第1节复级数的基本性质

1、 department of mathematics第四章 解析函数的幂级数表示法 第一节 复级数的基本性质第二节 幂级数第三节 解析函数的泰勒展式第四节 解析函数零点的孤立性及唯一性定理 department of mathematics第一节 复级数的基本性质复数列的极限0, ( ),( ),nnn如果对正数当时 有 , n , 时的极限时的极限当当称为复数列称为复数列那末那末 nn 记作记作.lim nn.n此时也称复数列收敛于 , ), 2 , 1( 其中其中为一复数列为一复数列设设 nn ,nnniba , 为为一一确确定定的的复复数数又又设设iba limnnlimlim.nnnn

2、aabb且一、复数项级数的收敛性一、复数项级数的收敛性1.1.定义定义4.14.1121,(4.1)nnn对复数项无穷级数对复数项无穷级数1nnkks令(部分和),ns若复数列以有限数s为极限,即lim,nnss(4.1),(4.1)ss则称复数项无穷级数收敛于且称 为的和1;nns,(4.1).ns若无极限 则称发散记作记作:,0 nnz级数级数例如例如1-21nnzzzs ,1时时由于当由于当 z, )1(11 zzznzzsnnnn 11limlim,11z 1z 所以当时级数收敛，1. z 故当时级数发散1,z 而当时zzsnnnn 11limlim 证明证明因为因为nns 21)()

3、(2121nnbbbiaaa ,nni 11() nnnnnaibsabi级数收敛于的充要条件是:11. nnnnabab级数及分别收敛于 及2 定理定理4.1 nss而收敛于 充要条件是: nnab及分别收敛于 及11. nnnnabab从而级数及分别收敛于 及11 () 2nnin考察级数的敛散性.解解; 1 11发散发散因为因为 nnnna111 2nnnnb收敛,例例111 () 2nnin所以级数发散.3 cauchy收敛准则收敛准则(4.1)复数项无穷级数收敛的充要条件是定理定理4.20, ( ),( ),nnnp对正数当且 为任何正整数时12nnnp注注11nn复数项级数收敛的必

4、要条件是0lim nn 重要结论重要结论:.0lim1发散发散级数级数 nnnn 注注2增加增加,改变或去掉改变或去掉(4.1)有限项有限项,不改变其敛散性不改变其敛散性.4. 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 . , 11也收敛也收敛那末那末收敛收敛如果如果 nnnn . 11成立成立且不等式且不等式 nnnn (1)定理定理4.3证明证明1,nn由于收敛0,nnnp 故正整数使当时 对任意正整数有12,nnnp从而从而12nnnp12nnnp,1 . nn故收敛11,nnkkkk又由11limlim,nnkknnkk可知11.kkkk即(2)定义定义4.2 如果如果 收敛收敛, 那末称

5、级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛. 1nn 1nn 非绝对收敛的收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.说明说明22,nnnnabab由22111,nnnkkkkkkkabab知所以所以,11绝对收敛时绝对收敛时与与 nnnnba.1绝对收敛绝对收敛也也 nn (3)定理定理4.3 (1) 一个绝对收敛的级数各项可以任意重排改序,而不改变其绝对收敛性,也不改变其和.11(2),nnnnss两个绝对收敛的级数cauchy的积所得级数12111()()nnn 11212.ss也绝对收敛于,且收敛于综上综上:.111绝对收敛绝对收敛与与绝对收敛绝对收敛 nnnnnnba 2

6、21111nnnnkkkkkkkkkabab由于及二二 一致收敛的复变函数项级数一致收敛的复变函数项级数1 定义定义4.3,( ),(4.2)( ),( )(4.2),eef zezf zf z的各项均在 上有定义 且在 上存在一个函数对于 上每一点 级数均收敛于则称为级数的和函数 记为12( )( )( ),(4.2)nf zfzfz1( )( ).nnf zfz设复变函数项级数设复变函数项级数,n描述1( )( )nnf zfz,0,( , ),zennznn对当时 有1( )( ).nnkkszfz这里( )( )nf zsz2.一致收敛的定义(4.2),( ),( ),ef znnnn

7、ze对级数如果在点集 上有一个函数使对0,当时对一切均有|( )( )|nf zsz(4.2)( ).ef z则称在 上一致收敛于定义4.4(4.2)( )ef z 在 上不一致收敛于00000000,0,()()nnnnzef zsz及使12( )( )( ),(4.2)nf zfzfz4.4定义12|( )( ).( )|,(1,2,)nnn pfzfzfzp3.cauchy3.cauchy收敛准则收敛准则定理定理4.5(4.2)e在 上一致收敛的充要条件是:0,( ),nnnnze对当时 对一切均有4.5定理(4.2)e在 上不一致收敛的充要条件是:00000,nnn zep及正整数使0

8、000120|( )( ).( )|nnnpfzfzfz一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法（m-判别法）(1,2,.),nmnze如果有正数列使得对一切有|( )| (1,2,.),nnfzmn4.4.优级数准则优级数准则1,nnm而且收敛1( ).nnfze则在 上绝对收敛且一致收敛11 1. nnzzr证明级数在上一致收敛证明证明11 1nnzr因为11,nnr而对级数例例211 1. nnzzr故级数在上一致收敛1 ;r 当时收敛( )( ),( ).nfzef zf ze设级数的各项在点集 上连续且一致收敛于则在 上连续1( )( ),nccnf z dzfz dz5.一致收敛函数项级数的性

9、质(1)定理4.6(2)定理4.7( )( ),nfzccf z设级数的各项在曲线 上连续且在 上一致收敛于则6.内闭一致收敛：设函数序列,.)2 , 1)(nzfn定义于区域d内,若级数1( )(4.2)nnfz在d内任一有界闭集上一致收敛,则称此级数在d内内闭一致收敛。(1)定义4.5注在区域d内内闭一致收敛弱于在d内一致收敛。11 1 nnzz如级数在上内闭一致收敛,1. z 但在上不一致收敛(2)定理4.7(4.2):kzar级数在圆上内闭一致收敛充要条件是:0,(4.2):rkza对只要在闭圆上一致收敛.证明“必要性必要性”;kk因为就为 内的有界闭集“充分性充分性”;.kfkk因为

10、 内的任一有界闭集总可以包含在 内某个闭圆上定理4.9（魏尔斯特拉斯定理魏尔斯特拉斯定理）设(1)( )(1,2,.);nfz nd在区域 内解析1(2)( )( )nnfzdf z在 内内闭一致收敛于函数则( )( )1(2)( )( ),(,1,2,).ppnnfzfzzd p三三 解析函数项级数解析函数项级数1( )( ).nnf zfz(1)( );f zd函数在区域 内解析证明证明0(1),zd 设 为 内任一点0:,kzz则存在闭圆,kd使0:,kzzccauchy对内任一周线由积分定理有( )0,1,2,ncfz dzn1( ),( ),nnnfzkfz而在 内一致收敛 且是连续

11、的4.6,( )f zk由定理知在 上连续,4.7故由定理得( )cf z dz1( )ncnfz dz0,由莫勒拉定理知由莫勒拉定理知，( )f zk在 内解析,0( )f zz即在点 解析,0( )zf zd由 的任意性,在 内解析.0(2),zd 设 为 内任一点0:,kzz则存在闭圆,kd使0:(2)zz在上由条件知11100( )( )()()nppnfzf zzzzz是一致收敛的，是一致收敛的，于是由定理于是由定理4.74.7得得11100( )( ),()()nppnfzf zdzdzzzzz!2pi两边同乘得11100( )!( )!,2()2()nppnfzpf zpdzdzizzizz而由定理而由定理3.123.12有有( )010!( )(),2()pppf zfzdzizz( )010( )!