陈殿友大学数学系列教材：4.2 线性方程组与向量组的线性相关性第二讲修改

1、 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 2.1n 维向量维向量 1、n 维向量的概念维向量的概念 定义定义2.1 n个有次序的数个有次序的数a1,a2,an所组成的数组称为所组成的数组称为 n 维向量，这维向量，这 n 个数称为该向量的个数称为该向量的 n个分量，第个分量，第 i个数个数 ai 称为第称为第 i 个分量。个分量。列向量行向量 =(a1,a2,an);零向量 0=(0,0,0);负向量 -=(-a1,-a2,-an).12;naa=a 2、n 维向量的运算维向量的运算 定义定义2.2 设设 n 维向量维向量 1) = ,当且仅当 ai= bi (i=1,2, ,n); 2)

2、+ = (a1+ b1, a2+ b2, , an+ bn); 3) k= (ka1, ka2, kan), 其中 k 是数量。 =(a1,a2,an); =(b1,b2,bn); 注：如上定义的向量加法和数乘的运算统称为注：如上定义的向量加法和数乘的运算统称为向量的向量的线性运算线性运算。 3、n 维向量的运算律维向量的运算律 设 ， ， 为n维向量，k、l为实数，0为零向量。 1) + = + ; 2) + + = + ( + ); 3) + 0 = ; 4) + ( ) = 0; 5) 1 = ; 6) k ( l ) =( k l ) ; 7) k ( + ) = k + k; 8)

3、( k + l ) = k + l. 2.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 1、向量组、向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做的集合叫做向量组向量组。用。用 a, b,c, i, ii, iii 等表示。等表示。 例如一个例如一个 mn 矩阵矩阵 a 有有n个个m维列向量维列向量它们组成的向量组它们组成的向量组 1,2,n称为称为矩阵矩阵a的列向量组的列向量组。12,(1,2, ),jjjmjaajna mn 矩阵矩阵a又有又有m个个n维行向量维行向量i=( ai1, ai2, , ai n ), ( i=1,2,

4、m ). 它们组成的行向量组它们组成的行向量组1, 2, m称为称为矩阵矩阵a的行向量的行向量组组。 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。例如：矩阵。例如： m个个n维列向量所组成的向量组维列向量所组成的向量组1,2,m构成一构成一个个nm矩阵矩阵a=( 1,2,m ) ; m个个n维行向量所组成向量组维行向量所组成向量组1, 2, m 构成一个构成一个mn矩阵矩阵 我们前面学过的线性方程组又可以写成矩阵的形式我们前面学过的线性方程组又可以写成矩阵的形式ax = b,而且矩阵又可以写成向量组的形式，所以方程组也而且矩阵又可以写成向量组的

5、形式，所以方程组也可以写成向量的形式可以写成向量的形式x11 + x22 + + xnn = b ,12,mb 由此可见，线性方程组与其增广矩阵b（a,b）的列向量组1，2，m , b之间也有一一对应的关系。 定义定义2.3 给定向量组给定向量组a: 1,2,s ,对于任何一组对于任何一组实数实数k1, k2, ks ,向量向量 k11 + k22 + + kss 称为向量组称为向量组a的一个的一个线性组合线性组合, k1, k2, , ks称为这个称为这个线性组线性组合的系数合的系数。 2、线性组合与线性表示、线性组合与线性表示 给定向量组给定向量组a: 1,2,s 和向量和向量 b ,如果

6、存在一组如果存在一组数数 1 1 , 2 , , s, 使使则向量则向量 b 可以表示为向量组可以表示为向量组a的的线性组合线性组合, 这时称向量这时称向量b能能由向量组由向量组a 线性表示线性表示。1122ssb 一组给定的向量组一组给定的向量组1 , 2 , , m 不是线性相关，就是线性不是线性相关，就是线性无关。无关无关。无关两种等价的说法两种等价的说法： 对于任何对于任何不全为零不全为零的数的数1，2， , m，总有总有 如果数如果数1，2， , m，使使 11 +22 + +mm=0，则只有则只有1=2= =m=0。11 +22 + +mm0；定义定义2.4 给定向量组给定向量组a

7、: 1 , 2 , , s ,如果存在如果存在不全为零不全为零的数的数 k1， k2 ，. ， ks，使得使得 k11 + k22 + + kss = 0, 则称向量组则称向量组 a 是是线性相关的线性相关的，否则称它否则称它线性无关线性无关。 根据向量组线性相关的定义根据向量组线性相关的定义,若若1 , 2 , , m线性相关，线性相关，则存在一组不全为零的数则存在一组不全为零的数1,2, , m，使使11 +22 + +mm=0即齐次线性方程组即齐次线性方程组x11 +x22 + +xmm=0 (2)有非零解有非零解xi= i (i=1,2,m)。反之，若方程组反之，若方程组(2)有非零解

8、，有非零解，则向量组则向量组1 , 2 , , m线性相关。同理，向量组线性相关。同理，向量组1 , 2 , , m线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 (2) 仅有零仅有零解。综上所述，我们得出下面的定理。解。综上所述，我们得出下面的定理。 定理定理2.1 向量组向量组1 , 2 , , m线性相线性相(无无)关的充关的充分必要条件是齐次线性方程组分必要条件是齐次线性方程组x11 +x22 + +xmm=0有有(无无)非零解非零解。 推论推论2.1 向量组向量组1 , 2 , , m线性相关的充分必要条线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵件是它所构成

9、的矩阵a=(1 ,2 , , m)的秩小于向量的个的秩小于向量的个数数m；向量组线性无关的充分必要条件是向量组线性无关的充分必要条件是r(a)=m。 对于对于mn的矩阵的矩阵a，由推论，由推论2.1可得可得 1） a=(1 ,2 , , n) 的列向量组的列向量组线性无关线性无关的充分必的充分必要条件是要条件是a 列满秩列满秩； 2） 的行向量组的行向量组线性无关线性无关的充分必要条件是的充分必要条件是a行满秩行满秩；12ma 3）若若m=n，则得方阵则得方阵a的列（行）向量组的列（行）向量组线性无关线性无关的的充分必要条件是充分必要条件是a满秩满秩，即，即a为为可逆矩阵可逆矩阵。 推论推论2

10、.3 m n 时时， m个个n维向量必线性相关维向量必线性相关。 证明证明 m个个n维向量维向量1 , 2 , , m构成的矩阵构成的矩阵anm=(1 , 2 , ,m)，则则 r(a) n。因为因为n m，所以所以r(a) m，故故m个个n维向量必线性相关。维向量必线性相关。 推论推论2.2 n个个n维向量维向量线性无关线性无关的充分必要条件是由的充分必要条件是由它们排成的它们排成的n阶阶行列式的值不为零行列式的值不为零。由此可得由此可得： 例例1 已知向量组已知向量组1，2，3线性无关，试证向量组线性无关，试证向量组1=1+2, 2=2+3, 3=3+1也线性无关也线性无关。 证明证明 设

11、数设数1,2 ,3, 使使1 1 +2 2 +3 3=0,即即 ( 1+3) 1+ ( 1+2) 2+ ( 2+3) 3=0, 因为因为1，2，3 线性无关，由线性无关，由知必有知必有1312230,0,0. 该方程组只有零解，即该方程组只有零解，即1=2 =3=0。由由知知1，2，3 线性无关。线性无关。 例例3 判断下列向量组的线性相关性。 1) 1 = ( 1, 1, 1)t, 2 = ( 0, 2, 5 )t, 3= ( 1, 3, 6 )t； 2) 1 = ( 1, 0, 0, )t, 2 = ( 1, 2, 1 )t, 3 =( 1, 0, 1)t。 解解 1）设有 x1, x2,

12、 x3 使 x11 + x22 + x33 = 0 （1）即 ( x1+x3 , x1+2x2+3x3 ,x1+ 5x2+6x3 ) = ( 0, 0, 0 )，亦即131231230230560 xxxxxxxx由于 所以，方程组有非零解，即存在不全为零的 x1 , x2 , x3 使（1）成立。故向量组1, 2, 3是线性相关的。2）设有x1, x2, x3 使x11 + x22 + x33 = 0 （2） 即1232230200 xxxxxx1011230.156由于所以，方程组仅有零解。即只有当 x1, x2, x3 全为零时（2）成立。故向量组 1, 2, 3是线性无关的。 1110

13、200.011 3、向量组的线性相关与线性无关相关结论、向量组的线性相关与线性无关相关结论 1）一个向量一个向量 线性相关的充要条件是线性相关的充要条件是 0。 2）两个向量线性两个向量线性相关相关的充要条件是它们对应的分量的充要条件是它们对应的分量成比例成比例。两个向量线性。两个向量线性无关无关的充要条件是它们对应的分量的充要条件是它们对应的分量不成比例不成比例。 3）线性相关向量组的任何扩大组必线性相关线性相关向量组的任何扩大组必线性相关。即若。即若向量组向量组1 , 2 , , s线性相关，任意增加有限个同维数的线性相关，任意增加有限个同维数的向量向量s+1 ， s+2， , m所构成的

14、新的向量组所构成的新的向量组1 , 2 , , s， s+1 ， s+2， , m仍然线性相关仍然线性相关。 一个向量一个向量 线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是 0。 4)线性无关向量组的任何一个非空部分向量组仍线线性无关向量组的任何一个非空部分向量组仍线性无关。性无关。 4、向量组等价、向量组等价 定义定义2.5 若向量组若向量组1,2,s中的每个向量都能由向量中的每个向量都能由向量组组1, 2, t 线性表示线性表示, 则称向量组则称向量组1,2,s能由向量组能由向量组1, 2, t 线性表示。如果两个向量组线性表示。如果两个向量组能互相线性表示能互相线性表示, 则称则称这两个向量

15、组这两个向量组等价等价。 若向量组若向量组1,2,s能由向量组能由向量组1, 2, t 线性表示，线性表示，向量组向量组1, 2, t 又能向量组又能向量组1,2 , p线性表示。则向线性表示。则向量组量组1,2,s必能由向量组必能由向量组1,2 , p线性表示。这一结线性表示。这一结论称为向量组线性表示的论称为向量组线性表示的传递性传递性。 容易证明向量组的等价关系具有容易证明向量组的等价关系具有反身性反身性、对称性对称性和和传传递性递性。 定理定理2.2 向量组向量组1 , 2 , , s(s2)线性相关线性相关的充分必要的充分必要条件是该向量组中条件是该向量组中至少有一个至少有一个向量向

16、量能由其余的能由其余的s-1个向量个向量线性表示线性表示。 证明证明 必要性。由于必要性。由于1 , 2 , , s线性相关，必有线性相关，必有s个不个不全为零的数全为零的数1，2， ， s，使得使得11 +22 + + ss=0。由于由于1，2， ， s不全为零，不妨设不全为零，不妨设 s0，于是得于是得1212,ssssss 即即s能由能由1 , 2 , , s-1线性表示线性表示。 充分性充分性。不妨设不妨设s可由其余的向量线性表示，即有可由其余的向量线性表示，即有s = 11 + 22 + + s-1s1，从而从而 11 + 22 + + s-1s-1 + (-1)s = 0， 因为因

17、为 1，2， ，s-1，-1 这这 s 个数不全为零个数不全为零，故故1， 2，s线性相关线性相关。 定理定理2.3 设设1 , 2 , , s 线性无关线性无关， 能由能由 1，2， ，s线性表示线性表示，则，则表示法表示法是是惟一惟一的。的。 证明证明 设有两个表示式设有两个表示式 =11 + 22 + + ss， = k11 + k22 + + kss ，两式相减，得两式相减，得（1k1)1 +(2k2)2 + + (s ks)s = 0， 因为因为1,2,s 线性无关，所以线性无关，所以 iki = 0，即即 i = ki ( i = 1, 2, , s ) 。故表示法是惟一的。故表示

18、法是惟一的。 定理定理2.4 设设 1 ,2 ,s 线性无关，而线性无关，而 1,2，s ， 线性相关线性相关，则则 能由能由 1,2,s惟一线性表示惟一线性表示。 证明证明 记记a=(1 ,2 ,s)，b=(1,2,s , ) ,有有r(a) r(b)。因为因为1 ,2 , ,s 线性无关线性无关,所以所以r(a) = s 。又因为又因为1，2，s ， 线性相关线性相关，所以所以r(b) s +1。于是于是s r(b) s +1，即有即有r(b)= s，从而从而r(a) =r(b)= s。由由定理定理1.1知线性方程组知线性方程组ax=有解有解,故故 能由能由1,2, ,s线性表示。由定理线

19、性表示。由定理2.3知表示法是惟一的。知表示法是惟一的。 定理定理2.5 设设 r 维向量组维向量组线性相关线性相关,那末去掉每个向量的最后一个分量，所得的那末去掉每个向量的最后一个分量，所得的r- -1维的向量组维的向量组11112221221212:,sssrsrraaaaaa aaa仍是线性相关。仍是线性相关。1112121222121,11,21,:,sssrrrsaaaaaa aaa 证明证明 记记ars=(1 , 2 , , s ), b(r-1)s=(1 , 2 , , s )，由于，由于1 , 2 , , s 线性相关，知线性相关，知r(a) s，而显然有，而显然有r(b) r(a) ，故，故