高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第136140题含答案解析

1、高考数学精品复习资料 2019.5感知高考刺金136设函数，记为在上的最大值（1）设，求证：（2）若，请求出的最值。证明：（1）因为对称轴或证法一：规划视角故，又结合，可以从规划视角来解题，以为横坐标，为横坐标建系，画出可行域如图1所示，目标函数视为可行域内的点到直线的距离的倍，显然当取点时同理，可行域如图2所示，目标函数视为可行域内的点到直线的距离的倍，显然当取点时综上，证法二：绝对值不等式解法三：令，则在同一个坐标系中画出和的图象，两者取其大，则显然当时，故（2）解法一：规划视角显然又是一个规划问题了。以为横坐标，为横坐标建系，画出可行域如图中的蓝色部分。这里画图时注意到上下两条抛物线恰与

2、两条直线相切（这里命题人命题时可能又是两边夹的应用）目标函数，（当然这个目标函数也可以理解为一个正方形逐渐变大）显然当在第一象限（含坐标轴）时，目标函数当在第二象限时，目标函数当在第三象限时，目标函数当在第四象限时，目标函数综上，的最大值为3，最小值为0。解法二： 显然，而时，所以可以取到，所以又由（1）的逆否命题可知当时，必有，且（i）若，则（ii）若，则，所以，从而当且仅当时，综上，的最大值为3，最小值为0。解法三： 显然，而时，所以可以取到，所以由故故或又，故这种解法范韡同学考前特地拿来问，硬逼着我去解，难道他做梦做到这个题了？呵呵！感知高考刺金137第20题已知数列满足且（1）求证：（

3、2）若数列的前项和为，证明：证明：解法一：综合法（1），故又，故与同号，又因为，故，即所以，即解法二：分析法，而，故与同号，又因为，故，即，且另一端要证，即证，即证，即证，显然成立，故本题的几何背景：是二次型结构的递推关系式，所以可将视为抛物线上的点，则可视为点与原点连线的斜率。画出的图象，因为原点处的导数值，点与原点连线斜率为，故即（2）由，可得分析法要证，即证即证即证（）解法一：由的二次型结构，考虑用取倒法证明故由（1）知，得累加得，即从而式得证，原命题得证。解法二：从第一小题的结论出发，利用单调性放缩由得所以，即故累加得，所以同理，又由第1小题的另一边得，即，故累加得，所以即，得证。评注

4、：本解法多次用到了累加，是典型的等变不等的问题。特别是第二小题，如果在第一小题的基础上，想到将不等号全部改为等号，那么提示意味就很明显一些了。考前学生们做了1、已知数列中，（i）求； （ii）求数列的通项公式；（iii）设数列满足，求证：解：（i）（ii），两式相减得，即，故累乘得（iii）由（ii）得故是单调递增数列，故要证，只需证若，则，显然成立；若，则故，即故所以，所以感知高考刺金138adbcmnn如图，在三棱锥中，若分别为的中点，则异面直线所成角的余弦值为 。解析：因为三棱锥三组对边相等，故可以将其放入长方体内，构造长方体模型解决。如图所示，根据题中条件，可得构造的长方体长、宽、高分

5、别为。建系得，故故，当然构建了长方体，用几何法也是易如反掌了，连结，显然，故所求角即为因为，故感知高考刺金139若实数满足，则的最小值是 。解：因为，故恒成立，故结合，画出可行域如图，第一段： 第二段：目标函数 目标函数此时最小值在点取得为3 此时最小值在点取得为3（注意到）解：定义，设实数 满足约束条件，则的取值范围是 解：作出所对应的区域如图所示：由图可知：感知高考刺金140已知是空间单位向量，若空间向量满足，且对于任意，则 ， ， 。解法一：向量的几何意义角度如图所示，对于任意，表示空间向量的终点到平面上任一点距离的最小值就是连线垂直于平面时，即图中且面故画出底面图如右图，延长与交于点，设，则故在中，即，得，cnompqr点恰为的中点，作，则故，解法二：向量的坐标运算角度建立空间直角坐标系，其中，设，由题中条件，可知，故由得对任意恒成立所以即所以，解得，且，故解法三：向量的代数运算角度由得对任意恒成立这里出现了双任意问题，故用双法求解先对任意，恒成立故恒成立，即对任意，恒成立故，解得对于任意，故，此时且解得，已知是空间相互垂直的单位向量，且