全国卷二1612数学（理）

1、20162017学年高三年级综合能力测试（CAT）（一） 理科数学（全国卷2）参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）C （6）C （7）B （8）A （9）B （10）D （11）C （12）B二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）（13） （14） （15）丙、甲、乙 （16）3 三、解答题（共70分） （17）（本小题满分12分）解：（）证明：当时， ，又，所以 2分 当时， 即 ， 4分 则 所以是等比数列. 6分 （）由（）知 7分 9分 所以 12分（18）（本小题满分12分）解：（）证明：因为为正方形，所以又因为

2、，所以平面所以因为，所以因为, 所以面因为 平面所以 平面平面 5分 （）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则.所以 ，, 6分设平面的一个法向量，则， .所以 令，则.所以 平面的一个法向量. 8分设平面的一个法向量，则， .所以 令，则. 10分所以 平面的一个法向量. 所以 . 11分由图可知，二面角是钝角，所以二面角的余弦值为. 12分（19）（本小题满分12分）解：（）甲城市去年上半年的平均气温比乙城市低；乙城市去年上半年的月平均气温比甲城 市上半年的月平均气温波动大（答案不唯一）. 3分 （）甲城市上半年的平均气温为（）设“从甲城市的月平均气温中随机抽取一个数，此数大

3、于该城市上半年的平均气温”为事件，基本事件空间为，共有6个基本事件，事件包含17，17，18，22这4个基本事件，则 .7分 （）设“从甲、乙两城市不低于16的月平均气温中随机抽取一个数，这两个数值相等” 为事件，基本事件空间为，共有个基本事件， .10分 事件包含这两个基本事件，则 .12分（20）（本小题满分12分）解：（）因为椭圆的短轴长为，所以.因为椭圆的离心率为，设焦距为，则，即，而，所以.所以椭圆的方程为. 3分 （）（1）先证菱形对角线的交点是坐标原点.设菱形对角线交点的坐标为，设，则.将分别代入椭圆方程得，由-可得，即，同理可得 5分当对角线垂直于轴时，垂直于轴，则，由得，再由

4、，由得，所以对角线交点为坐标原点.同理可证对角线垂直于轴时，对角线交点为坐标原点.当对角线不垂直于轴，不垂直于轴时，设的斜率为，则的斜率为，由得，由得，由可得.所以菱形对角线交点为坐标原点. 7分（2）下面证明菱形的高为定值.设原点到边的距离为，则菱形的高为.当两条对角线分别为长轴、短轴时，易求得，则. 9分当两条对角线均不在坐标轴上时，因为，所以.设菱形的一边所在直线的方程为，代入椭圆的方程，得，且，.所以， ， ， ，化简得 11分则原点到直线：的距离 ，则.综上，菱形的高为定值. 12分 （21）（本小题满分12分）解：（）的定义域为 ，令.因为 ，则.所以 存在两不等实根. 2分 设的

5、两根为，且.因为 ，所以 .因为 ， 所以 .因为 ，所以 .所以 ，或.又因为 ，所以 . 4分 与随的变化情况如下： 极大值极小值由上表可知，即函数在定义域上不小于的极小值点. 6分 （）当时，则. 所以 在区间内，函数无零点. 8分 由（）可知，在区间上，函数单调递减， 在区间内，单调递增.因为 ，所以 .因为 ，所以 .又因为 ，所以 函数在区间只有一个零点.综上所述，函数在定义域上只有一个零点. 12分 【选做题】（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（）因为，所以圆C1的极坐标方程为，圆C2的极坐标方程为. 5分（）所以圆C1与圆C2交点的坐标为 10分(注：极坐标系下点的表示不唯一)（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（）当时）当时，由 ）当时，由得： ）