上海市金山中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题及解析

1、上海市金山中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）一、填空题：本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分1.已知是等差数列的前项和，若，则_.【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质，再利用等差数列的前项和公式即可得出【详解】由等差数列的性质，则 故答案为21【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题2.若的圆心角所对的弧长为，则扇形半径长为_【答案】【解析】【分析】根据弧长公式 代入求解即可【详解】

2、， 故答案为4【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式，属基础题.。3.方程的解集是_【答案】【解析】【分析】把，等价转化为 ，由此能求【详解】，故答案为：【点睛】本题考查三角函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答4.设，则的值为_【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式 即可求得结论.【详解】利用二倍角公式. 即答案为.【点睛】本题考查二倍角公式的应用，属基础题.5.函数 的值域为_【答案】【解析】【分析】根据正弦函数的单调区间，函数在 上是增函数，在 上是减函数，利用函数的单调性求函数的值域【详解】由正弦函数的单调区间知，函数 在上是增函数，在上是减函数，故 时，y

3、有最大值是1，时， 时，故函数的值域是【点睛】本题考查正弦函数的单调区间及单调性、正弦函数的值域，利用函数的单调性求函数的值域是一种常用的方法6.设函数是r上的奇函数，当时，则当时，的解析式为_.【答案】【解析】【分析】当0时，由已知求出，利用奇函数定义得到与的关系式，从而求出【详解】当0时，由已知得，因为是r上的奇函数，所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，解决本题的关键在于：当0时，求出，再寻求与的关系7.若等比数列的前项和，则_【答案】【解析】【分析】根据 求得数列的通项公式，进而求得，根据 求得【详解】 ，又 ，由通项得： ，公比为3， 故答案为-2【点睛】本题主要

4、考查等比数列的性质，以及等比数列的前n项和公式解题的关键是求出数列的通项公式8.如图所示，在直角坐标系中，角的顶角是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且.将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点.若点的横坐标为，则点的横坐标为_.【答案】【解析】【分析】设由三角函数定义，得 ，由此利用同角三角函数的基本关系求得 的值，再根据 利用两角和的余弦公式求得结果【详解】设由三角函数定义，得 ，因为 ，所以所以  即答案为.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题9.已知函数，若将函数的图像向左平移 个

5、单位，所得图像关于轴对称，则实数的取值集合是_【答案】【解析】【分析】根据函数图象平移法则得出平移后的函数解析式，再根据函数图象关于y轴对称求出的取值集合【详解】函数的图象向左平移a个单位 ，得 |的图象，且函数的图象关于轴对称， 又， 或；实数的取值集合为故答案为：【点睛】本题考查了函数图象平移和化简的应用问题，是中档题10.已知数列满足，为数列的前项和，则_【答案】【解析】【分析】由，令 ，求得 的值，得 ，两式相比，即得 ，从而求得数列的前项和【详解】，令 ，求得，当时 数列的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列；则【点睛】考查由递推公式求数列中的性质，解决方法，体现了分类讨论的思想方法，

6、属基础题.11.已知数列满足，若对任意都有，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题若对于任意的都有，可得 解出即可得出【详解】，若对任意都有， ，解得 故答案为【点睛】本题考查了数列与函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12.已知函数的图像与直线的三个交点的横坐标分别为，那么的值是_.【答案】【解析】【分析】通过正弦函数的对称轴方程，求出函数的对称轴方程分别为 和，由题意可得 ，从而求出的值【详解】函数的图象取得最值有2个x值，分别为和，由正弦函数图象的对称性可得故 ，故答案为【点睛】本题主要考查三角函数 的对称性，考查计算能力二、选择题：本大题共有4题，

7、每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分 13.已知为数列的前项和，且满足，则 （ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据数列前前项和的性质可得 由此可得结果.【详解】由题数列的前项和满足，则故选c.【点睛】本题考查数列前前项和的性质，属基础题.14.在中，角所对的边分别为，则“”是“”的 ( ）a. 充分不必要条件 b. 必要不充分条件c. 充要条件 d. 既不充分也不必要条件【答案】a【解析】【分析】根据“，得出 ，根据充分必要条件的定义可判断【详解】中，角所对的边分别为， 或 根据充分必要条件的定义可判断：“”

8、是“”的充分不必要条件 故选a【点睛】本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题15.有下列四个命题：只有在区间上，正弦函数才有反函数；与是同一函数；若函数的最小正周期为，则；函数的最小正周期为. 其中正确的命题个数为 （ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】可根据反正弦函数的概念判断，若函数的最小正周期为，则或，函数的最小正周期为.【详解】只有在区间上，正弦函数才有反函数；错误，在每一个单调区间上正弦函数都有反函数；与是同一函数；，只有在区间上是同一函数；若函数的最小正周期为，则或，错误；，由图像可知函数的最小正周期为.【点睛】本题考查命题真假判断，属中档题.16.对

9、于实数，表示不超过的最大整数. 已知正数数列满足，其中为数列的前项和，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列sn2是首项为1，公差为1的等差数列，求得由此可求【详解】由，令 得， ，得当 时， 即 因此，数列 是首项为1，公差为1的等差数列，即 则 .故选b.【点睛】本题考查等差关系的确定，考查数列求和，属难题三、解答题：本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.设，求的值.【答案】【解析】【分析】根据两角和的正切公式可得.进而求出，则可求.【详解】，.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简求值，属中档题.18.已

10、知等比数列满足：公比，且.求数列的通项公式；（2）设点在函数的图像上，求数列的前项和的最大值，并求出此时的.【答案】（1）； （2） .【解析】【分析】（1）由题列出方程组，求得，根据进行取舍，可得列的通项公式；（2）由题意，则，由此可求数列的前项和的最大值.【详解】（1）由又，.（2）由题意，是等差数列，且.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，考查等差数列的前和公式，属中档题.19.已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.求的值；（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.【答案】（1）； （2

11、）.【解析】【分析】（1）先用两角和公式对函数的表达式化简得，利用偶函数的性质即求得，由函数图象的两相邻对称轴间的距离为求得，进而求出的表达式，把代入即可（）根据三角函数图象的变化可得函数的解析式，再根据余弦函数的单调性求得函数的单调区间【详解】（1）化简得：为偶函数，又，又函数图象的两相邻对称轴间的距离为，因此.（2）由题意得令，即的单调递减区间为.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数图象的应用属基础题20.如图，公路围成的是一块角形耕地，其中顶角满足.在该土地中有一点，经测量它到公路的距离分别为.现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业区（1）用来表示；（2

12、）为尽量减少耕地占用，问等于多少时，使该工业区面积最小？并求出最小面积.【答案】（1）； （2）当时，面积最小值为.【解析】【分析】（1）由题，则由可得答案；（2）由正弦定理得故，由基本不等式可求面积最小值.【详解】（1），.（2）由正弦定理，得当且仅当，即时等号成立. 解得.答：当时，该工业区的面积最小值为.【点睛】本题考查解三角形在实际生活中的应用，考查正弦定理，基本不等式等，属中档题21.用部分自然数构造如图的数表：用表示第行第个数，使得，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第行中的各数之和为.已知，求的值；令，证明：是等比数列，并求出的通项公式；数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）； （3）数列中不存在不同的三项恰好成等差数列.【解析】【分析】（1）利用数表，可求b1，b2，b3，b4，并且bn+1=a（n+1）1+a（n+1）2+a（n+1）（n+1）=2（an1+an2+ann）+2=2bn+2（2）由bn+1=2bn+2，可得bn+1+2=2（bn+2），从而bn+2是以b1+2=3为首项，2为公比的等比数列，即可求出bn的通项公式；（3）设pqr，bn是递增数列，2bq=bp+br，由此能导出数列bn中不存在不同的