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文档简介
1、学习必备欢迎下载排列组合分类计数原理: 完成一件事,有n 种不同的方法,在1 类办法中有m种不同的办法,在第 2 类办法中有 m2 种1不同的方法· ·····在第 n 种办法中有 m 种不同的方法。那么完成这件事共有N= m mm 种不同的方法n1 +2+······n分步计数原理: 完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 m种不同的打方12法·····做第 n 步有 mn 种不同的方
2、法,那么完成这件事共有N= m1 ×m2×······× mn 种不同的方法1 排列的概念 :从 n 个不同元素中,任取m (mn)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列2 排列数的定义 :从 n 个不同元素中,任取m ( mn )个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出 m 元素的 排列数 ,用符号 Anm 表示3 排列数公式 : Anmn(n1)(n2)( nm1) ( m, nN, mn )4 阶乘 : n! 表示正整数1 到n
3、的连乘积,叫做n 的阶乘 规定 0!15 排列数的另一个计算公式: Anm =n!(nm)!6 组合概念 :从 n 个不同元素中取出mmn 个元素并成一组, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 组合7组合数的概念 :从 n 个不同元素中取出mmn 个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的 组合数 用符号mCn表示8 组合数公式 : CnmAnmn(n 1)(n2) (n m1)或 C mnn!(n, m N,且 mn)Ammm!m!( nm)!9.组合数的性质1: C nmC nn m 规定: C n01;10.组合数的性质mmm 101nn2: Cn1 C n
4、+ C nCn+Cn + +Cn =2排列组合问题的解题策略一、相临问题 捆绑法一般地 : 个人站成一排 ,其中某 个人相邻 ,可用 “捆绑 ”法解决例 1 7 名学生站成一排,甲、乙必须站在一起有多少不同排法?二、不相临问题 选空插入法若 个人站成一排,其中 个人不相邻,可用 “插空 ”法解决例 2 7 名学生站成一排,甲乙互不相邻有多少不同排法?三、复杂问题 总体排除法在直接法考虑比较难,或分类不清或多种时,可考虑用“排除法 ”,解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。例 3.正六边形的中心和顶点共7 个点,以其中3 个点为顶点的三角形共有多少个.学习必备欢迎下载四、特殊元素
5、优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题,可以考虑优先安排特殊位置,然后再考虑其他位置的安排。例 4 1 名老师和4 名获奖学生排成一排照像留念,若老师不排在两端,则共有不同的排法有多少种例 5 乒乓球队的10 名队员中有3 名主力队员, 派 5 名队员参加比赛,3 名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余 7 名队员选2 名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有多少种.五、多元问题 分类讨论法对于元素多,选取情况多,可按要求进行分类讨论,最后总计。例 6 某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为()A42
6、B30C20D12六、混合问题 先选后排法对于排列组合的混合应用题,可采取先选取元素,后进行排列的策略例 7 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4 人,则不同的分配方案共有()例 8 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有()A24 种B18 种C12 种D6 种七相同元素分配 档板分隔法例 9 把 10 本相同的书发给编号为 1、2、3 的三个学生阅览室,每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数,试求不同分法的种数。解:先让 2、 3 号阅览室依次分得 1本书、 2 本书;再对余下的 7
7、本书进行分配,保证每个阅览室至少得一本书,这相当于在7 本相同书之间的6 个 “空档 ”内插入两个相同 “(I”一般可视为 “隔板 ”)共有 种插法,即有 15种分法。八特殊元素(位置)的“优先安排法 ”:对于特殊元素(位置)的排列组合问题,一般先考虑特殊,再考虑其他。例 10、 用 0,2 , 3 ,4 , 5,五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有()。A24个B.30 个C.40 个D.60 个九总体淘汰法: 对于含否定的问题,还可以从总体中把不合要求的除去。如例10 中,也可用此法解答: 五个数字组成三位数的全排列有A53 个,排好后发现 0 不能排首位,而且数字 3,5 也
8、不能排末位,这两种排法要排除,故有 A53-3A42+ C21A31=30个偶数。六顺序固定用 “除法 ”:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。例 11、 6 个人排队,甲、乙、丙三人按 “甲 -乙 - 丙 ”顺序排的排队方法有多少种?分析:不考虑附加条件,排队方法有 A66 种,而其中甲、乙、丙的 A33 种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有 A66 ÷A33 =120 种。 (或 A63 种)例 12 、4 个男生和 3 个女生,高矮不相等,现在将他们排成一行,要求从左到右女生从矮到高排列
9、,有多少种排法。解:先在7 个位置中任取4 个给男生,有A74 种排法,余下的3 个位置给女生,只有一种排法,故有A74种排法。 (也可以是A77 ÷A33 种 )练习题:学习必备欢迎下载1由 1, 2, 3,4, 5, 6, 7 七个数字组成的无重复数字的七位数中,2, 4, 6 从左到右按4在前,2居中, 6在后的次序出现且 2, 4, 6 不相邻,这样的七位数共有(B)434 34 31 A44 A53AA4A5个 B A4C5个 C A4A3个D 2个2.12名同学合影,站成前排4 人后排 8 人,现摄影师要从后排8 人中抽 2 人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调
10、整方法的总数是( C)A C82 A32B C82 A66C C82 A62D C82 A523.4名同学没人从甲、乙、丙3 门课程中选修一门,则恰有2 人选修课程甲的不同方法共有()A.12 种B.24种C.30种D.36种4、从 4 名男生和 3名女生中选出4 人参加某个座谈会,若这4 人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有()A140 种(B)120 种(C)35 种(D)34 种5、同室四人各写一张贺卡,先集中起来,再每人从中拿一张别人送出的贺卡,则不同的分配方式有()A、6 种B、9 种C、11 种D、23 种6、 4 名教师分配到3 所中学任教,每所中学至少1 名教师,则不同的
11、分配方案共有()A. 12种B. 24种C36种D. 48种7、某校高二年级共有六个班,现从外地转入4 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2 名,则不同的安排方案种数为()A A62 C42B 1 A62C4 2C A62 A42D 2A6228、某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这两个新节目插入原节目单中,那么不同的插法的种数为()(A)42( B)30(C)20( D)129. 如图,一环形花坛分成A, B, C, D 四块,现有4 种不同的花供选种,要求在每块里种1AD种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为(B)BCA 96B84C 60D4810、如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地
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