实验五-用Newton法计算方程的根(共6页)

1、佛山科学技术学院实 验 报 告课程名称 数值分析 实验项目 用Newton法和steffensen加速法计算方程的根 专业班级 姓名 学号 指导教师 成 绩 日 期 一. 实验目的1、 在计算机上用迭代法求非线性方程的根。二. 实验要求1、按照题目要求完成实验内容；2、写出相应的Matlab 程序；3、给出实验结果(可以用表格展示实验结果)；4、分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。5、写出实验报告。三. 实验步骤1、 用Matlab编写Newton法和Steffensen加速法程序2、用Newton法求解书本P229例题4，Steffensen加速法计算P255例题1。3、用调试好的程序解

2、决如下问题求的根，其中控制精度，最大迭代次数。编制计算函数值的程序：四. 实验结果1、用Matlab编写Newton法和Steffensen加速法程序；利用Newton法求方程的根：function x_star, index, it=Newton(fun, x, ep, it_max)% 求解非线性方程的Newton法，其中% fun(x) - 需要求根的函数，% 第一个分量是函数值，第二个分量是导数值% x - 初始点。% ep - 精度，当|(x(k)-x(k-1)|<ep时，终止计算。省缺为1e-5% it_max - 最大迭代次数，省缺为100% x_star - 当迭代成功时

3、，输出方程的根，% 当迭代失败时，输出最后的迭代值。% index - 当index=1时，表明迭代成功，% 当index=0时，表明迭代失败（迭代次数 >= it_max）。% it - 迭代次数。if nargin <4 it_max=100; endif nargin <3 ep=1e-5; endindex=0; k=1;while k<=it_max x1=x; f=feval(fun, x); if abs(f(2)<ep break; end x=x-f(1)/f(2); if abs(x-x1)<ep index=1; break; end

4、k=k+1;endx_star=x; it=k;利用steffensen加速迭代方法：function x_star, index, it=steffensen(phi, x, ep, it_max)% Steffensen 加速方法% phi(x) - 迭代函数% x - 初始点。% ep - 精度，当|(x(k)-x(k-1)|<ep时，终止计算。省缺为1e-5% it_max - 最大迭代次数，省缺为100% x_star - 当迭代成功时，输出方程的根，% 当迭代失败时，输出最后的迭代值。% index - 当index=1时，表明迭代成功，% 当index=0时，表明迭代失败（

5、迭代次数 >= it_max）。% it - 迭代次数。if nargin <4 it_max=100; endif nargin <3 ep=1e-5; endindex=0; k=1;while k<=it_max x1=x; y=feval(phi,x); z=feval(phi,y); x=x-(y-x)2/(z-2*y+x); if abs(x-x1)<ep index=1; break; end k=k+1;endx_star=x; it=k;2、用Newton法求解书本P229例题4，Steffensen加速法计算P255例题1。用Newton法计算

6、书本P229例题4。（求方程f(x)=x3-x-1=0在区间1,2内的根）fun=inline('x3-x-1,3*x2-1');x_star,index,it=Newton(fun,1.5)书本P255例题1:求x=x3-1在x0=1.5附近解。phi=inline('x3-1');x_star,index,it=steffensen(phi,1.5)3、用调试好的程序解决如下问题求的根，其中控制精度，最大迭代次数。编制计算函数值的程序：由上面利用Newton法求方程的根的程序知：% ep - 精度，当|(x(k)-x(k-1)|<ep时，终止计算。省缺

7、为1e-5% it_max - 最大迭代次数，省缺为100if nargin <4 it_max=100; endif nargin <3 ep=1e-5; end我们只需改动：it_max=40; ep=1e-10， 其余不变 。利用以上程序，我们只需输入：fun=inline('exp(5*x)-sin(x)+(x)3-20,5*exp(5*x)-cos(x)+3*(x)2');x_star,index,it=Newton(fun,0.5)，可得：x_star = 0.602596203566521index = 1it = 6 同理，在steffensen加速

8、迭代方法的程序中，我们只需改动：it_max=40; ep=1e-10， 其余不变 。利用以上程序，我们只需输入： phi=inline('exp(5*x)-sin(x)+(x)3-20');x_star,index,it=steffensen(phi,0.5)可得：x_star = 0.637246094753909index = 0it = 41五. 讨论分析当初始值选取离零点较远时将导致算法无法使用，例如第三题，将初始值改为2就无法计算出结果了，显示如下例如求的根，其中控制精度，最大迭代次数,在steffensen加速迭代方法的程序中，我们只需改动：it_max=40;

9、ep=1e-10， 其余不变 。利用以上程序，我们只需输入： phi=inline('exp(5*x)-sin(x)+(x)3-20');x_star,index,it=steffensen(phi,0.5)可得：x_star = 0.637246094753909index = 0it = 41观察上述结果，index = 0，it = 41表明迭代失败，所以使用以上方法估计的时候，应该尽量估计出解的范围，偏离不应过大，距离增加迭代次数增加，也有可能迭代失败六. 改进实验建议根据上述分析，我认为，应该先对函数作一个简图，方便知道解的大概位置，然后我们才将这个大概值代入Newt

10、on法或者Steffensen中进行求解。当然，我们可以用其他数学软件实现Newton迭代法，我们可以用z-z超级画板，其操作流程为：牛顿迭代法的公式是：xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)。下面我们就用牛顿迭代法设计程序求方程f(x)=ln(x)+2*x-6的近似解。（一）观察方程f(x)=0的零点位置 （1）显示坐标系的坐标刻度。 （2）作出函数y=ln(x)+2*x-6的图像，如下图所示： 可以观察到方程的根在区间2，3上，我们可以设定近似解的初始值为2。（二）设计求方程近似解的程序 （1）在程序工作区中输入：f(x)ln(x)+2*x-6;执行后，返回结果为：>>

11、; f(x) #这表示在计算机已经完成了函数f(x)的定义。（2）定义f(x)的导函数g(x)，在程序工作区中输入：Diff(f(x),x);执行后，返回结果为：>> 2+1/x #得到了f(x)的导函数。继续输入：g(x)2+1/x;这表示在计算机已经完成了函数g(x)的定义。 （3）在下面输入：NewtonMethod(x0,h) x=x0-f(x0)/g(x0); if(abs(x-x0)<=h)return x; elseNewtonMethod(x,h); 执行后，返回结果为：>> NewtonMethod(x0,h) #这表示在计算机已经完成了函数Ne

12、wtonMethod(x0,h)的定义。（三）设定初值为2、要求误差不大于0.001的近似解 （1）在下面输入： Float(1); 执行后，返回结果为：>> 计算结果显示浮点数 # （2）在下方继续输入： NewtonMethod(2,0.001); 执行命令最后的返回结果是： >>(-2*ln(2)*ln(-2*ln(2)+14)/(5)*ln(2*ln(2)*ln(-2*ln(2)+14)/(5)-14*ln(2)-14*ln(-2*ln(2)+14)/(5)+98)/(-4*ln(2)+33)+14*ln(2)*ln(-2*ln(2)+14)/(5)+14*ln

13、(2)*ln(2*ln(2)*ln(-2*ln(2)+14)/(5)-14*ln(2)-14*ln(-2*ln(2)+14)/(5)+98)/(-4*ln(2)+33)-98*ln(2)+14*ln(-2*ln(2)+14)/(5)*ln(2*ln(2)*ln(-2*ln(2)+14)/(5)-14*ln(2)-14*ln(-2*ln(2)+14)/(5)+98)/(-4*ln(2)+33)-98*ln(-2*ln(2)+14)/(5)-98*ln(2*ln(2)*ln(-2*ln(2)+14)/(5)-14*ln(2)-14*ln(-2*ln(2)+14)/(5)+98)/(-4*ln(2)+33)+686)/(4*ln(2)*ln(-2*ln(2)+14)/(5)-32*ln(2)-28*ln(-2*ln(2)+14)/(5)+229)=2.53492 # 其中前半部分是没有处理的精确值