最新人教A版高中数学必修二浙江专版学案：4.3空间直角坐标系 含答案

1、最新人教版数学精品教学资料4.343.1&4.3.2空间直角坐标系空间两点间的距离公式预习课本p134137，思考并完成以下问题 1在空间直角坐标系中怎样确定空间中任一点的坐标？ 2空间中线段的中点坐标公式是什么？ 3空间中两点间的距离公式是什么？ 1空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系o­xyz.(2)相关概念：点o叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xoy平面、yoz平面、zox平面2右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指

2、指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系3空间一点的坐标空间一点m的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点m在此空间直角坐标系中的坐标，记作m(x，y，z)其中x叫点m的横坐标，y叫点m的纵坐标，z叫点m的竖坐标点睛空间直角坐标系的画法(1)x轴与y轴成135°(或45°)，x轴与z轴成135°(或45°)(2)y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长相等，x轴上的单位长则等于y轴单位长的.4空间两点间的距离公式(1)点p(x，y，z)到坐标原点o(0,0,0)的距离|o

3、p| .(2)任意两点p1(x1，y1，z1)，p2(x2，y2，z2)间的距离|p1p2| .点睛(1)空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算(2)空间中点坐标公式：设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则ab中点p.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式()(2)空间直角坐标系中，在xoz平面内的点的坐标一定是(a,0，c)的形式()(3)空间直角坐标系中，点(1，2)关于yoz平面的对称点为(1，2)()答案：(1)×(2)(3)2

4、在空间直角坐标系中，点p(3,4,5)与q(3，4，5)两点的位置关系是()a关于x轴对称 b关于xoy平面对称c关于坐标原点对称 d以上都不对解析：选a点p(3,4,5)与q(3，4，5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称3空间两点p1(1,2,3)，p2(3,2,1)之间的距离为_解析：|p1p2|2.答案：2空间中点的坐标的求法典例在棱长为1的正方体abcd­a1b1c1d1中，e，f分别是d1d，bd的中点，g在棱cd上，且cgcd，h为c1g的中点，试建立适当的坐标系，写出e，f，g，h的坐标解建立如图所示的空间直角坐标系点e在z轴上，它的x坐标

5、、y坐标均为0，而e为dd1的中点，故其坐标为.由f作fmad，fndc，垂足分别为m，n，由平面几何知识知fm，fn，故f点坐标为.点g在y轴上，其x，z坐标均为0，又gd，故g点坐标为.由h作hkcg于k，由于h为c1g的中点故hk，ck，dk，故h点坐标为. (1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点坐标的关键活学

6、活用如图，在长方体abcd­abcd中，|ab|12，|ad|8，|aa|5.以这个长方体的顶点a为坐标原点，射线ab，ad，aa分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标解：因为|ab|12，|ad|8，|aa|5，点a为坐标原点，且点b，d，a分别在x轴、y轴和z轴上，所以它们的坐标分别为a(0,0,0)，b(12,0,0)，d(0,8,0)，a(0,0,5)点c，b，d分别在xoy平面、xoz平面、yoz平面内，坐标分别为c(12,8,0)，b(12,0,5)，d(0,8,5)点c在三条坐标轴上的射影分别是b，d，a，故点c的坐标为(12,8,5

7、)空间两点间距离公式及应用典例已知点m(3,2,1)，n(1,0,5)，求：(1)线段mn的长度；(2)到m，n两点的距离相等的点p(x，y，z)的坐标满足的条件解(1)根据空间两点间的距离公式得线段mn的长度|mn|2，所以线段mn的长度为2.(2)因为点p(x，y，z)到m，n两点的距离相等，所以有下面等式成立：，化简得xy2z30，因此，到m，n两点的距离相等的点p(x，y，z)的坐标满足的条件是xy2z30.利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：活学活用已知直三棱柱abc­a1b1c1中，bac90°，abacaa14，m为bc1的中点，n为a1b1的

8、中点，求|mn|.解：如图，以a为原点，ab，ac，aa1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则b(4,0,0)，c1(0,4,4)，a1(0,0,4)，b1(4,0,4)因为m为bc1的中点，所以由中点公式得m，即m(2,2,2)，又n为a1b1的中点，所以n(2,0,4)所以由两点间的距离公式得|mn|2.空间中点的对称典例(1)点a(1,2，1)关于坐标平面xoy及x轴的对称点的坐标分别是_(2)已知点p(2,3，1)关于坐标平面xoy的对称点为p1，点p1关于坐标平面yoz的对称点为p2，点p2关于z轴的对称点为p3，则点p3的坐标为_解析(1)如图所示，过a作amxoy

9、交平面于m，并延长到c，使amcm，则a与c关于坐标平面xoy对称且c的坐标为(1,2,1)过a作anx轴于n并延长到点b，使annb，则a与b关于x轴对称且b的坐标为(1，2,1)a(1,2，1)关于坐标平面xoy对称的点c的坐标为(1,2,1)；a(1,2，1)关于x轴的对称点b的坐标为(1，2,1)(2)点p(2,3，1)关于坐标平面xoy的对称点p1的坐标为(2,3,1)，点p1关于坐标平面yoz的对称点p2的坐标为(2,3,1)，点p2关于z轴的对称点p3的坐标是(2，3,1)答案(1)(1,2,1)，(1，2,1)(2)(2，3,1)在空间直角坐标系中，点p(x，y，z)关于坐标轴

10、和坐标平面的对称点的坐标特点如下：(1)关于坐标原点的对称点为p1(x，y，z)；(2)关于横轴(x轴)的对称点为p2(x，y，z)；(3)关于纵轴(y轴)的对称点为p3(x，y，z)；(4)关于竖轴(z轴)的对称点为p4(x，y，z)；(5)关于xoy坐标平面的对称点为p5(x，y，z)；(6)关于yoz坐标平面的对称点为p6(x，y，z)；(7)关于zox坐标平面的对称点为p7(x，y，z)其中的记忆方法为“关于谁谁不变，其余的相反”如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xoy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数活学活用在空间直

11、角坐标系中，点m的坐标是(4,7,6)，则点m关于y轴对称的点在xoz平面上的射影的坐标为()a(4,0,6) b(4,7，6)c(4,0，6) d(4,7,0)解析：选c点m关于y轴对称的点是m(4,7，6)，点m在xoz平面上的射影的坐标为(4,0，6)层级一学业水平达标1点p(a，b，c)到坐标平面xoy的距离是()a. b|a|c|b| d|c|解析：选d点p在xoy平面的射影的坐标是p(a，b,0)，所以|pp|c|.2已知a(1,1,1)，b(3，3，3)，则线段ab的长为()a4 b2c4 d3解析：选a|ab|4.3在空间直角坐标系中，点p(3,1,5)关于平面xoz对称的点的

12、坐标为()a(3，1,5) b(3，1,5)c(3，1，5) d(3,1，5)解析：选a由于点关于平面xoz对称，故其横坐标、竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即对称点坐标是(3，1,5)4若点p(4，2,3)关于xoy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()a7 b7c1 d1解析：选d由题意，知点p关于xoy平面对称的点的坐标为(4，2，3)，点p关于y轴对称的点的坐标为(4，2，3)，故c3，e4，故ce341.5点p(1，)为空间直角坐标系中的点，过点p作平面xoy的垂线，垂足为q，则点q的坐标为()a(0,0，) b(0，)c(1,0，) d(1，

13、0)解析：选d由空间点的坐标的定义，知点q的坐标为(1，0)6空间点m(1，2,3)关于x轴的对称点的坐标是_解析：点m(1，2,3)关于x轴对称，由空间中点p(x，y，z)关于x轴对称点的坐标为(x，y，z)知，点m关于x轴的对称点为(1,2，3)答案：(1,2，3)7在空间直角坐标系中，点(1，b,2)关于y轴的对称点是(a，1，c2)，则点p(a，b，c)到坐标原点的距离|po|_.解析：由点(x，y，z)关于y轴的对称点是点(x，y，z)可得1a，b1，c22，所以a1，c0，故所求距离|po|.答案：8在空间直角坐标系中，点m(2,4，3)在xoz平面上的射影为点m1，则点m1关于原

14、点对称的点的坐标是_解析：由题意，知点m1的坐标为(2,0，3)，点m1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)答案：(2,0,3)9.如图，已知长方体abcd­a1b1c1d1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点a(2，3，1)，求其他七个顶点的坐标解：由题意，得点b与点a关于xoz平面对称，故点b的坐标为(2,3，1)；点d与点a关于yoz平面对称，故点d的坐标为(2，3，1)；点c与点a关于z轴对称，故点c的坐标为(2,3，1)；由于点a1，b1，c1，d1分别与点a，b，c，d关于xoy平面对称，故点a1，b1，c1，d1的坐标分别为a1(2，

15、3,1)，b1(2,3,1)，c1(2,3,1)，d1(2，3,1)10.如图，在长方体abcd­a1b1c1d1中，|ab|ad|2，|aa1|4，点m在a1c1上，|mc1|2|a1m|，n在d1c上且为d1c的中点，求m，n两点间的距离解析：由已知条件，得|a1c1|2.由|mc1|2|a1m|，得|a1m|，且b1a1md1a1m.如图，以a为原点，分别以ab，ad，aa1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则m，c(2,2,0)，d1(0,2,4)由n为cd1的中点，可得n(1,2,2)|mn| .层级二应试能力达标1点a(0，2,3)在空间直角坐标系中的位置是(

16、)a在x轴上 b在xoy平面内c在yoz平面内 d在xoz平面内解析：选c点a的横坐标为0，点a(0，2,3)在yoz平面内2在空间直角坐标系中，点p(2,3,4)和点q(2，3，4)的位置关系是()a关于x轴对称 b关于yoz平面对称c关于坐标原点对称 d以上都不对解析：选c点p和点q的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称3设a(1,1，2)，b(3,2,8)，c(0,1,0)，则线段ab的中点p到点c的距离为()a. b.c. d.解析：选d利用中点坐标公式，得点p的坐标为，由空间两点间的距离公式，得|pc|.4在长方体abcd­a1b1c1d1中，若d(0,0,0)，a(4

17、,0,0)，b(4,2,0)，a1(4,0,3)，则对角线ac1的长为()a9 b.c5 d2解析：选b由已知，可得c1(0,2,3)，|ac1|.5已知a(3,5，7)，b(2,4,3)，则线段ab在yoz平面上的射影长为_解析：点a(3,5，7)，b(2,4,3)在yoz平面上的射影分别为a(0,5，7)，b(0,4,3)，线段ab在yoz平面上的射影长|ab|.答案：6在空间直角坐标系中，已知点a(1,0,2)，b(1，3,1)，点m在y轴上，且点m到点a，b的距离相等，则点m的坐标是_解析：因为点m在y轴上，所以可设点m的坐标为(0，y,0)由|ma|mb|，得(01)2(y0)2(0

18、2)2(01)2(y3)2(01)2，整理得6y60，解得y1，即点m的坐标为(0，1,0)答案：(0，1,0)7在空间直角坐标系中，解答下列各题(1)在x轴上求一点p，使它与点p0(4,1,2)的距离为；(2)在xoy平面内的直线xy1上确定一点m，使它到点n(6,5,1)的距离最短解：(1)设p(x,0,0)由题意，得|p0p|，解得x9或x1.所以点p的坐标为(9,0,0)或(1,0,0)(2)由已知，可设m(x0,1x0,0)则|mn|.所以当x01时，|mn|min.此时点m的坐标为(1,0,0)8.如图，正方体abcd­a1b1c1d1的棱长为a，m为bd1的中点，n在a

19、1c1上，且|a1n|3|nc1|，试求mn的长解：以d为原点，以da，dc，dd1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则b(a，a,0)，a1(a,0，a)，c1(0，a，a)，d1(0,0，a)由于m为bd1的中点，所以m，取a1c1中点o1，则o1，因为|a1n|3|nc1|，所以n为o1c1的中点，故n.由两点间的距离公式可得：|mn| a.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1直线xy10被圆(x1)2y23截得的弦长等于()a. b2c2 d4解析：选b由题意，得圆心

20、为(1,0)，半径r，弦心距d，所以所求的弦长为22，选b.2若点p(1,1)为圆x2y26x0的弦mn的中点，则弦mn所在直线的方程为()a2xy30 bx2y10cx2y30 d2xy10解析：选d由题意，知圆的标准方程为(x3)2y29，圆心为a(3,0)因为点p(1,1)为弦mn的中点，所以apmn.又ap的斜率k，所以直线mn的斜率为2，所以弦mn所在直线的方程为y12(x1)，即2xy10.3半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2(y3)21内切，则此圆的方程为()a(x4)2(y6)26 b(x±4)2(y6)26c(x4)2(y6)236 d(x±4)2(y6

21、)236解析：选d半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b6.再由5，可以解得a±4，故所求圆的方程为(x±4)2(y6)236.4经过点m(2,1)作圆x2y25的切线，则切线方程为()a.xy50 b.xy50c2xy50 d2xy50解析：选cm(2,1)在圆上，切线与mo垂直kmo，切线斜率为2.又过点m(2,1)，y12(x2)，即2xy50.5把圆x2y22x4ya220的半径减小一个单位则正好与直线3x4y40相切，则实数a的值为()a3 b3c3或3 d以上都不对解析：选c圆的方程可变为(x1)2(y2)2a27，圆心为(1,2)，半径为，由题

22、意得1，解得a±3.6.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为()a14米 b15米c.米 d2米解析：选d如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系设圆心为c，水面所在弦的端点为a，b，则由已知可得a(6，2)，设圆的半径长为r，则c(0，r)，即圆的方程为x2(yr)2r2.将点a的坐标代入上述方程可得r10，所以圆的方程为x2(y10)2100，当水面下降1米后，水面弦的端点为a，b，可设a(x0，3)(x0>0)，代入x

23、2(y10)2100，解得x0，水面宽度|ab|2米7过点(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为a，b，则直线ab的方程为()a2xy30 b2xy30c4xy30 d4xy30解析：选a设点p(3,1)，圆心c(1,0)已知切点分别为a，b，则p，a，c，b四点共圆，且pc为圆的直径故四边形pacb的外接圆圆心坐标为，半径长为.故此圆的方程为(x2)22.圆c的方程为(x1)2y21.得2xy30，此即为直线ab的方程8已知在平面直角坐标系xoy中，圆c的方程为x2y22y3，直线l经过点(1,0)且与直线xy10垂直，若直线l与圆c交于a，b两点，则oab的面积为()a1 b

24、.c2 d2解析：选a由题意，得圆c的标准方程为x2(y1)24，圆心为(0，1)，半径r2.因为直线l经过点(1,0)且与直线xy10垂直，所以直线l的斜率为1，方程为y0(x1)，即为xy10.又圆心(0，1)到直线l的距离d，所以弦长|ab|222.又坐标原点o到弦ab的距离为，所以oab的面积为×2×1.故选a.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分请把正确答案填在题中的横线上)9圆心在直线x2上的圆c与y轴交于两点a(0，4)，b(0，2)，则圆c的方程为_解析：由题意知圆心坐标为(2，3)，半径r，圆c的方程为(x2)2(y3)25

25、.答案：(x2)2(y3)2510已知空间直角坐标系中三点a，b，m，点a与点b关于点m对称，且已知a点的坐标为(3,2,1)，m点的坐标为(4,3,1)，则b点的坐标为_解析：设b点的坐标为(x，y，z)，则有4，3，1，解得x5，y4，z1，故b点的坐标为(5,4,1)答案：(5,4,1)11圆o：x2y22x2y10上的动点q到直线l：3x4y80的距离的最大值是_解析：圆o的标准方程为(x1)2(y1)21，圆心(1,1)到直线l的距离为3>1，动点q到直线l的距离的最大值为314.答案：412已知过点(1,1)的直线l与圆c：x2y24y20相切，则圆c的半径为_，直线l的方程

26、为_解析：圆c的标准方程为x2(y2)22，则圆c的半径为，圆心坐标为(0,2)点(1,1)在圆c上，则直线l的斜率k1，则直线l的方程为yx，即xy0.答案：xy013已知圆c：(x1)2y225与直线l：mxym20，若圆c关于直线l对称，则m_；当m_时，圆c被直线l截得的弦长最短解析：当圆c关于l对称时，圆心(1,0)在直线mxym20上，得m1.直线l：m(x1)y20恒过圆c内的点m(1，2)，当圆心到直线l的距离最大，即mcl时，圆c被直线l截得的弦长最短，kmc1，由(m)×11，得m1.答案：1114已知点m(2,1)及圆x2y24，则过m点的圆的切线方程为_，若直

27、线axy40与该圆相交于a，b两点，且|ab|2，则a_.解析：若过m点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x2，经验证满足条件若切线斜率存在，可设切线方程为yk(x2)1，由圆心到切线的距离等于半径得2，解得k，故切线方程为y(x2)1，即3x4y100.综上，过m点的圆的切线方程为x2或3x4y100.由得a±.答案：x2或3x4y100±15已知两圆c1：x2y22ax4ya250和c2：x2y22x2aya230，则两圆圆心的最短距离为_，此时两圆的位置关系是_(填“外离、相交、外切、内切、内含”中的一个)解析：将圆c1：x2y22ax4ya250化为标准方程得(xa

28、)2(y2)29，圆心为c1(a，2)，半径为r13，将圆c2：x2y22x2aya230化为标准方程得(x1)2(ya)24，圆心为c2(1，a)，半径为r22.两圆的圆心距d，所以当a时，dmin，此时|32|，所以两圆内含答案：内含三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)已知正四棱锥p­abcd的底面边长为4，侧棱长为3，g是pd的中点，求|bg|.解：正四棱锥p­abcd的底面边长为4，侧棱长为3，正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于ab，bc所在的直线分别为y轴、x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点b，d，p的坐标分别为b(2,2,0)，d(2，2,0)，p(0,0,1)g点的坐标为g|bg| .17(本小题满分15分)已知从圆外一点p(4,6)作圆o：x2y21的两条切线，切点分别为a，b.(1)求以op为直径的圆的方程；(2)求直线ab的方程解：(1)所求圆的圆心为线段op的中点(2,3)，半径为|op| ，以op为直径的圆的方程为(x2)2(y3)213.(2)pa，pb是圆o：x2y21的两条切线，oapa，obpb，a，b两点都在以op为直径的圆上由得直线ab的方程为4x6y10.18(本小题满分15分)已知圆过点a(1，2)，b(1,4)