新函数连续性18

1、二、二、 连续函数的运算及初等函数的连续性连续函数的运算及初等函数的连续性一、一、 连续函数的概念连续函数的概念第八节第八节函数的连续性 第一章 三、三、 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 xy0)(xfy 0 xxy00 x)(xhy xy00 x)(xgy 一、连续函数的概念一、连续函数的概念1.1.函数在一点处的连续性函数在一点处的连续性定义定义1 1)(xfy 在在0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , , , )()(lim00 xfxfxx则称函数则称函数.xxf连续连续在在0)(设函数设函数且且可见可见, , 函数函数)(xf在点在点0 x(1) (1) )(xf

2、在点在点0 x即即)(0 xf(2) (2) 极限极限)(lim0 xfxx(3)(3). )()(lim00 xfxfxx连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件: :存在存在 ; ;有定义有定义, ,存在存在; ;:定义定义 ,xx,时时使当使当 000.xfxf )()(0恒有恒有函数的增量函数的增量xy0 xy0 xx00 x)(xfy x xx00 xx y y )(xfy 是某变量，是某变量，设设u，变到终值变到终值它从初值它从初值21uu就称为就称为12uu ,uu处的增量处的增量在在变量变量1.uuuu12 即即记为记为,xuxf内有定义内有定义在在设函数设函数)()(0 变为

3、变为由初值由初值当自变量当自变量0 xx,xx时时终值终值 0.xfxxfyy)()(00 的增量的增量么函数值么函数值,xxfxfy)()(00 变为变为也由也由对应的函数值对应的函数值那那,0 xxx 设设0 xx 则则定义定义2 2 )(xf)(0 xu 设函数设函数在在内有定义内有定义, 如果当自变量的如果当自变量的 x y 增量增量趋向于零时趋向于零时,也趋向于零也趋向于零, 对应的函数的增量对应的函数的增量即即, 0lim0yx连续，在点那么就称函数0)(xxf.)(的连续点函数xfyx 0lim0 )()(lim00 xfxfxx )()(limlim0000 xfxxfyxx

4、)()(lim00 xfxfxx ?),0(x)()(00 xfxxfy称为0 x例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义由定义1知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 例例2.x,xxxxf000处连续处连续在在试证函数试证函数)(单侧连续单侧连续.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 定理定理.)()(00既左连续又右连续处在是函数处连续在函数xxfxxf定

5、义定义3;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 例例3 3.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf2. 2. 函数在区间上的连续性函数在区间上的连续性.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左

6、端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,.,内内是是连连续续的的有有理理整整函函数数在在区区间间)(在区间在区间 内每一点都连续的函数内每一点都连续的函数,)(b ,a间上的间上的连续函数连续函数, ,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续. .叫做在该区叫做在该区例例4 4.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 则则

7、,0,时时当当对任意的对任意的 ,sin有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy.,xxf内连续内连续区间区间在在可得函数可得函数由例由例)(0)(23.3.函数的间断点及其分类函数的间断点及其分类:)(0条条件件处处连连续续必必须须满满足足的的三三个个在在点点函函数数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 在在在在(1)(1)函数函数)(xf0 x(2)(2)函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在; ;(3)(

8、3)函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , ,但但)()(lim00 xfxfxx 不连续不连续 : :0 x设设0 x在点在点)(xf的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义, ,则满足下列则满足下列这样的点这样的点0 x情形之一的函数情形之一的函数 f (x)在点在点虽有定义虽有定义, , 但但虽有定义虽有定义, , 且且称为函数的称为函数的间断点间断点 . . 在在无定义无定义 ; ;间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点: :)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , , )()(00 xfxf若若称称0 x, )()(00 xfxf若若称称0 x第二类

9、间断点第二类间断点: :)(0 xf及及)(0 xf中至少一个不存在中至少一个不存在 , ,称称0 x若其中有一个为若其中有一个为,为为可去间断点可去间断点 . .为为跳跃间断点跳跃间断点 . .为为无穷间断点无穷间断点 . .例例5 5.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0为为函函数数的的可可去去间间断断点点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使

10、其变为连续点则可使其变为连续点.例例6 6.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy例例7 7.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点且为无穷间且为无穷间例例8 8.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不

11、存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断断点点这这种种情情况况称称为为振振荡荡间间例例9 9nnnxxxf2211lim)(研究函数研究函数间断点，说明间断点的类型间断点，说明间断点的类型. .的连续性，如有的连续性，如有二、连续函数的运算及初等函数的连续性二、连续函数的运算及初等函数的连续性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xxxx cot,tan?定理定理2 2 在区间上单调递增在区间上单调递增(

12、 (递减递减) )且连续的函数的且连续的函数的反函数在相应区间上也单调递增反函数在相应区间上也单调递增( (递减递减) )且连续且连续. .( (证明略证明略) )例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy. 1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy在其定义域内连续在其定义域内连续. .故故xey 在在),(上连续上连续 单调单调 递增递增, ,其反函数其反函数xyln在在),0(上也连续单调递增上也连续单调递增. .又如又如, , 定理定理.)(lim)()(lim)(lim,)(,)(lim,d)u(,)()()(00000000

13、xgfufufxgfuuufyuxgxxguufyxgfyxxuuxxxxgf则有处连续在而若复合而成与是由函数函数（证明略）（证明略）例如例如.xxx9323lim求求66619323xxxlim原式原式解解证证: : 设函数设函数)(xgu ,x 连连续续在在点点0.uxg00)(,uufy连续连续在点在点函数函数0)(. )()(lim00ufufuu于是于是)(limxgfxx0)(lim(0 xgfxx)(0 xgf故复合函数故复合函数)(xgf.连续在点0 x且且即即定理定理3 3.)(,)(,)()(,d)u(,)()()(000000处也连续在函数则复合处连续在而函数处连续且在

14、若函数复合而成与是由函数函数xxgfuuufyuxgxxgxxguufyxgfygf例如例如.xy的连续性的连续性考虑函数考虑函数1sin,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xyxyoxy1sin2.初等函数的连续性初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在定理定理 基本初等函数在定

15、义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内连续内连续在在 ,不同值不同值讨论讨论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )基本初等函数在定义域内连续基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内连续连续例如例如, ,21xy的连续区间为的连续区间为1, 1( (端点为单侧连续端点为单侧连续) )xysinln的连续区间为的连续区间为znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定义域为的定义域为znnx,

16、2因此它无连续点因此它无连续点而而定理定理4 4 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .例例1010. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e解解)()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.例例1111.,x,e,x,x,xxxfx的连续性的连续性讨论函数讨论函数00210111)(三、三、 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 例如例如, 2max y,sin1xy ,2 , 0上上

17、在在 ; 0min y定义定义: :.上的最小值点上的最小值点在区间在区间 i使得使得如果存在如果存在,i 1,ixf上有定义上有定义在区间在区间函数函数)(，都有都有对于对于)()(i1 fxfx上存在上存在在区间在区间则称函数则称函数i)(xf最大值，最大值，,)()(1上上取取到到的的最最大大值值在在区区间间是是函函数数ixff 称为称为1.)(上上的的最最大大值值点点在在区区间间函函数数ixf,i 2如果存在如果存在使得使得，都有都有)()(i2 fxfx上存上存在区间在区间则称函数则称函数ixf)(,i)()(2上取到的最小值上取到的最小值在区间在区间是函数是函数xff )(xf函数

18、函数对于对于在最小值，在最小值，为为2 问题问题1 1 如何根据函数在区间上的图形找该函数在区间上如何根据函数在区间上的图形找该函数在区间上的最大值点的最大值点 和最小值点？和最小值点？ab2 1 xyo)(xfy 问题问题2 2 是否在某区间上有定义的函数在这个区间一定有是否在某区间上有定义的函数在这个区间一定有最大值最大值 和最小值？和最小值？例例)(10,x , xyxoy11无最大值与最小值无最大值与最小值21,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值也无最大值和最小值 又如又如, 定理定理5 5( (最值定理最值定理) )在在闭区间闭区间上连续的函数在该区间

19、上一上连续的函数在该区间上一定存在最大值与最小值定存在最大值与最小值. .xff,xffb ,ax,b ,a,b ,acxf)()()()()(2121有有使得使得则则若若即即( (证明略证明略) )推论推论( (有界性）有界性）在在闭区间闭区间上连续的函数在该区间上一定上连续的函数在该区间上一定有界有界. .定理定理6 6( (介值定理介值定理) )在闭区间上连续的函数必取得在闭区间上连续的函数必取得介于最大值介于最大值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .mm定理定理7 7( ( 零值定理零值定理 ) ).fb,abfafbfaf,b,axf00)()(),)()()()()(

20、使使至少存在一点至少存在一点上上那么在开区间那么在开区间异号异号与与且且上连续上连续闭区间闭区间设函数设函数ab3 2 1 .,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy xyo)(xfy 几何意义：几何意义：证证：知知根据最值定理以及根据最值定理以及0)()(bfaf,m,m00再利用介值定理可证取值为再利用介值定理可证取值为0的点的存在性的点的存在性. .例例1212.)1 , 0(01423至至少少有有一一根根内内在在区区间间证证明明方方程程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(

21、上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xx说明说明: :,21x,0)(8121f内必有方程的根内必有方程的根 ; ;) 1 ,(21取取 1 ,21的中点的中点,43x,0)(43f内必有方程的根内必有方程的根 ; ;),(4321可用此法求近似根可用此法求近似根. .二分法二分法4321x01的的中中点点取取10,则则则则例例1313.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间

22、在区间设函数设函数证证,)()(xxfxf 令令,)(上连续上连续在在则则baxfaafaf )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( ffbbfbf )()(, 0 .)( f即即零值定理的推广零值定理的推广.fb,axfxf,b,axfbxax0)(),(,),()(lim)(lim)()(1)使使得得存存在在一一点点则则至至少少且且二二者者反反号号或或为为无无穷穷大大存存在在和和且且上上连连续续开开区区间间设设函函数数.f,xfxf,xfxx0)(),(,),()(lim)(lim)()(2)使使得得一一点点则则至至少少存存在在且且二二者者反反号号或或为为

23、无无穷穷大大存存在在和和且且上上连连续续开开区区间间设设函函数数例例1414.xfna,axaxaxxfnnn-nn正正根根和和一一个个负负根根至至少少有有一一个个为为偶偶数数，则则方方程程且且若若证证明明设设函函数数00111)(,)()()(lim00 xfxfxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左连续左连续右连续右连续,0,0当当xxx0时时, , 有有yxfxf)()(0函数函数0 x)(xf在点在点连续有下列连续有下列等价命题等价命题: :小结小结 作作 业业 p69 1.(1)(6)（10） 2.(3)（4） 4. 5. 7. 12三、小结三、小结1.函数在一点连续必

24、须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x思考题思考题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否连连续续？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x连连续续，)(xf在在0 x是是否否连连续续？思考题解答思考题解答)(xf在在0 x连续，连续，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都连续都连续.但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不连连续续但但| )(|xf、)(2xf在在00 x连连续续一、一、 填空题：填空题：1 1、 指出指出23122 xxxy 在在1 x是第是第_类间类间断点；在断点；在2 x是第是第