初中数学重点从一道数学压轴题谈起

1、中学数学重点：从一道数学压轴题谈起由于工作的关系， 我常常接到一些同学的询问，反映在考试时， 一见数学压轴题就发怵，常常折腾个把小时做不完；仍有的同学以为压轴题肯定很难，不敢碰它， 所以不如干脆舍弃，挪些时间检查，保证基础题少丢分，这也是部分老师的谆谆教诲和同学家长的千叮万嘱. 这种做法是否明智？数学压轴题是在中学主干学问的交汇处命制，是多个基础学问点的融合或深挖，所涉及的学问点多，掩盖面广，综合性强， 对思维才能思维品质的考查要求很高，几乎都涉及到数学学科的基础学问、基本技能、基本思想与基本方法，如三角形的全等、相像；函数解析式的求法与应用、方程的思想、分类争论的思想、数形结合的思想等，所以

2、具有肯定难度，绝大部分同学难以全部完成.1压轴题真的就不能碰吗？下面以东营市压轴题为例谈谈我们的看法题目：（东营市24 题）已知正方形abcd 中，e 为对角线bd 上一点， 过 e 点作 ef bd交 bc 于 f ，连接 df ， g 为 df 中点，连接eg， cg （ 1）求证： eg=cg；（ 2）将图中 bef 绕 b 点逆时针旋转45o，如图所示，取df 中点 g，连接 eg， cg问（ 1）中的结论是否仍旧成立？如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由（ 3）将图中 bef 绕 b 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍旧成立？通过观看你仍能得出什么

3、结论？（均不要求证明）adadad ggfeefebfcbcbc图图图这一压轴题改编自广州市中学同学学业考试数学试题第25 题，原题如下：已知 rtabc 中， ab=ac，在 rt ade 中， ad =de，连结 ec，取 ec 中点 m，连结dm 和 bm.（ 1）如点 d 在边 ac 上，点 e 在边 ab 上且与点b 不重合，如图，求证：bm =dm 且 bm dm ；（ 2）如图中的ade 绕点 a 逆时针转小于45°的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？假如不成立，请举出反例；假如成立，请赐予证明该题主要考查三角形、图形的旋转、特殊四边形等基础学问，考查空间观念、演

4、绎推理才能命题组给出的参考解答及评分看法如下：解：（ 1）证明：在rt fcd 中， g 为 df 的中点，1g cg=fd 1分e2同理，在rtdef 中，1bfceg=2fd 2 分图 cg=eg3 分（ 2）（1）中结论仍旧成立，即eg =cg 4 分证法一：连接ag，过 g 点作 mn ad 于 m ，与 ef 的延长线交于n 点在 dag 与 dcg 中， ad =cd ， adg = cdg ， dg =dg ， dag dcg ag=cg5 分在 dmg 与 fng 中， dgm = fgn ，fg =dg ， mdg = nfg ， dmg fng mg =ng在矩形 aenm

5、 中， am =en 6 分在 rtamg与 rt eng 中， am =en， mg =ng， amg eng ag=eg eg=cg8 分证法二：延长cg 至 m ,使 mg =cg ，连接 mf ， me ， ec，4 分在 dcg与 fmg 中， fg=dg ， mgf = cgd ， mg=cg ， dcg fmg mf =cd ， fmg dcg mf cd ab5 分 efmf amdgefnbnc图 （一）madgefbc图 （二）在 rtmfe与 rt cbe 中， mf =cb，ef =be ， mfe cbemefceb 6 分 mec mef fec ceb cef 9

6、0°7 分 mec 为直角三角形ad mg = cg ，g eg=1 fmce2egcg 8 分图（ 3）（1）中的结论仍旧成立，bc即 eg=cg 其他的结论仍有:eg cg 10 分分析 ：解答压轴题， 除了要具备扎实的数学学问和良好的的读题习惯外， 仍要具备较高的应考才能，要特殊关注题目中的特殊图形，如题目中的“正方形的对角线” ；特殊的位置关系，如“ ef bd ”；特殊的点“中点 g”等；要找准压轴题的“题眼” ， “题眼”一般在于某一个特殊图形中或在于某个思想方法中该压轴题由3 个小题组成 .第（ 1）题要求证明两条线段相等，这可以分别在rt fcd和 rtdef 中利用

7、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到要证得结论，这一问是比较简洁的，简洁上手；第2题是转变图中bef 的位置，将图中bef 绕 b 点逆时针旋转45o，如图所 示，取 df 中点 g，连接 eg， cg问（ 1）中的结论是否仍旧成立？如成立，请给出证明； 如不成立，请说明理由这一问稍难，但仍仍属于常规题型，证明的过程需要添加帮助线，通过证两次三角形的全等，借助于等量代换，得到egcg ；第3 题较难，才能要求较高假如从合情推理的角度动身，可以通过量一量、猜一猜的方法解决在解答时把最简洁的第（1）小题的分数完全拿到，中等难度的第（2）小题力争拿到全分，最难的第（3）小题要争取得到一点分，

8、这样就大大提高了获得数学高分的可能性另外，从评分标准可以看出，肯定要重视分段得分.一道压轴题做不出来，不等于一点思路没有，要考虑各种可能由浅入深的分析，知道一步做一步.因此，对压轴题要懂得多少做多少，最大限度地发挥自己的水平所以，我要大声疾呼：千万莫轻易向压轴题投降！2 仍有其他解法吗下面再给出（2）的另外几种证法：证法三：过点g 作 mn ad 交 ab 于 m ，交 cd 于 n，gp ad 于 p，就 bmg 与 dng 均是等腰直角三角形，四边形 mncb 是矩形，四边形pdng 是正方形 .所以 mg =bm=cn.由于 g 为 df 的中点， 所以 em =am=dn =gn ,所

9、以 rt emg rt gng,apdmgnefbc图 （三）所以 egcg 证法四：过g 作 gm ad 交 ab 于 m ，由于 ef ad ,dg =gf ,所以 am =me，ad所以 ga=ge.由于四边形abcd 是正方形，所以 ad =cd , gd =gd , agd = cgd ，所以 agd cgd , 所以 ag=cg.所以 egcg 3 该压轴题能推广吗？gmefbnc图 （四）将试题中“ e 为对角线bd 上一点，过e 点作 ef bd 交 bc 于 f”变换为“ e 为直线bd 上一点，过e 点作 ef bd 交直线 bc 于 f ”，可得：变式 1：已知正方形ab

10、cd 中， e 为直线 bd 上一点，过e 点作 efbd 交直线 bc 于f，连接 df ， g 为 df 中点，连接eg，cg （ 1）求证： eg=cg；（ 2）将 bef 绕 b 点逆时针旋转45o，取 df 中点 g，连接 eg， cg问（ 1）中的结论是否仍旧成立？如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由（ 3）将 bef 绕 b 点旋转任意角度，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍旧成立？通过观看你仍能得出什么结论？eadadadgggebfcfbcbcf.e将变式 1 中“将 bef 绕 b 点逆时针旋转45o”变换为“将bef 绕 b 点顺时针旋转45o”，可得：变式 2

11、：已知正方形abcd 中， e 为直线 bd 上一点，过e 点作 ef bd 交直线 bc 于 f，连接 df ，g 为 df 中点，连接eg， cg （ 1）求证： eg=cg；（ 2）将 bef 绕 b 点顺时针旋转45o，取 df 中点 g，连接 eg， cg问（ 1）中的结论是否仍旧成立？如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由（ 3）将 bef 绕 b 点旋转任意角度，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍旧成立？通过观看你仍能得出什么结论？假如将条件“过e 点作 ef bd 交直线 bc 于 f，连接 df ， g 为 df 中点，连接eg，cg”变换为 “过 e 点作 ef b

12、c 交直线 bc 于 f ，连接 de ，g 为 de 中点， 连接 fg，cg ”可得：变式 3：已知正方形abcd 中， e 为直线 bd 上一点，过e 点作 ef bc 交直线 bc 于 f，连接 de ，g 为 de 中点，连接fg ， cg （ 1）求证： fg=cg；（ 2）将 bef 绕 b 点顺（或逆）时针旋转45o，取 de 中点 g，连接 fg ，cg问（ 1）中的结论是否仍旧成立？如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由（ 3）将 bef 绕 b 点旋转任意角度，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍旧成立？通过观看你仍能得出什么结论？ega daadgb fcfgbc

13、bcf由证法四，可得e变式 4 ：如图， p 是正方形abcd 对角线 ac 上一动点（ p 与 a、c 不重合），点 e 在射线 bc 上，且 pe=pb .求证： pe=pd； pe pd .如将条件 “知正方形abcd 中，e 为对角线bd 上一点， 过 e 点作 ef bd 交 bc 于 f ，连接 df ， g 为 df 中点，连接eg， cg”变换为“知正方形abcd 中， p 为对角线ac 上一点，过 p 点作 pe bc 交 bc 于 e，pf cd 交 cd 于 f”可得：变式 5：如图 1，已知 p 为正方形abcd 的对角线ac 上一点不与 a、c 重合 ， pe bc

14、于点 e， pf cd 于点 f(1) 求证： bp=dp ；(2) 如图 2，如四边形pecf 绕点 c 旋转任意一个角度，在旋转过程中是否总有bp=dp ？如是， 请赐予证明；图 1图 2如不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形abcd 的两个顶点，分别与四边形pecf 的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形pecf 绕点 c 按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结 论4 能得到什么启示？（ 1）回来课本，夯实基础近年来中考数学有很多新题型，多数试题取材于教科书，试题的构成是在教科书中的例 题、练习题、 习题的基础上通过类比、加工改造、 加强条件或减弱条件、延长或扩展而成的，也就是说，教科书中的例题、练习题、习题为编拟中考数学试题供应了丰富的题源. 所以，我们要回到教材，仔细争论教材，发挥教材的示范作用.（ 2）注意过程，进展才能要亲身经受数学问题的提出过程、解决方法的探究过程、问题结论的深化过