过连杆时，通过连杆ab的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在cb。位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点a在在a。处，设连处，设连杆杆ab长为长为340mm，由柄，由柄cb长为长为85mm，曲柄自，曲柄自cb按顺时针方按顺时针方向旋转向旋转80，求活塞移动的距离（即连杆的端点，求活塞移动的距离（即连杆的端点a移动的距移动的距离离 ）（精确到）（精确到1mm） aa0已知已知abc中，中， bc85mm，ab340mm，c80，求求ac 解：（如图）在解：（如图）在abc中，中， 由正弦定理可得：由正弦定理可得：2462. 034080sin85sinsin abcbca因为因为bcab，所以，所以a为锐角为锐角 ， a14