不定积分课件

1、不定积分PPT课件解解()cos;dtdt(sin)cos,dttdt)(sin1costdtdt .cos)sin1(tdtCtd );sin1(td 如何系统计算？如何系统计算？引言引言(?)(?)( );( )ddf x dxf xdx不定积分PPT课件第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学3.3 不定积分不定积分例例 )0(1ln xxx一、一、定义定义若在区间若在区间I 内内 dxxfxdFxfxF 或或 .上的一个原函数上的一个原函数在在是是则称则称IxfxF 1ln0,.xx 是是在在区区间间内内的的原原函函数数不定积分PPT课件问题：问题：(2) f(x)的原函数的原函数F

2、(x)是否唯一是否唯一？(3) 若原函数若原函数F(x)不唯一不唯一, , 它们之间有什么联系它们之间有什么联系？(1) f(x)满足什么条件则一定存在原函数满足什么条件则一定存在原函数F(x) ?原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数简言之：连续函数一定有原函数. . .fxIIF xxIFxfx 如如果果函函数数在在区区间间 内内连连续续，那那么么在在区区间间 内内存存在在可可导导函函数数，使使，都都有有不定积分PPT课件例例 sincosxx sincosxCx 22xx 22xCx 由原函数的定义可知：由原函数的定义可知：证证 )()()()(xGxFxGxF 0

3、)()( xfxfCxGxF )()( (1)( )( ).(2)Fxf xCF xCfxF xG xfxF xG xCC 若若，则则对对于于任任意意常常数数 ，都都是是的的原原函函数数若若和和都都是是的的原原函函数数，则则为为任任意意常常数数 C为为任任意意常常数数 C为为任任意意常常数数不定积分PPT课件不定积分的定义：不定积分的定义：若在区间若在区间I内内, F(x)是是 f(x)的一个原函数，则的一个原函数，则f(x)的所有原函数的一般表达式的所有原函数的一般表达式F(x)+C (C为任意常数为任意常数)称为称为f(x)的不定积分，记为的不定积分，记为 .fx dx 不定积分号不定积分

4、号被积表达式被积表达式 即即f(x) dx=F(x)+C积分变量积分变量被积函数被积函数不定积分PPT课件例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx不定积分PPT课件例例3 3 设曲线通过点设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的，且其上任一点处的解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的一一个个原原函函数数.,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）, 1 C所求曲线方程为所求曲线方程

5、为. 12 xy切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.不定积分PPT课件xy=x2+1(1,2)y=x2+coy不定积分PPT课件不定积分的几何意义：不定积分的几何意义：设设F(x)是是 f(x)的一个原函数，则的一个原函数，则 y=F(x)的的图形是图形是 xoy 平面上的一条曲线，称此曲线平面上的一条曲线，称此曲线 为为 yF xCfx 积积称称为为的的分分曲曲线线族族. .因为因为 000 x xx xx xyF xCfxfx 所以在每条积分曲线上同一横坐标所以在每条积分曲线上同一横坐标 x0 所对应的点的所对应的点的切线的斜率都等于切线的

6、斜率都等于f(x0). 在几何上表明：在几何上表明：f(x)的一条的一条积分曲线积分曲线.不定积分PPT课件在积分曲线在积分曲线 族的每条积分曲线族的每条积分曲线 上横坐标上横坐标 x 相同的点相同的点作切线，这些切线是互相平行的作切线，这些切线是互相平行的.如下图所示：如下图所示：oxyx不定积分PPT课件二、二、 不定积分的性质不定积分的性质 fx dxfx 性质1性质1或或 F xf x证证设设是是的的一一个个原原函函数数, ,则则 .f x dxF xC .fx dxF xCFxfx 所以所以 dxxfdxxfd 不定积分PPT课件( )( ),Fx dxF xC ( )( ).dF

7、xF xC 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.2性性质质或或不定积分PPT课件 ( )( )f xg x dx 性性质质3 3( )( );f x dxg x dx 证证 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.有限个可积函数代数和的积分等于积分的代数和有限个可积函数代数和的积分等于积分的代数和 4( )( )0kf x dxkf x dxkk 性性质质是是常常数数，不定积分PPT课件实例实例 xx 11.11Cxdxx 结论结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，)1( 三、三、 基本积

8、分表基本积分表因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.不定积分PPT课件(1)(kdxkxCk 是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx(3)ln;dxxCx ,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx有时简写为有时简写为.ln Cxxdx积分基本公式：积分基本公式：0.dxC , 0 x不定积分PPT课件 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2s

9、in)9( xdx2csc;cotCx 不定积分PPT课件 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax (14)sh xdx ch;xC (15)ch xdx sh;xC 不定积分PPT课件例例4 4 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 11xx dxC 不定积分PPT课件例例5 5 求积分求积分解解2232().11Idxxx 22113211Idxdxxx xarctan3 xarcsin2 C 不定积分PPT课件例例6 6 求积分求积分解解

10、dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx .)1(122dxxxxx 不定积分PPT课件例例7 7 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(2122222221(1)xxdxxx dxxdxx 22111.arctan1Cxx 拆分、凑项拆分、凑项（1+x2）不定积分PPT课件恒等变形恒等变形例例8 8 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 不定积分PPT课件解解,sinsec2xxdxdy dxxxy si

11、nsec2,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 6costan xxy 29,secsin0,5.yfxx fxxxy 例例已已知知曲曲线线在在点点处处的的切切线线斜斜率率为为，且且此此曲曲线线与与 轴轴的的交交点点为为，求求此此曲曲线线的的方方程程不定积分PPT课件例例10 求求3xxIe dx .lnxxaa dxca 13.331ln3ln3xxxxeeeIdxcce 式式视为底数，利用积分公视为底数，利用积分公，将，将因因解解333eeexxx 不定积分PPT课件 dxxxI22cossin111求求例例 I解解 dxxxxx2222cossincossin xdxxdx22cscsecdxxdxx 22sin1cos1cxx cottan不定积分PPT课件.xdx 2 2例例1 12 2求求I I= = t ta an n 2sec1Ixdx 解解tan.xxc 不定积分PPT课件思考：思考：1、分段函数、分段函数 求求10(