2022年3.2利用导数研究函数的性态

1、精品资料欢迎下载3.2 利用导数研究函数的性态3.2.1 函数的单调性单调增加：0)(xf（仅可能在个别点为零）单调减少：0)(xf（仅可能在个别点为零）. 定理 1（单调性判定法）函数)(xf在闭区间,ba上连续，在开区间),(ba内可导（1）若0)(xf，则函数)(xf,ba上单调增加 . （2）若0)(xf，则函数)(xf,ba上单调减少 . 证 （1）对任意,21baxx，且21xx，由拉格朗日中值定理，有)()()(1212xxfxfxf)(21xx. 若0)(xf， 则 必 有0)(f， 又012xx， 故 有)()(12xfxf， 即 函 数)(xf,ba上单调增加 . 同理可证

2、（ 2）. 例 1 判断函数xxysin在区间2,0上的单调性 . 解因为在)2,0(内0cos1xy，由定理可知， 函数xxysin在区间2,0上的单调增加 . 函数具有单调性的区间为函数的单调区间. 单调区间的分界点处的导数值应该为零，但导数值为零的点，不一定是单调区间的分界点. 使0)(xf的点，叫做函数)(xfy的驻点 . 例 2 求函数1)(xexfx的单调区间 . 解1)(xexf，令0)(xf，得驻点0 x.当0 x时，0)(xf，所以1)(xexfx在),0上单调增加 .当0 x时，0)(xf， 所以1)(xexfx在0 ,(上单调减少 . 例 3 求函数32)(xxf的单调区

3、间 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载解函数的定义域为),(，3132)(xxf，此函数无驻点，但当0 x时，函数的导数不存在 . 当0 x时，0)(xf，所以32)(xxf在),0上单调增加 . 当0 x时，0)(xf，所以32)(xxf在),0上单调减少 . 求函数)(xfy单调区间的步骤如下：第一步，确定函数)(x

4、fy的定义域；第二步，求)(xf，并求出函数)(xf在定义域内的驻点以及不可导点；第三步，用驻点和不可导点将定义域分成若干小区间，列表分析；第四步，写出函数)(xfy的单调区间 . 例 4 求函数31292)(23xxxxf的单调区间 . 解 （1）函数的定义域为),(. （2）)1)(2(612186)(2xxxxxf，令0)(xf，得驻点11x，22x. （3）11x，22x把定义域分成三部分，x) 1 ,(1 )2 ,1 (2 ),2()(xf0 0 )(xf2 1 例 5 求证)1ln(xx（0 x）证设)1ln()(xxxf，则xxf111)(. 当0 x时，0)(xf，由定理1 知

5、)(xf为单调增加，又所以在),0上单调增加，又0)0(f，故当0 x时，)0()(fxf，即0)1ln(xx. 从而)1ln(xx. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载例 6 （人口增长问题）中国的人口总数p（以 10 亿为单位）在1993-1995 年间可近似用方程tp)014.1(15.1来计算，其中t是以 1993

6、年为起点的年数，根据这一方程，说明中国人口总数在这段时间是增长还是减少？解dtdp001 4.1ln)014.1(15.1t. 因此，中国人口总数在1993-1995 年期间是增长的. 3.2.2 曲线的凹凸性与拐点定义1 在开区间),(ba内，如果曲线上每一点处的切线都在它的下方，则称曲线在),(ba内是凹的 .如果曲线上每一点处的切线都在它的上方，则称曲线在),(ba内是凸的 . 定理2（曲线凸凹性的判定定理）设函数)(xfy在闭区间,ba上连续，且在开区间),(ba内具有二阶导数，如果对任意的),(bax，有（1）0)(xf，则曲线)(xf在闭区间,ba上是凹的（2）0)(xf，则曲线)

7、(xf在闭区间,ba上是凸的曲线凹凸区间的分界点叫做曲线的拐点 . 求曲线的凹凸区间及拐点的步骤：（1）确定函数)(xf的定义域；（2）求)(xf，)(xf，解出0)(xf的点和)(xf不存在的点；（3）这些点将定义域分成若干小区间，列表判定在这些小区间内)(xf的符号；（4）写出函数)(xfy的凹凸区间及拐点. 例7 确定曲线39623xxxy的凸凹性和拐点. 解)2(6126)(,9123)(2xxxfxxxf，由0)(xf，得2x. x)2,(2 ),2()(xf- 0 + )(xfy拐点)1, 2(精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

8、第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载例8 确定曲线31)1(1xy的凹凸性和拐点. 解3532) 1(192)(,) 1(31)(xxfxxf，当1x时，)(xf不存在 . x) 1 ,(1 ), 1 ()(xf+ 不存在+ )(xfy拐点)1, 2(3.2.3 函数的极值与最值1.函数的极值定义 2 设函数)(xf在点0 x的某邻域)(0 xu内有定义， 如果对去心邻域)(0 xu内的任一x， 有)()(0 x

9、fxf（或)()(0 xfxf） ， 那么就称)(0 xf是函数)(xf的一个极大值 （或极小值） . 函数的极大值和极小值统称为函数的极值 ，使得函数取得极值的点称为函数的极值点 . 注： （1）极值是函数值，而极值点是指自变量的值. （2）极值与函数在整个区间上的最大值、最小值不同，前者是局部性的，而后者是整体性的 .因此，对于同一函数来说，其极小值可能大于极大值. 定理3（必要条件）若函数)(xf在点0 x处可导，且在点0 x处取得极值，那么必有0)(xf. 注： （1）可导函数)(xf的极值点必是他的驻点，但函数的驻点不一定是极值点；（2）函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值. 定

10、理 4（极值判定法则1）设函数)(xf在点0 x处连续且在0 x的某一去心邻域)(0 xu内可导，则oxyab)(xfy1x2x3x4x5x6x精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载（1）当0 xx时，0)(xf，当0 xx时，0)(xf，那么函数)(xf在点0 x处取得极大值；（2）当0 xx时，0)(xf，当0 xx时，0)

11、(xf，那么函数)(xf在点0 x处取得极小值 . 定理5（极值判定法则2） 设函数)(xf在0 x某一邻域内二阶可导，且0)(0 xf，0)(0 xf，则（1）当0)(0 xf时，那么函数)(xf在点0 x处取得极大值；（2）当0)(0 xf时，那么函数)(xf在点0 x处取得极小值；求极值的步骤:（1）求导数)(xf；（2）求)(xf的全部驻点和不可导点；（3）检查)(xf在驻点或不可导点左右的正负号，判断极值点；如果是极值点，进一步判断是极大值点还是极小值点；（4）求极值 . 例 9 求函数32)1()1()(xxxf的极值 . 解0)(),15() 1)(1()(2xfxxxxf，求得

12、驻点1 ,51, 1x. x) 1,(-1 )51, 1(51)1 ,51(1 )3, 1()(xf0 + 0 - 0 + )(xf无极值有极大值有极小值51x，)(xf有极大值31253456)51(f；1x，)(xf有极小值0) 1(f. 例 10 求函数xxxfcossin)(在区间2,0上的极值 . 解xxxfxxxfc o ss i n)(,s i nc o s)(令0sincos)(xxxf得驻点45,4x，而精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d

13、f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载0)4(f，0)45(f故2)4(f为极大值，2)45(f为极小值 . 2. 最大值与最小值函数的最值，最大值及最小值的概念。说明： 由极值和最值的定义可知，极值是一个局部概念，而最值是一个整体概念。根据闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值，由以上内容可知函数)(xf最大值和最小值只可能在区间,ba内的端点、或),(ba内的极值点处取得，而只有驻点和不可导点有可能是极值点。小结： 求函数)(xfy在闭区间,ba上最大值和最小值的步骤可归纳为：在闭区间上（1）求

14、出函数)(xf在,ba内的所有驻点及不可导点；（2）求出各驻点不可导点及区间端点处的函数值；注 如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值) 例 11 求函数1)1()(32xxf在1 ,2上的最大值与最小值. 解22)1(6)(xxxf令0)1(6)(22xxxf得驻点为0 , 1x. 计算1)1 (,28)2(,0)0(,1)1(ffff比较得，最大值为28，最小值为0. 例 12 一个有上下底的圆柱形铁桶，容积是常数v，问底半径r多大时，铁桶的表面积最小？解 表面积rhrs222，224rvrdrds，令0drds，得到函数在),0(内的唯一驻点32vr，故其为最小值点

15、.此时rh2. 例 13 某矿务局拟从地平面上一点a挖掘一管道至地平面下一点c， 设ab长 600 米，bc长 240 米，如图 p73-3-8,.沿水平ab方向是黏土， 掘进费为每米5 元，地平面下是岩石，掘进费是每米13 元，怎么样挖掘费用最省？最省要多少元？（3）比较这些函数值的大小，其中最大者即为函数)(xf在,ba内的最大值；最小者即为函数)(xf在,ba内的最小值。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载解设先在地平面上由a点掘到d点，再由d点掘到c点，并令xbd，则所需费用为2224013)600(5)(xxxf所以22240135)(xxxf，令100, 0240135)(22xxxxf得.于是.260,5