各种类型的微分方程及其相应解法

1、精品各种类型的微分方程及其相应解法专业班级：交土 01班 姓名：高云 学号：1201110102微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型(主要是一阶和二阶)的微分方程及其相应解法。一、一阶微分方程的解法1 .可分离变量的方程g(y网 f(x)dx,或崇 f(x)g(y)其特点是可以把变量x和y只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边 积分2例1.求效分方程dx xydy y dx ydy的通解.解 先合并dx及dy的各项彳导y(x 1)dy (y2 1) dx. 2y1设y2 1 0, x 1 0,分离变重得- dy

2、dxy 1 x 1y .112两漏积分 fdy dx 得 -ln | y 11 ln|x 11 ln|C1|_21 C(x 1)2.y 1 x 12于是y2 1C2(x 1)2记CC12,则得到题设方程的通解y22 .齐次方程(1) dy f(y)dx x(2) dy f(ax by c) (a, b 均不等于 0) dx例2求解微分方程-dx一r2dy .x xy y 2y xy222上义解原方程变形为 曳 与一汽 x4,dx x xy y y yx x-可编辑-精品f(x)-可编辑-令u乜则曳dxx du,方程化为 dxdu x -dx2u21 u分离变量得dudx两边积分得ln(u 1)

3、3ln(u 22)Ilnu 2In xInC,整理得,u(u 2)3/2Cx.所求微分方程的解为(y x)2Cy(y2x)3.3.一阶线性微分方程dydxp(x)y Q(x)，其通解为yp(x)dxQ(x)ep(x) dxdxC例3.dyx 2ydxy()解将方程改写为、，、2这里p(x) 一 xq(x)dy dxsin xsin xx故由求解公式得由初值条件y(所以初值问题的解为2 dx xsin xex-dx xdx口 (C xxsin xdx)C2x1,得cosxsin x2x0.sin xxcosx-2 x例4.设非负函数 f(x)具有一阶导数,且满足f(x)x0 f出tf2(t)dt

4、 , 求函数f(x) 解：设Af2 (t) dt ,则 f (x)x0fdtA,两边对x求导,(x)f(x) f(x)Cex,由已知f (0)f (x) Aex2f2(t)dtt 2t(Aet)2dtA4 xe2 1e精品例5.设F(x) f(x) g(x),其中f(x),g(x)满足下列条件：xf (x) g(x) , g (x) f(x),且 f (0)= 0, f (x) g(x) 2e . 求F(x)满足的一阶方程； 求F(x)的表达式.22 ,、解：(1)由 F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g (x) f (x)_ _2_2x f (x) g(x)2f(x)g(x

5、) 4e 2F(x),可见，F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F (x) 4e2xF(0) 0(2)由通解公式有2dx2 22 dxF(x) e 4e e dx C e 4e dx C e Ce .将F(0)f(0)g(0) 0代入上式，得C1.于是F(x) e2x e2x4 .伯努利方程dy p(x)y Q(x)yn,同除以yn,再令u yn 1即可，其余同3 dx5 .全微分方程p(x, y)dx Q(x, y)dy 0,左边恰好是某一个函数 u (x, y)的全微分，其为全微分 方程的充分xyy。要条件是-P -Q在区域G内恒成立，此时通解为 u(x,y) P(x, y)dx

6、Q(x,y)dy C,其中 y xx0, y0是区域G内适当选定的点的坐标。二、二阶线性微分方程的解法1 .可降阶微分方程(1)yf(x)型，求解方法：连续积 分n次 _、 " ' 一. 一 . . 、 一 ' .一 '' 'dp Pdy(2) yf (x, y )型，求解方法：令yp,则y p(3) yf(y,y)型，求解方法：令yp,则y 业dx-可编辑-例6.方程xy 3y0的通解为解：xy 3y 0 y3yx令y p, y p ,原方程变为 p3pdp3 , dpdxpxp一dx In p 3ln x In C1 xCi-3 xC1 ,

7、C1八所以 y3 dx2C2x2x2.二阶齐次线性方程yP(x)y Q(x)y 0(1)二阶非齐次线性方程y P(x)y Q(x)y f (x) 3.二阶常系数齐次线性方程"'一 、 一一 Oy py qy 0,其中p, q是吊数，右特征方程r pr q 0(1)有两个不相等的实根ri,2,则通解为y Cierix C2er2x(2)有两个相等的实根r,则通解为y (Ci C2x)erx(3)一对共腕复根ri,2i,则通解为y ex(Ci cos x C2sin x)例7.解方程y 2y 2y 0 .2解：y 2y 2y 0的特征万程为r 2r 2 0% i ix ，则万程的通解为 y e (Ci cos x Czsinx)x例 8.设 f(x) sinx 0(x t)f(t)dt 其中 f (x)为连续函数，求 f(x).xx解：原方程整理得f(x) sinx x 0 f(t)dt 0tf(t)dt,x两边求导f (x) cosx ° f (t)dt,再两边求导得f (x) sin x f (x),整理得 f (x) f (x)