高考数学浙江专用总复习教师用书：第8章 第6讲　空间向量及其运算 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料2019.5第第 6 讲讲空间向量及其运算空间向量及其运算最新考纲1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.知 识 梳 理1.空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为 0 的向量0单位向量长度(模)为 1 的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(

2、1)共线向量定理空间两个向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在实数，使得 ba.推论如图所示，点 p 在 l 上的充要条件是opoata其中 a 叫直线 l 的方向向量， tr， 在 l 上取aba， 则可化为opoat ab或op(1t)oatob.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中 x，yr，a，b 为不共线向量，推论的表达式为mpxmaymb或对空间任意一点o， 有opomxmaymb或opxomyoazob，其中 xyz1.(3)空间向量基本定理如果向量 e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3，使得 a

3、1e12e23e3，空间中不共面的三个向量 e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 o，作oaa，obb，则aob 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作a，b ，其范围是0，若a，b2，则称 a与 b 互相垂直，记作 ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量 a，b 的数量积，记作ab，即 ab|a|b|cosa，b.(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4.空间向量的坐标表示及其应用设 a

4、(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0，r)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|a21a22a23夹角a，b(a0，b0)cosa，ba1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)空间中任意两非零向量 a，b 共面()(2)对任意两个空间向量 a，b，若 ab0，则 ab()(3)若a，b，c是空间的一个基底，则 a，b，c 中至多有一个零向量()(4)若 ab0，则a，b是钝角()解析对于(2)，因为

5、 0 与任何向量数量积为 0，所以(2)不正确；对于(3)，若 a，b，c 中有一个是 0，则 a，b，c 共面，所以(3)不正确；对于(4)，若a，b，则 ab0，故(4)不正确.答案(1)(2)(3)(4)2.在空间直角坐标系中，a(1，2，3)，b(2，1，6)，c(3，2，1)，d(4，3，0)，则直线 ab 与 cd 的位置关系是()a.垂直b.平行c.异面d.相交但不垂直解析由题意得，ab(3，3，3)，cd(1，1，1)，ab3cd，ab与cd共线，又 ab 与 cd 没有公共点.abcd.答案b3.(选修 21p97a2 改编)如图所示，在平行六面体 abcda1b1c1d1中

6、，m 为 a1c1与 b1d1的交点.若aba，adb，aa1c，则下列向量中与bm相等的向量是()a.12a12bcb.12a12bcc.12a12bcd.12a12bc解析由题意，根据向量运算的几何运算法则，bmbb1b1maa112(adab)c12(ba)12a12bc.答案a4.已知 a(2，3，1)，b(4，2，x)，且 ab，则|b|_.解析ab2(4)321x0，x2，|b| （4）222222 6.答案2 65.o 为空间中任意一点，a，b，c 三点不共线，且op34oa18obtoc，若 p，a，b，c 四点共面，则实数 t_.解析p，a，b，c 四点共面，3418t1，t

7、18.答案186.(20 xx浙江三市十二校联考)已知向量 a(1，2，3)，b(x，x2y2，y)，并且 a，b 同向，则 x_；y_.解析由题意知 ab，则x1x2y22y3，可得把代入得 x2x20，解得 x2 或 x1.当 x2 时，y6；当 x1 时，y3.当时，b(2，4，6)2a，向量 a 与 b 反向，不符合题意，故舍去.当时，b(1，2，3)a，向量 a 与 b 同向，故答案13考点一空间向量的线性运算【例 1】 如图所示，在空间几何体 abcda1b1c1d1中，各面为平行四边形，设aa1a，abb，adc，m，n，p 分别是 aa1，bc，c1d1的中点，试用 a，b，c

8、 表示以下各向量：(1)ap；(2)mpnc1.解(1)因为 p 是 c1d1的中点，所以apaa1a1d1d1paad12d1c1ac12abac12b.(2)因为 m 是 aa1的中点，所以mpmaap12a1aap12aac12b12a12bc.又nc1nccc112bcaa112adaa112ca，所以mpnc112a12bca12c32a12b32c.规律方法(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形， 将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算

9、.(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.提醒空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.【训练 1】 (20 xx上饶期中)如图，三棱锥 oabc 中，m，n分别是 ab，oc 的中点，设oaa，obb，occ，用 a，b，c 表示nm，则nm()a.12(abc)b.12(abc)c.12(abc)d.12(abc)解析nmnaam(oaon)12aboa12oc12(oboa)12oa12ob12oc12(abc).答案b考点二共线定理、共面定理的应用【例 2】 已知 e，f，g，h 分别是空间四边形 abcd

10、 的边 ab，bc，cd，da的中点，用向量方法求证：(1)e，f，g，h 四点共面；(2)bd平面 efgh.证明(1)连接 bg，则egebbgeb12(bcbd)ebbfehefeh，由共面向量定理知 e，f，g，h 四点共面.(2)因为ehahae12ad12ab12(adab)12bd， 因为 e， h，b，d 四点不共线，所以 ehbd.又 eh平面 efgh，bd平面 efgh，所以 bd平面 efgh.规律方法(1)证明空间三点 p，a，b 共线的方法papb(r)；对空间任一点 o，opxoayob(xy1).(2)证明空间四点 p，m，a，b 共面的方法mpxmaymb；对

11、空间任一点 o，opxomyoazob(xyz1)；pmab(或pamb或pbam).(3)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.【训练 2】 (1)若 a(1，2，3)，b(2，1，4)，c(m，n，1)三点共线，则 mn_.(2)已知空间四点 a(2，0，2)，b(1，1，2)，c(3，0，4)，d(1，2，t)，若四点共面，则 t 的值为_.解析(1)ab(3，1，1)，ac(m1，n2，2).a，b，c 三点共线，abac，m13n2121，m7，n4，mn3.(2)ab(1，1，0)，ac(1，0，2)，ad(3，2，t2)，a

12、，b，c，d 四点共面，ab， ac，ad共面.设adxabyac，即(3，2，t2)(xy，x，2y)，则xy3，x2，2yt2，解得x2，y1，t0.t 的值为 0.答案(1)3(2)0考点三空间向量数量积的应用【例 3】如图所示， 已知空间四边形 abcd 的各边和对角线的长都等于 a， 点 m，n 分别是 ab，cd 的中点.(1)求证：mnab，mncd；(2)求 mn 的长；(3)求异面直线 an 与 cm 所成角的余弦值.(1)证明设abp，acq，adr.由题意可知，|p|q|r|a，且 p，q，r 三向量两两夹角均为 60.mnanam12(acad)12ab12(qrp)，

13、mnab12(qrp)p12(qprpp2)12(a2cos 60a2cos 60a2)0.mnab，即 mnab.同理可证 mncd.(2)解由(1)可知mn12(qrp)，|mn|214(qrp)214q2r2p22(qrpqrp)14a2a2a22a22a22a22142a2a22.|mn|22a.mn 的长为22a.(3)解设向量an与mc的夹角为.an12(acad)12(qr)，mcacamq12p，anmc12(qr)(q12p)12(q212qprq12rp)12(a212a2cos 60a2cos 6012a2cos 60)12(a2a24a22a24)a22.又|an|mc

14、|32a，anmc|an|mc|cos32a32acosa22.cos23，向量an与mc的夹角的余弦值为23，因此异面直线 an 与 cm 所成角的余弦值为23.规律方法利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.可解决有关垂直、夹角、长度问题.(1)a0，b0，abab0；(2)|a| a2；(3)cosa，bab|a|b|.【训练 3】 如图所示，四棱柱 abcda1b1c1d1中，底面为平行四边形，以顶点 a 为端点的三条棱长都为 1，且两两夹角为 60.(1)求 ac1的长；(2)求证：ac1bd；(3)求 bd1与 ac 夹角的余弦值

15、.(1)解记aba，adb，aa1c，则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60，abbcca12.|ac1|2(abc)2a2b2c22(abbcca)1112121212 6，|ac1| 6，即 ac1的长为 6.(2)证明ac1abc，bdba，ac1bd(abc)(ba)ab|b|2bc|a|2abacbcac|b|c|cos 60|a|c|cos 600.ac1bd，ac1bd.(3)解bd1bca，acab，|bd1| 2，|ac| 3，bd1ac(bca)(ab)b2a2acbc1.cosbd1， acbd1ac|bd1|ac|66.ac 与 bd1夹角的余弦值为66.思想方法

16、1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键.4.向量的运算有线性运算和数量积运算两大类，运算方法有两种，一种是建立空间坐标系，用坐标表示向量，向量运算转化为坐标运算，另一种是选择一组基向量，用基向量表示其它向量，向量运算转化为基向量的运算.易错防范1.在利用mnxabyac证明 mn平面 abc 时，必须说明 m

17、点或 n 点不在面 abc 内(因为式只表示mn与ab，ac共面).2.求异面直线所成角，一般可转化为两向量夹角，但要注意两种角范围不同，注意两者关系，合理转化.3.找两个向量的夹角，应使两个向量具有同一起点，不要误找成它的补角.4.ab0 不等价为a，b为锐角，因为a，b可能为 0.基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1.(20 xx台州统考)已知向量 a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且 ab，则实数 m 的值等于()a.32b.2c.0d.32或2解析ab，2m123mm1m，解得 m2.答案b2.在正方体 abcda1b1c1d1中， m， n 分别为棱 aa1和 b

18、b1的中点， 则 sin cm，d1n的值为()a.19b.4 59c.2 59d.23解析如图， 设正方体棱长为 2， 则易得cm(2， 2， 1)， d1n(2，2，1)，coscm， d1ncmd1n|cm|d1n|19，sincm， d1n11924 59.答案b3.空间四边形 abcd 的各边和对角线均相等，e 是 bc 的中点，那么()a.aebcaecdb.aebcaecdc.aebcaecdd.aebc与aecd的大小不能比较解析取 bd 的中点 f，连接 ef，则 ef 綉12cd，因为ae， efae， cd90，因为aebc0，aecd0，所以aebcaecd.答案c4.

19、已知向量 a(1，1，0)，b(1，0，2)，且 kab 与 2ab 互相垂直，则 k的值是()a.1b.43c.53d.75解析由题意得，kab(k1，k，2)，2ab(3，2，2).所以(kab)(2ab)3(k1)2k225k70，解得 k75.答案d5.已知空间四边形 abcd 的每条边和对角线的长都等于 a，点 e，f 分别是 bc，ad 的中点，则aeaf的值为()a.a2b.12a2c.14a2d.34a2解析如图，设aba，acb，adc，则|a|b|c|a，且 a，b，c 三向量两两夹角为 60.ae12(ab)，af12c，aeaf12(ab)12c14(acbc)14(a

20、2cos 60a2cos 60)14a2.答案c二、填空题6.已知 2ab(0，5，10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则以 b，c 为方向向量的两直线的夹角为_.解析由题意得，(2ab)c0102010.即 2acbc10，又ac4，bc18，cosb，cbc|b|c|1812 14412，b，c120，两直线的夹角为 60.答案607.(20 xx宁波十校联考)已知 a(2，1，3)，b(1，2，1)，a 与 b 夹角的余弦值为_；若 a(ab)，则_.解析a(2， 1，3)，b(1，2，1)，cosa，b ab|a|b|22314 6216；由题意 a(ab)0，即 a2ab0

21、，又 a214，ab7，1470，2.答案21628.(20 xx北京顺义一模)设 a1，a2，a3，a4，a5是空间中给定的 5 个不同的点，则使5k1mak0 成立的点 m 的个数有_.解析设 m(a，b，c)，ak(xk，yk，zk)(k1，2，3，4，5).则mak(xka，ykb，zkc)，由5k1mak0 得x1x2x3x4x55a0，y1y2y3y4y55b0，z1z2z3z4z55c0，a15（x1x2x3x4x5） ，b15（y1y2y3y4y5） ，c15（z1z2z3z4z5） ，存在唯一点 m.答案1三、解答题9.已知空间中三点 a(2，0，2)，b(1，1，2)，c(

22、3，0，4)，设 aab，bac.(1)若|c|3，且 cbc，求向量 c.(2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值.解(1)cbc，bc(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)，cmbcm(2，1，2)(2m，m，2m)，|c| （2m）2（m）2（2m）23|m|3，m1.c(2，1，2)或(2，1，2).(2)a(1，1，0)，b(1，0，2)，ab(1，1，0)(1，0，2)1，又|a| 121202 2，|b| （1）20222 5，cosa，bab|a|b|1101010，即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为1010.10.如图所示，在平面角为 120的二面角ab中，ac

23、，bd，且acab，bdab，垂足分别为 a，b.已知 acabbd6，求线段 cd 的长.解acab，bdab，caab0， bdab0.二面角ab的平面角为 120，ca， bd18012060，cd2cd2(caabbd)2ca2ab2bd22caab2cabd2bdab362262cos 60144，cd12.能力提升题组(建议用时：25 分钟)11.在空间四边形 abcd 中， abcdacdbadbc()a.1b.0c.1d.不确定解析如图，令aba，acb，adc，则abcdacdbadbca(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.答案b12.若a，b，c是空间的

24、一个基底，且向量 pxaybzc，则(x，y，z)叫向量 p在基底a，b，c下的坐标.已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，一向量 p 在基底a，b，c下的坐标为(4，2，3)，则向量 p 在基底ab，ab，c下的坐标是()a.(4，0，3)b.(3，1，3)c.(1，2，3)d.(2，1，3)解析设 p 在基底ab，ab，c下的坐标为 x，y，z.则px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，因为 p 在a，b，c下的坐标为(4，2，3)，p4a2b3c，由得xy4，xy2，z3，x3，y1，z3，即 p 在ab，ab，c下的坐标为(3，1，3).答案b13.(20 xx郑州调研)已知 o 点为空间直角坐标系的原点，向量oa(1，2，3)，ob(2，1，2)，op(1，1，2)，且点 q 在直线 op 上运动，当qaqb取得最小值时，oq的坐标是_.解析点 q 在直线 op 上，设点 q(，2)，则qa(1，2，32)，qb(2，1，22)，qaqb(1)(2)(2)(1)(32)(22)621610643223