2022年函数极值点教学设计

1、函数极值点 教学设计教学目标：（1）知识技能目标：了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法；了解可导函数极值点0 x与)(0 xf=0 的逻辑关系；培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力. 过程与方法目标：培养学生观察分析探究归纳得出数学概念和规律的学习能力。（2）情感与态度目标：培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；体会数学中的局部与整体的辨证关系. 教学重点、难点：重点：掌握求可导函数的极值的一般方法. 难点：0 x为函数极值点与)(0 xf=0 的逻辑关系 .教学过

2、程：一、复习提问：如何利用导数的符号判断函数的增减性？在某个区间（a,b）内，如果0)(xf，那么函数y=f(x) 在这个区间内单调递增；如果0)(xf，那么函数 y=f(x) 在这个区间内单调递减。二、问题情境利用学生们熟悉的海边体育运动冲浪，直观形象地引入函数极值的定义. 观察下图中p点附近图像从左到右的变化趋势、p点的函数值以及点p 位置的特点函数图像在p 点附近从左侧到右侧由“ 上升 ” 变为 “ 下降 ” （函数由单调递增变为单调递减），在 p点附近， p 点的位置最高，函数值最大三、学生活动学生感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义.四、数学建构极值点的定义 : 观察右图可以

3、看出，函数在x=0 的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在x=2 的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。一般地， 设函数)(xfy在0 xx及其附近有定义， 如果)(0 xf的值比0 x附近所有各点的函数值都x 0 2 y oax1xx3bxyp(x1,f(x1)y=f(x)q(x2,f(x2) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - -o a x0b x y )(0 xf0)(xf0)(xfo a x0 b x y

4、)(0 xf0)(xf0)(xfo a x1 x2 x3x4 b x y )(1xf)(4xf大，我们说)(0 xf是函数)(xfy的一个 极大值 ；如果)(0 xf的值比0 x附近所有各点的函数值都小，我们说)(0 xf是函数)( xfy的一个 极小值 。极大值与极小值统称极值 。取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：(让同学讨论 ) （）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个

5、。（）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x是极大值点，4x是极小值点，而14xfxf。（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。极值点与导数的关系 : 复习可导函数在定义域上的单调性与导函数值的相互关系,引导学生寻找函数极值点与导数之间的关系 . 由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有0)(xf。但反过来不一定。若寻找函数极值点,可否只由)(xf=0 求得即可 ? 探索 : x=0 是否是函数)(xf= x3的极值点

6、?（展示此函数的图形）在0 x处，曲线的切线是水平的,即)(xf=0，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小,故不是极值点。 如果0 x使0)(0 xf，那么0 x在什么情况下是的极值点呢？观察下左图所示，若0 x是)(xf的极大值点，则0 x两侧附近点的函数值必须小于)(0 xf。因此，0 x的左侧附近)( xf只能是增函数，即0)(xf，0 x的右侧附近)(xf只能是减函数，即0)(xf，同理，如下右图所示，若0 x是极小值点，则在0 x的左侧附近)(xf只能是减函数，即0)(xf，在0 x的右侧附近)(xf只能是增函数，即0)(xf。精品学习资料 可选择p

7、d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - -o x y 从而我们得出结论 (给出寻找和判断可导函数的极值点的方法,同时巩固导数与函数单调性之间的关系）：若0 x满足0)(0 xf，且在0 x的两侧)(xf的导数异号，则0 x是)(xf的极值点，)(0 xf是极值，并且如果)(xf在0 x两侧满足“左正右负” ，则0 x是)(xf的极大值点，)(0 xf是极大值；如果)(xf在0 x两侧满足“左负右正” ，则0 x是)(xf的极小值点，)(0 xf是极小值。结论：0 x左右侧导数异号0 x是函数 f(x)的极值点)(0

8、 xf=0反过来是否成立?各是什么条件 ? 点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分条件是在这点的导数为0.学生活动可导函数y=f(x)的导数 y/与函数值和极值之间的关系为(d) a、导数 y/由负变正 ,则函数 y 由减变为增 ,且有极大值b、导数 y/由负变正 ,则函数 y 由增变为减 ,且有极大值c、导数 y/由正变负 ,则函数 y 由增变为减 ,且有极小值d、导数 y/由正变负 ,则函数 y 由增变为减 ,且有极大值五、数学应用例题 1:求函数44313xxy的极值。解： 求导数得42/xy令2204212/xxxy，解得，, 0/yy 在的根的左右的

9、符号如下表所示：x )2,(-2,2) ),2(y + + 因此，当2x时，函数有极大值，把2x代入函数式，得这个极大值为319；当2x时，函数有极小值311。课堂训练 :求下列函数的极值:xxy1116128223xxxy让学生讨论总结求可导函数的极值的基本步骤与方法：一般地，如果函数)(xfy在某个区间有导数，可以用下面方法求它的极值：确定函数的定义域；求导数)(xf；求方程)(xf=0的根，这些根也称为可能极值点；检查)(xf在方程)(xf0 的根的左右两侧的符号， 确定极值点。( 最好通过列表法 ) 强调 :要想知道0 x是极大值点还是极小值点就必须判断00 xf左右侧导数的符号精品学

10、习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - -例题 2（案例分析）函数223abxaxxxf在1x时有极值 10，则 a，b的值为（ c）( 选自高中数学中学教材全解薛金星主编）a、3, 3 ba或11, 4 bab、1,4 ba或11,4 bac、11,4 bad、以上都不对略解 :由题设条件得：01101ff0231012baaba解之得33ba或114ba通过验证，都合要求，故应选择a 上述解法 错误 ，正确答案选c，注意代入检验注意：00 xf是函数取得极值的必要不充分条件练习:庖丁解牛篇 (

11、感受高考）1、 （20xx 年天津卷）函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（a）a 1个b2 个c3 个d 4 个注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别2、（ 20xx 年北京卷）已知函数32( )f xaxbxcx在点0 x处取得极大值5， 其导函数( )yfx的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示 . 求：（）0 x的值；（）, ,a b c的值 . 答案（）0 x=1; （）2,9,12abc六：回顾与小结：1、极值的判定方法；2、极值的求法注意点：1、0)(0 xf是函数取得极值的必要不充分条件2、数形结合以及函数与方程思想的