排列组合二项式知识点及例题

1、学习必备欢迎下载排列组合分类计数原理： 完成一件事，有n 种不同的方法，在1 类办法中有m种不同的办法，在第 2 类办法中有 m2 种1不同的方法· ·····在第 n 种办法中有 m 种不同的方法。那么完成这件事共有N= m mm 种不同的方法n1 +2+······n分步计数原理： 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 m种不同的打方12法·····做第 n 步有 mn 种不同的方

2、法，那么完成这件事共有N= m1 ×m2×······× mn 种不同的方法1 排列的概念 ：从 n 个不同元素中，任取m （mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列2 排列数的定义 ：从 n 个不同元素中，任取m （ mn ）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出 m 元素的 排列数 ，用符号 Anm 表示3 排列数公式 ： Anmn(n1)(n2)( nm1) （ m, nN, mn ）4 阶乘 ： n! 表示正整数1 到n

3、的连乘积，叫做n 的阶乘 规定 0!15 排列数的另一个计算公式： Anm =n!(nm)!6 组合概念 ：从 n 个不同元素中取出mmn 个元素并成一组， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 组合7组合数的概念 ：从 n 个不同元素中取出mmn 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 组合数 用符号mCn表示8 组合数公式 ： CnmAnmn(n 1)(n2) (n m1)或 C mnn!(n, m N,且 mn)Ammm!m!( nm)!9.组合数的性质1： C nmC nn m 规定： C n01；10.组合数的性质mmm 101nn2： Cn1 C n

4、+ C nCn+Cn + +Cn =2排列组合问题的解题策略一、相临问题 捆绑法一般地 : 个人站成一排 ,其中某 个人相邻 ,可用 “捆绑 ”法解决例 1 7 名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？二、不相临问题 选空插入法若 个人站成一排，其中 个人不相邻，可用 “插空 ”法解决例 2 7 名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？三、复杂问题 总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法 ”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。例 3.正六边形的中心和顶点共7 个点，以其中3 个点为顶点的三角形共有多少个.学习必备欢迎下载四、特殊元素

5、优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。例 4 1 名老师和4 名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法有多少种例 5 乒乓球队的10 名队员中有3 名主力队员， 派 5 名队员参加比赛，3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余 7 名队员选2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有多少种.五、多元问题 分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。例 6 某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）A42

6、B30C20D12六、混合问题 先选后排法对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略例 7 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案共有（）例 8 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A24 种B18 种C12 种D6 种七相同元素分配 档板分隔法例 9 把 10 本相同的书发给编号为 1、2、3 的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。解：先让 2、 3 号阅览室依次分得 1本书、 2 本书；再对余下的 7

7、本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7 本相同书之间的6 个 “空档 ”内插入两个相同 “（I”一般可视为 “隔板 ”）共有 种插法，即有 15种分法。八特殊元素（位置）的“优先安排法 ”：对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。例 10、 用 0，2 ， 3 ，4 ， 5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。A24个B.30 个C.40 个D.60 个九总体淘汰法： 对于含否定的问题，还可以从总体中把不合要求的除去。如例10 中，也可用此法解答: 五个数字组成三位数的全排列有A53 个，排好后发现 0 不能排首位，而且数字 3，5 也

8、不能排末位，这两种排法要排除，故有 A53-3A42+ C21A31=30个偶数。六顺序固定用 “除法 ”：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。例 11、 6 个人排队，甲、乙、丙三人按 “甲 -乙 - 丙 ”顺序排的排队方法有多少种？分析：不考虑附加条件，排队方法有 A66 种，而其中甲、乙、丙的 A33 种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有 A66 ÷A33 =120 种。 (或 A63 种)例 12 、4 个男生和 3 个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列

9、，有多少种排法。解：先在7 个位置中任取4 个给男生，有A74 种排法，余下的3 个位置给女生，只有一种排法，故有A74种排法。 (也可以是A77 ÷A33 种 )练习题：学习必备欢迎下载1由 1， 2， 3，4， 5， 6， 7 七个数字组成的无重复数字的七位数中，2， 4， 6 从左到右按4在前，2居中， 6在后的次序出现且 2， 4， 6 不相邻，这样的七位数共有（B）434 34 31 A44 A53AA4A5个 B A4C5个 C A4A3个D 2个2.12名同学合影，站成前排4 人后排 8 人，现摄影师要从后排8 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调

10、整方法的总数是( C)A C82 A32B C82 A66C C82 A62D C82 A523.4名同学没人从甲、乙、丙3 门课程中选修一门，则恰有2 人选修课程甲的不同方法共有（）A.12 种B.24种C.30种D.36种4、从 4 名男生和 3名女生中选出4 人参加某个座谈会，若这4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有()A140 种(B)120 种(C)35 种(D)34 种5、同室四人各写一张贺卡，先集中起来，再每人从中拿一张别人送出的贺卡，则不同的分配方式有（）A、6 种B、9 种C、11 种D、23 种6、 4 名教师分配到3 所中学任教，每所中学至少1 名教师，则不同的

11、分配方案共有（）A. 12种B. 24种C36种D. 48种7、某校高二年级共有六个班，现从外地转入4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2 名，则不同的安排方案种数为（）A A62 C42B 1 A62C4 2C A62 A42D 2A6228、某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为（）（A）42（ B）30（C）20（ D）129. 如图，一环形花坛分成A， B， C， D 四块，现有4 种不同的花供选种，要求在每块里种1AD种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（B）BCA 96B84C 60D4810、如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地