人教版高中数学选修11：3.4 生活中的优化问题举例 课时提升作业二十五 3.4 Word版含解析

1、高中数学选修精品教学资料课时提升作业(二十五)生活中的优化问题举例(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()a.13万件b.11万件c.9万件d.7万件【解析】选c.y=-x2+81,令导数y=-x2+81>0,解得0<x<9;令导数y=-x2+81<0,解得x>9,在区间(0,9)上是增函数,在区间(9,+)上是减函数,所以在x=9处取极大值,也是最大值.2.圆柱形金属饮料罐的体积一定,要使生产这种金

2、属饮料罐所用的材料最省,它的高与底面半径比为()a.21b.12c.14d.41【解题指南】设出高及底面半径,当饮料罐用料最省时,用体积表示出高及半径后求比值.【解析】选a.设圆柱形饮料罐的高为h,底面半径为r,则表面积s=2rh+2r2.由v=r2h,得h=vr2,则s(r)=2rvr2+2r2=2vr+2r2,令s(r)=-2vr2+4r=0,解得r=3v2,从而h=vr2=v3v22=34v=23v2,即h=2r,因为s(r)只有一个极值,所以它是最小值,当饮料罐的高与底面直径相等,即hr=21时所用材料最省.3.已知球o的半径为r,圆柱内接于球,当内接圆柱的体积最大时,高等于()a.2

3、33rb.33rc.32rd.3r【解析】选a.设球内接圆柱的高为h,圆柱底面半径为r,则h2+(2r)2=(2r)2,得r2=r2-14h2(0<h<2r).所以圆柱的体积为v(h)=r2h=hr2-14h2=r2h-14h3(0<h<2r).求导数,得v(h)=r2-34h2=r+3h2r-3h2,所以0<h<23r3时,v(h)>0;23r3<h<2r时,v(h)<0,由此可得:v(h)在区间0,23r3上是增函数;在区间23r3,2r上是减函数,所以当h=23r3时,v(h)取得最大值.4.(2015·益阳高二检测)

4、某箱子的体积与底面边长x的关系为v(x)=x260-x2(0<x<60),则当箱子的体积最大时,箱子底面边长为()a.30b.40c.50d.60【解题指南】v(x)是三次函数,其最值问题可用求导法.【解析】选b.v(x)=-32x2+60x=-32x(x-40),因为0<x<60,所以当0<x<40时,v(x)>0,此时v(x)单调递增;当40<x<60时,v(x)<0,此时v(x)单调递减所以x=40是v(x)的极大值,即当箱子的体积最大时,箱子底面边长为40.5.用长为90cm,宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四

5、角分别截去一个大小相同的小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),当容器的体积最大时,该容器的高为()a.8cmb.9cmc.10cmd.12cm【解析】选c.设容器的高为xcm,容器的体积为v(x)cm3,则v(x)=(90-2x)(48-2x)x=4x3-276x2+4320x(0<x<24),因为v(x)=12x2-552x+4320,由12x2-552x+4320=0得x=10或x=36(舍),因为当0<x<10时,v(x)>0,当10<x<24时,v(x)<0,所以当x=10时,v(x)在区间(0,24)内有唯一极

6、大值,所以容器高x=10cm时,容器体积v(x)最大.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如果圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为.【解析】设圆柱底面半径为r,高为h,圆柱轴截面的周长l为定值,则4r+2h=l,所以h=-2r,所以v=sh=r2h=r2(-2r) =r2-2r3,则v=rl-6r2,令v=0,可得rl-6r2=0,所以r(l-6r)=0,所以l-6r=0,所以r=,当r<时v>0,r>时,v<0,故当r=时,v取极大值.故当r=时,圆柱体积有最大值,圆柱体积的最大值是:v=r2-2r3=.答案:7.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗

7、油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y=1128 000x3-380x+8,x(0,120,且甲、乙两地相距100千米,则当汽车以千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少.【解析】当速度为x千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了100x小时,设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)=1128 000x3-380x+8·100x=11 280x2+800x-154(0<x120),h(x)=x640-800x2=x3-803640x2(0<x120).令h(x)=0,得x=80.当x(0,80)时,h(x)<0,h(x)是减函数;当x(

8、80,120时,h(x)>0,h(x)是增函数.所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少,最少为11.25升.答案:80【补偿训练】甲乙两地相距240km,汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成,固定成本为160元,可变成本为16 400v3元.为使全程运输成本最小,汽车应以速度行驶.【解析】设全程运输成本为y元,由题意,得y=240v160+16 400v3=240160v+16 400v2,v>0,y=240-160v2+26 400v.令

9、y=0,得v=80.当v>80时,y>0;当0<v<80时,y<0.所以v=80时,ymin=720.答案:80km/h8.某厂生产某种产品x件的总成本c(x)=1200+275x3(万元),已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,产量定为件时总利润最大.【解析】设产品单价为p,则有p2=kx,将x=100,p=50代入,得k=250000,所以p=500x.设总利润为l,l=l(x)=500xx-1 200+275x3(x>0),即l(x)=500xx-1200-275x3,l(x)=250x-2x225,令l(x)=0

10、,即250x-2x225=0,得x=25,因为x=25是函数l(x)在(0,+)上唯一的极值点,且是极大值点,从而是最大值点.答案:25三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·泰安高二检测)某工厂共有10台机器,生产一种仪器元件,由于受生产能力和技术水平等因素限制,会产生一定数量的次品.根据经验知道,每台机器产生的次品数p(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4x12)之间满足关系:p=0.1x2-3.2lnx+3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每产生1万件次品将亏损1万元.(利润=盈利-亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的

11、函数.(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大,最大利润为多少?【解析】(1)由题意得,所获得的利润为y=102(x-p)-p=20x-3x2+96lnx-90(4x12).(2)由(1)知,y=-6x2+20x+96x=-2(3x+8)(x-6)x当4x<6时,y>0,函数在4,6上为增函数;当6<x12时,y<0,函数在6,12上为减函数,所以当x=6时,函数取得极大值,且为最大值,最大利润为y=20×6-3×62+96ln6-90=96ln6-78(万元)答:当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大,最大利润为96ln6-

12、78万元.【补偿训练】某厂家拟对一商品举行促销活动,当该商品的售价为x元时,全年的促销费用为12(15-2x)(x-4)万元;根据以往的销售经验,实施促销后的年销售量t=12(x-8)2+ax-4万件,其中4<x<7.5,a为常数.当该商品的售价为6元时,年销售量为49万件.(1)求出a的值.(2)若每件该商品的成本为4元时,写出厂家销售该商品的年利润y万元与售价x元之间的关系.(3)当该商品售价为多少元时,使厂家销售该商品所获年利润最大.【解析】(1)由已知:当x=6元时,t=49万件,所以49=12(6-8)2+a2,所以a=2.(2)因为y=(x-4)·t-12(1

13、5-2x)(x-4)所以y=(x-4)·12(x-8)2+2x-4-12(15-2x)(x-4)=12(x-4)(x-8)2-12(15-2x)(x-4)+2=12(x-4)(x-7)2+2(4<x<7.5).(3)y=12(x-7)2+24(x-4)(x-7)=36(x-7)(x-5),令y=0得x=7或x=5.列表如下x(4,5)5(5,7)7(7,7.5)y+0-0+y极大值50极小值2故当x=5时,y最大=50,故该商品售价为5元时厂家销售该商品所获年利润最大.【误区警示】实际问题的求解不要忽视作答.10.(2015·桂林高二检测)用长为18m的钢条围成

14、一个长方体容器的框架,如果所制的容器的长与宽之比为21,那么高为多少时容器的体积最大?并求出它的最大体积.【解析】设长方体的宽为xm,则长为2xm,高为(4.5-3x)m.由x>0,4.5-3x>0,解得0<x<32,故长方体的体积为v(x)=2x2(4.5-3x)=9x2-6x30<x<32,从而v(x)=18x-18x2=18x(1-x),令v(x)=0,解得x=1或x=0(舍去),当0<x<1时,v(x)>0;当1<x<32时,v(x)<0,故在x=1处v(x)取得极大值,并且这个极大值就是v(x)的最大值,从而最大

15、体积为v(1)=9×12-6×13=3(m3),此时容器的高为4.5-3=1.5(m).因此,容器高为1.5m时容器的体积最大,最大体积为3m3.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.如图所示,半径为2的m切直线ab于点o,射线oc从oa出发绕着o点顺时针旋转到ob.旋转过程中,oc交m于点p.记pmo为x,弓形pno的面积为s=f(x),那么f(x)的图象是下图中的()【解析】选a.由所给的图示可得,当0<x时,弓形pno的面积为s=f(x)=s扇形pno-smpo=2x-2sinx,其导数为f(x)=2-2cosx,由余弦函数的性质知,此值越来越

16、大,即f(x)的图象上升得越来越快,由此可以排除b,c;再由所给图示的对称性知,弓形pno的面积先是增加得越来越快,然后是增加得越来越慢,直到增加率为0,由此可以排除d,故选a.2.将边长为1m的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记s=(梯形的周长)2梯形的面积,则s的最小值是()a.3233b.1633c.833d.433【解题指南】设剪成的小正三角形的边长为x,用x表示出梯形周长、梯形面积后代入求最值.【解析】选a.设剪成的小正三角形的边长为x,则s=(3-x)212·(x+1)·32·(1-x)=43·(3-x)21-x

17、2(0<x<1).设s(x)=43·(3-x)21-x2,则s(x)=43·(2x-6)·(1-x2)-(3-x)2·(-2x)(1-x2)2=43·-2(3x-1)(x-3)(1-x2)2.由s(x)=0,0<x<1,得x=13,当x0,13时,s(x)<0,s(x)单调递减;当x13,1时,s(x)>0,s(x)单调递增;故当x=13时,s的最小值是3233.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·亳州高二检测)某超市中秋前30天,月饼销售总量f(t)与时间t(0<t30,tz)

18、的关系大致满足f(t)=t2+10t+12,则该超市前t天平均售出(如前10天的平均售出为f(10)10)的月饼最少为.【解析】记g(t)=f(t)t=t+12t+10(0<t30,tz),g(t)=1-12t2=(t+23)(t-23)t2,令g(t)>0,得t>23,令g(t)<0,得0<t<23,所以函数g(t)在区间(0,23)上单调递减,在区间(23,10)上单调递增,又tz,且g(3)=g(4)=17,所以g(t)的最小值为17,即该超市前t天平均售出的月饼最少为17个.答案:17个4.有一杠杆,在它的一端距支点1m处挂一个49kg的物体,同时加

19、力于杆的此端使杆保持水平平衡.若杠杆本身每米重2kg,则所加的力最小时杠杆的长度是.【解析】设杠杆长为xm,则根据题意和力的平衡关系,得xf(x)=49×1+2x×x2,即f(x)=49x+x(x>0).令f(x)=-49x2+1=x2-49x2=0(x>0),得惟一的极值点x=7;因为最省力的杠杆长确实存在,所以当杠杆长为7m时最省力.答案:7m三、解答题(每小题10分,共20分)5.时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足关系式y=mx-2+4(x

20、-6)2,其中2<x<6,m为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.(1)求m的值.(2)假设网校的员工工资,办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)【解析】(1)因为x=4时,y=21,代入关系式y=mx-2+4(x-6)2,得m2+16=21,解得m=10.(2)由(1)可知,套题每日的销售量y=10x-2+4(x-6)2,所以每日销售套题所获得的利润f(x)=(x-2)10x-2+4(x-6)2=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2<

21、;x<6),从而f(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6),令f(x)=0,得x=103,或x=6(舍去)且在2,103上,f(x)>0,函数f(x)单调递增;在103,6上,f(x)<0,函数f(x)单调递减,所以x=103是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,所以当x=1033.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.6.(2015·江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直

22、线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为c,计划修建的公路为l,如图所示,m,n为c的两个端点,测得点m到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点n到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l1,l2所在的直线分别为y,x轴,建立平面直角坐标系xoy,假设曲线c符合函数y=ax2+b(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值.(2)设公路l与曲线c相切于p点,p的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.【解析】(1)由题意知,m点的坐标为(5,40),n点的坐标为(20,2.5),代入曲线c的方

23、程y=ax2+b可得:40=a52+b,2.5=a202+b.解得a=1 000,b=0.(2)由(1)知曲线c的方程为y=1 000x2(5x20),y=-2 000x3,所以y|x=t=-2 000t3即为l的斜率.又当x=t时,y=1 000t2,所以p点的坐标为t,1 000t2,所以l的方程为y-1 000t2=-2 000t3(x-t).令x=0,得y=3 000t2;令y=0,得x=32t.所以f(t)=32t2+3 000t22,其中5t20;由知f(t)=32t2+3 000t22,其中5t20.令g(t)=32t2+3 000t22=94t2+9×106t4,所以g(t)=92t-4×9×106t5=92·t6-8×106t5=92·t6-(102)6t5.因为5t20,令g(t)<0,得5t<102;令g(t)=0,得t=102;g(t)>0,得102<t20.所以g(t)在区间5,102)