第二章函数的微分及应用

1、下一页一、微分的概念一、微分的概念二、微分的几何意义二、微分的几何意义三、微分的在近似计算中的应用三、微分的在近似计算中的应用教学目的：教学目的： 理解微分的概念，了解概念的抽象理解微分的概念，了解概念的抽象 过程及思想方法，了解一阶微分形过程及思想方法，了解一阶微分形 式微分不变性，了解微分的几何意式微分不变性，了解微分的几何意 义，熟练求出初等函数的微分。义，熟练求出初等函数的微分。教学重点：教学重点： 函数微分的概念及求法函数微分的概念及求法教学方式：教学方式：启发讲授启发讲授+ +自学指导自学指导下一页上一页0 xx一、一、微分的概念微分的概念的正方形，当边长增加的正方形，当边长增加

2、时，其面积增时，其面积增 加多少？加多少？ 引例引例1：边长为边长为解解: 设正方形面积为设正方形面积为s，面积增加部分记作，面积增加部分记作s，202020)(2xxxxxxs引例引例2：把例把例1中的正方形铁片改成正方体，问体积改变了多少？中的正方形铁片改成正方体，问体积改变了多少？ 320203030)(33xxxxxxxxv解解:则则定定 义义： 设函数设函数y=f(xy=f(x) )在点在点x x的一个邻域内有定义，如果的一个邻域内有定义，如果函数函数f(xf(x) )在点在点x x处的增量处的增量y=f(x+ y=f(x+ x)-f(xx)-f(x) )可以表示为可以表示为y=ay

3、=ax+x+, ,其中其中a a与与 x x无关无关, , 是是 x x的高阶无穷小的高阶无穷小, ,则则称称a ax x为函数为函数y=f(xy=f(x) )在在x x处的微分处的微分, ,记作记作: :dydy, ,并称函数并称函数y=f(xy=f(x) )在点在点x x处可微处可微. .xady问题问题1：当时：当时dy =ax 时时,a=?与与f(x)有什么关系？有什么关系？观察（观察（1）、（）、（2）发现：）发现： 例例1 002xsxa 例例2 0203xvxa下一页上一页即函数即函数y=f(x)在点在点x处可导处可导,且且a= f (x)axay证明证明: 因为因为函数函数y=

4、f(x)在点在点x可微可微.0lim0 xx其中axaxxaxyxxx)(limlimlim000 定理定理1 1 设函数设函数y=f(xy=f(x) )在点在点x x可微可微, ,则函数则函数y=f(xy=f(x) )在点在点x x处可导处可导, ,且且 a= f(xa= f(x):):反之反之, ,如果如果y=f(xy=f(x) )在点在点x x处可导处可导, ,则则y=f(xy=f(x) )在点在点x x可微可微. .反之因为反之因为f(x)在点在点x处可导处可导)(lim0 xfxyx.)(xfxy)0lim(0 x,)(xxxfy0limlim00 xxxx又所以所以f(x)在点在点

5、x可微可微.dxxfdyxxfdy)( )(或且例例2、求函数求函数y=2lnx在在x处的微分处的微分,并求当并求当 x=1时的微分时的微分 (记作记作dy|x=1) .xy12因为dxxdy2dxdxxdyxx2|2|11解：解：下一页上一页二、二、微分的几何意义微分的几何意义xxx)(xfy mtpn 上面我们已经讨论了增量、微分和上面我们已经讨论了增量、微分和导数之间的关系，下面再从图形上直观导数之间的关系，下面再从图形上直观地反映它们之间的关系，以便进一步理地反映它们之间的关系，以便进一步理解它们。如右图解它们。如右图:dxxfpnntynmdxpn)(tan,ntdy 即函数即函数y

6、=f(x)的微分的微分dy就是曲线就是曲线y=f(x)在点在点p处切线的纵坐标处切线的纵坐标在相应处在相应处x的增量，而的增量，而y就是曲线就是曲线y=f(x)的纵坐标在点的纵坐标在点x处的增处的增量。另外，我们看到当量。另外，我们看到当|x |很小时，很小时， |y-dy |比比|x |小得多小得多 dyxeyx，求、例2cos73xxxxdexdexeddy3332cos2cos)2cos(解：)3(2cos)2(2sin33xdxexxdexxdxxexdxexx332cos32sin2dxxxex)2cos32sin2(3下一页上一页三、三、 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用 1|xx 很小时，即当dyy xxfxfxxf000 xxfxfxxf000 xxfxfxf00 可应用于求函数的近似值可应用于求函数改变量的近似值例例8、一个充好气的气球，半径为一个充好气的气球，半径为4m。升空后，因外。升空后，因外部气压降低气球