带电粒子在有界匀强磁场中运动的问题

1、带电粒子在有界匀强磁场中运动的问题有界匀强磁场是指在局部空间内存在着匀强磁场。 对磁场边界约束时，可以使磁场有着多种 多样的边界形状，如：单直线边界、平行直线边界、矩形边界、圆形边界、三角形边界等。这类问题中一般设计为： 带电粒子在磁场外以垂直磁场方向的速度进入磁场， 在磁场内经历 一段匀速圆周运动后离开磁场。 粒子进入磁场时速度方向与磁场边界夹角不同， 使粒子运动 轨迹不同，导致粒子轨迹与磁场边界的关系不同，由此带来很多临界问题。1、基本轨迹。(1 )单直线边界磁场(如图 1所示)。V2带电粒子垂直磁场进入磁场时。 如果垂直磁场边界进入，粒子作半圆运动后垂直原边界飞出； 如果与磁场边界成夹角

2、B进入，仍以与磁场边界夹角B飞出(有两种轨迹，图 1中若两轨迹共弦，则 01= 02)带电粒子在有界磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、 圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识。1.带电粒子在单边界磁场中的运动【例题】一个负离子，质量为m.电量大小为着匀强磁场的真空室中(如图11)。磁感应强度1中纸面向里。XXX0_BXPXXXSXXXXvXXXXq，以速率V垂直于屏S经过小孔0射入存在 B的方向与离子的运动方向垂直， 并垂直于图(1) 求离子进入磁场后到达屏 S上时的位置与 0点的距离。(2) 如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P,证明：

3、直线0P与离子入射方向之间的夹角0跟t的关系是“二qBt。2m解析：（1）离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛仑兹力作用下，做匀速圆周运动。 设圆半径为r，则据牛顿第二定律可得：XXXX图12V2mVBqV =mrr ，解得 BqBq当离子到位置P时,圆心角（见图12）：qBtr m ，因为2m（2）平行直线边界磁场如图12所示，离了回到屏 S上的位置A与0点的距离为：AO=2r。所以带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时， 速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出； 速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切; 速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出。【例题】如图15

4、所示，一束电子（电量为e）以速度V垂直射入磁感强度为 B,宽度为d的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°则电子的质量是，穿过磁场的时间是 。Px X X冥 4* Vii*|I ”. I$浓其 X X'B ''X X X X1解析：电子在磁场中运动，只受洛仑兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为f丄V,故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向交点上，如图15中的O点，由几何知识知，AB间圆心角 0= 30° OB为半径。/ r=d/sin30 =2d,又由 r=mV/Be 得 m=2dBe/V又 AB圆心角是30

5、6; A穿透时间t=T/12，故t= n c3V。如已知带电粒子的质V必须满足什么条件？带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动时要注意临界条件的分析。 量m和电量e,若要带电粒子能从磁场的右边界射出，粒子的速度 这时必须满足r=mV/Be>d，即V>Bed/m。带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时， 速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出； 速度在某一范围内时从侧面边界飞出； 速度为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与对面边界相切; 速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。【例题】长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图16所示，磁感强度为 B,板间距离也为L，

6、板不带电，现有质量为 m，电量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )+qA. 使粒子的速度 V<BqL/4m;B. 使粒子的速度 V>5BqL/4m ;C. 使粒子的速度 V>BqL/m ;D. 使粒子速度 BqL/4m<V<5BqL/4m。解析：由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏，而作匀速圆周运动，很明显，圆周运动的半 径大于某值r1时粒子可以从极板右边穿出， 而半径小于某值r2时粒子可从极板的左边穿出， 现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值r1以及粒子在左边穿出时r的最

7、大值r2,由几何知识得：粒子擦着板从右边穿出时，圆心在 0点，有：ri= L2+(ri-L/2)2 得 r仁5L/4,又由于ri=mVi/Bq得Vi=5BqL/4m，二V>5BqL4m时粒子能从右边穿出。粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在0/点，有r2 = L/4,又由r2 = mV2/Bq=L/4得V2= BqL/4m V2<BqL/4m时粒子能从左边穿出。综上可得正确答案是 A、B。(4 )带电粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动的几个特点。特点1：入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心，则出射速度方向的反向延长线必过该区 域圆的圆心。例1。如图1,圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁

8、场，磁感应强度为B,现有一电荷量为q,质量为m的正离子从a点沿圆形区域的直径入射，设正离子射出磁场区域方向与入 射方向的夹角为60，求此离子在磁场区域内飞行的时间。 解析：设正离子从磁场区域的b点射出，射出速度方向的延长线与入射方向的直径交点为0,如图，正离子在磁场中运动的轨迹为一段圆弧，该轨迹圆弧对应的圆心 O位于初、末速度方向垂线的交点，也在弦ab的垂直平分线上，O b与区域圆相切，弦 ab既是轨迹圆弧对应的弦，也是区域圆的弦，由此可知，00就是弦ab的垂直平分线，0点就是磁场区域圆的圆心。又因为四边形OabO的四个角之和为360，可推出 aO'b = 60，因此，正离子在磁场中丄

9、1 _兀mt T 完成了 1/6圆周，即 63qB 特点2:入射速度方向（不一定指向区域圆圆心） 与轨迹圆弧对应的弦的夹角为 二（弦切角）， 则出射速度方向与入射速度方向的偏转角为 2，轨迹圆弧对应的圆心角也为 2二，并且初 末速度方向的交点、轨迹圆的圆心、区域圆的圆心都在弧弦的垂直平分线上。如图，带电粒子从 a点射入匀强磁场区域，初速度方向不指向区域圆圆心，若出射点为轨迹圆的圆心O在初速度Vo方向的垂线和弦ab的垂直平分线的交点上，入射速度方向与该 中垂线的交点为 d,可以证明：出射速度方向的反向延长线也过d点，O d、O都在弦ab的垂直平分线上。特点3:如果同一种带电粒子，速度方向一定、速

10、度大小不同时，出射点不同，运动轨迹对2咖应的弦不同，弦切角 二不同，该轨迹圆弧对应的圆心角2二也不同，则运 t动时qB间也不同。例2。如图4所示，在xOy坐标系第一象限内有一个与 x轴相切于Q点的圆形有界匀强磁 场，磁感应强度为 B,方向垂直纸面向外，一带电粒子（不计重力）质量为 m，带电荷量为+q，以初速度Vo从P点进入第一象限，r = 30，经过该圆形有界磁场时，速度方向偏转了60，从x轴上的Q点射出。问：在第一象限内圆形磁场区域的半径多大？分析：根据上述特点2可知，速度偏转角为60，那么弦切角就为30，我们可以先做出弦, 并且弦一定过 Q点，因此，做出过 Q点且平行于y轴的直线，与初速度

11、 V0方向的交点为 A，A点就是入射点，AQ就是弦，又因为区域圆在 Q点与x轴相切，AQ也是区域圆的直径，如图4。轨迹圆心为O,圆心角为60， AO'Q为等边三角形,半径,所以圆形磁场区域的半径为匚 _ mv02 2qBmv0r :qB也可在图4中体会一下，如果区域圆半径过大或过小，弦（入射点和Q点的连线）也会发生变化，可以看出弦切角不再是30，那么偏转角也就不会是 60 了。19、（2009年浙江卷）25.如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在 xOy平面内与y轴平行的匀强电场， 在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。 在圆的 左边放置一带电微粒发射装置，它沿

12、x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q >0)和初速度v的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0 v yv 2R的区间内。已知重力加速度大小为g。(1 )从A点射出的带电微粒平行于 x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向。(2 )请指出这束带电微粒与 x轴相交的区域，并说明理由。(3)在这束带电磁微粒初速度变为2v,那么它们与x轴相交的区域又在哪里？并说明理由。带电微粒发藝罟mv答案(1) qR ;方向垂直于纸面向外(2)见解析(3)与x同相交的区域范围是 x>0.【解析】本题考查带电粒子在复合场中的运动。带电粒子平行

13、于x轴从C点进入磁场，说明带电微粒所受重力和电场力平衡。设电场强度大E=mt，方向沿y轴正方向。且r=R小为e,由mg =qE可得 q带电微粒进入磁场后，将做圆周运动。B =空r，得qR方向垂直于纸面向外2_ mv qvB如图(a)所示，设磁感应强度大小为(2)这束带电微粒都通过坐标原点。解析：方法一从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，其圆心位于其正下方的Q点，如图(b)所示，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图(b)的虚线半圆，此圆的圆心是坐标原点 O。通过作图可知，这束带电微粒都是通过坐标原点后 离开磁场的B。由方法二从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中

14、做半径为R的匀速圆周运动。如图 c示，若P点与0'点的连线与y轴的夹角为0,其圆心Q的坐标为(-RsinQ RcosB),圆周运2 2 2动轨迹方程为x Rsi yRcosr二R。而磁场的边界是圆心坐标为(0, R)的圆周，其方程为X2+ ( Y-R2) =R2联立以上两式知：带电微粒做圆周运动的轨迹与磁场边界的交点为厂 x=-Rsin 0x=0y=R(1+cos 0 或-y=0坐标为-Rsin 0 R(1+cos 0)的点就是P点，须舍去。由此可见，这束带电微粒都是通过坐标 原点后离开磁场的。(3)这束带电微粒与 x轴相交的区域是x>0带电微粒在磁场中经过一段半径为r (r =

15、2R )的圆弧运动后，将在 y轴的右方(x>0)的区域离开磁场并做匀速直线运动，如图c所示。靠近 M点发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射向x轴正方向的无穷远处；靠近N点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场。所以，这束带电微粒与x同相交的区域范围是x>0.5、带电粒子在环状磁场中的运动【例题】核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内(否则不可能发生核反应)，通常采用磁约束的方法(托卡马克装置)。如图所示，环状匀强磁场围成中空区域， 中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5

16、m，外半径 R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T,若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4"°7c/ kg,中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算(1)粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。解析：(1)要粒子沿环状的半径方向射入磁场,不能穿越磁场,与外圆相切，轨迹如图 18所示。2 2 2 由图中知r1R =(R2 - r1)解得 ri = °.375mBqV, 由V12r得V1所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为则粒子的临界轨迹必须要M =1.5 1°7m/s(2)当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场

17、且轨道与外圆相切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图19所示。R2 - R1由图中知=0.25m BqV2由V2Bqa=1.0 107m/，得(2 )所有粒子不能穿越磁场的最大速度。所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度是V2 =1.0 1m/S6、带电粒子在 绿叶形"磁场中的运动【例题】如图所示，在 xoy平面内有很多质量为 m、电量为e的电子，从坐标原点 O不断 以相同的速率 V0沿不同方向平行 xoy平面射入第I象限。现加一垂直 xoy平面向里、磁感 强度为B的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且沿X轴正方向运动。求VamV)图20R =解

18、析：如图21所示，电子在磁场中做匀速圆周运动，半径为Be。在由o点射入第I象限的所有电子中，沿 y轴正方向射出的电子转过1/4圆周，速度变为沿 x轴正方向,这条轨迹为磁场区域的上边界。下面确定磁场区域的下边界。设某电子做匀速圆周运动的圆心 O/与O点的连线与y轴正方向夹角为 0,若离开磁场时电 子速度变为沿 x轴正方向，其射出点(也就是轨迹与磁场边界的交点)的坐标为(x, y)。由图中几何关系可得x=Rsin ,0 y=R-Rcos 0消去参数0可知磁场区域的下边界满足的方程为x2+(R-y)2=R2, (x>0, y>0)这是一个圆的方程，圆心在(0, R)处。磁场区域为图中两条

19、圆弧所围成的面积。磁场的最 小面积为；S =2(R24(二 _2)m2V。22e2B223、(2009年海南物理)16 .如图，ABCD是边长为a的正方形。质量为 m、 电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于 BC变射入正方形区域。 在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；(2 )此匀强磁场区域的最小面积。* o解析：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧AEC是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力f二evoB应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向

20、应垂直于纸面向外。圆弧AEC的圆心在CB边或其延长线上。 依题意，圆心在 A、C连 线的中垂线上，故 B点即为圆心，圆半径为 a按照牛顿定律联立式得ea（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C点垂直于BC入射电子在 A点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧 AEC是所求的最小磁场区域的一个边界。为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中 A点的电子的速度方向与 BA的延长线交310兰日£ 角为二（不妨设2 ）的情形。该电子的运动轨迹 qpA如右图所示。图中，圆 AP的圆心为O, pq垂直于BC边，由式知，圆弧 A

21、P的半径仍为a，在D为原点、DC为x轴, X = asi n 日AD为y轴的坐标系中，P点的坐标（X，y）为 y = -a-（z-ac°sr） = -ac°sd0兰日 这意味着，在范围2内，P点形成以D为圆心、a为半径的四分之一圆周 AFC，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。=2二 a2 一 1 aj 二422-2 2a因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周SAEC和AFC所围成的，其面积为7、带电粒子在有 圆孔"的磁场中运动【例题】如图22所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分

22、布着平行于 轴线的四条狭缝a、 b、c和d,外筒的外半径为r,在圆筒之外的足够大区域中有平行于 轴线方向的均匀磁场， 磁感强度的大小为E。 在两极间加上电压， 使两圆筒之间的区域内有 沿半径向外的电场。 一质量为m、带电量为+q的粒子， 从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出 发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S,则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）XXXXXXXX解析:如图所示，带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝do只要穿过了 d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过 c、b,再回到S点。设粒子进入磁场区的速度大小为 V,根据动能定理，qU =1mV2有：2设粒子做匀速圆周运动的半径为 R,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有:BqVV2=m R3S点，粒子从a到d必经过4圆周，所以半径R必2 2U = B qr定等于筒的外半径r，即R=ro由以上各式解得：2m，由前面分析可知，要回到o &带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动【例题】如图24所示，空间分