人教版高中数学选修11教案：3.1.1变化率问题

1、高中数学选修精品教学资料§3.1.1变化率问题 项目内容课题（共 1 课时）修改与创新教学目标1理解平均变化率的概念；2了解平均变化率的几何意义；3会求函数在某点处附近的平均变化率教学重、难点教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念教学准备多媒体课件教学过程一、导入新课：为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求

2、长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度二、讲授新课：（一）问题提出问题1气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?n 气球的体积v(单位:l)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是n 如果将半径r表示为体积v的函数,那么分析: ,1 当v从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为2 当v从1增加到2时,气球半径增加了tho 气球的平均膨胀率为

3、可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了思考：当空气容量从v1增加到v2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4. 9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算：和的平均速度在这段时间里,；在这段时间里,探究：计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像,结合图形可知,

4、所以,虽然运动员在这段时间里的平均速度为,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态（二）平均变化率概念:1上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)3 则平均变化率为思考：观察函数f(x)的图象x2x= x2-x1平均变化率表示什么?f(x2)yy =f(x2)-f(x1)f(x1)直线ab的斜率x1xo三典例分析例1已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 解：,例2 求在附近的平均变化率。解：,所以 所以在附近的平均变化率为四课堂练习1质点运动规律为,则在时间中相应的平均速度为 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.3.过曲线y=f(x)=x3上两点p（1,1）和q (1+x,1+y)作曲线的割线,求出当x=0.1时割线的斜率.课堂小结：1平均变化率的概念2函数在某点处附近的平均变化率布置作业：p.79 1,2板书设计§3.1.1变化率问题问题1 气球膨胀率问题2 高台跳水平均变化率的概念表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率设, 则平均变化率为例1例2教学反思 以实例引入平均变化率的概念,利于学