中考数学压轴题专题

1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流专题 1：抛物线中的等腰三角形基本题型：已知ab，抛物线02acbxaxy，点p在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若abp为等腰三角形，求点p坐标。分两大类进行讨论：（1）ab为底时（即papb）：点p在ab的垂直平分线上。利用中点公式求出ab的中点m；利用两点的斜率公式求出abk，因为两直线垂直斜率乘积为1，进而求出ab的垂直平分线的斜率k；利用中点m与斜率k求出ab的垂直平分线的解析式；将ab的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点p坐标。（2）ab为腰时，分两类讨论：以a为顶角时（即a

2、pab） ： 点p在以 a为圆心以ab为半径的圆上。以b为顶角时（即bpba） ： 点p在以 b 为圆心以ab为半径的圆上。利用圆的一般方程列出a(或b)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点p坐标。专题 2：抛物线中的直角三角形基本题型： 已知ab，抛物线02acbxaxy，点p在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若abp为直角三角形，求点p坐标。分两大类进行讨论：（1）ab为斜边时（即papb）：点p在以ab为直径的圆周上。利用中点公式求出ab的中点m；资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流利用圆的一般方程列出m 的方程，与抛物线（或坐

3、标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点p坐标。（2）ab为直角边时，分两类讨论：以a为直角时（即apab）：以b为直角时（即bpba）：利用两点的斜率公式求出abk， 因为两直线垂直斜率乘积为1， 进而求出pa（或 pb）的斜率k；进而求出pa（或 pb）的解析式；将pa（或 pb）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点p坐标。所需知识点：一、两点之间距离公式：已知两点2211y,xq,y,xp，则由勾股定理可得：221221yyxxpq。二、圆的方程：点y,xp在m 上， m 中的圆心 m 为b,a，半径为 r。则rbyaxpm22，得到方程：222rb

4、yax。p 在的图象上，即为m 的方程。三、中点公式：四、已知两点2211y ,xq,y,xp，则线段 pq 的中点 m 为222121yy,xx。五、任意两点的斜率公式：资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流已知两点2211y ,xq,y,xp，则直线 pq 的斜率：2121xxyykpq。中考压轴题专题3：抛物线中的四边形基本题型：一、已知ab，抛物线02acbxaxy，点p在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上） ， 若四边形abpq为平行四边形，求点p坐标。分两大类进行讨论：（1）ab为边时（2）ab为对角线时二、已知ab，抛物线02acbxaxy，点p在抛物线上（或

5、坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形abpq为距形，求点p坐标。在四边形abpq为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边互相垂直（2）对角线相等三、已知ab，抛物线02acbxaxy，点p在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形abpq为菱形，求点p坐标。在四边形abpq为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边相等（2）对角线互相垂直四、已知ab，抛物线02acbxaxy，点p在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形abpq为正方形，求点p坐标。在四边形abpq为矩形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边相等（2）对角

6、线互相垂直在四边形abpq为菱形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（1）邻边互相垂直（2）对角线相等五、已知ab，抛物线02acbxaxy，点p在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形abpq为梯形，求点p坐标。分三大类进行讨论：（1）ab为底时（2）ab为腰时（3）ab为对角线时典型例题：典型例题：例 1（08 深圳中考题）、如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2acbxaxy的图象的顶点为 d 点，与 y 轴交于 c点，与 x 轴交于 a、b 两点， a 点在原点的左侧， b 点的坐标为（ 3，0），oboc ，ta

7、naco31（1）求这个二次函数的表达式（2）经过 c、d 两点的直线，与 x 轴交于点 e，在该抛物线上是否存在这样的点 f，使以点 a、c、e、f 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 f 的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于m、n 两点，且以 mn 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆半径的长度（4）如图 10，若点 g （2，y）是该抛物线上一点，点p是直线 ag下方的抛物线上一动点，当点p 运动到什么位置时， apg的面积最大？求出此时 p 点的坐标和 apg的最大面积 . 图 9yxoedcbagabcdoxy图 10资料收集于网络，如有侵权请

8、联系网站删除只供学习与交流例 2（2009 年烟台市）如图，抛物线23yaxbx与x轴交于 ab，两点，与 y轴交于 c点，且经过点(23 )a，对称轴是直线1x，顶点是 m （1） 求抛物线对应的函数表达式；（2） 经过 c,m 两点作直线与x轴交于点 n ，在抛物线上是否存在这样的点p，使以点 pacn， ， ，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 p的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 设直线3yx与 y 轴的交点是 d ，在线段 bd 上任取一点 e（不与bd，重合） ， 经过 abe， ，三点的圆交直线 bc于点 f ， 试判断aef的形状，并说明理由；资料收集于网络，如有侵

9、权请联系网站删除只供学习与交流（4） 当 e是直线3yx上任意一点时，（ 3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）例 3. （2009 ?临 沂） 如图 ，抛 物线 经过 a（ 4， 0），b（ 1， 0）， c（ 0，-2 ） 三点 （1） 求出 抛物 线的 解析 式；（2） p 是 抛物 线上 一动 点， 过 p 作 pm x 轴 ，垂 足 为 m ， 是否 存在 p 点， 使得 以 a， p，m为顶 点的 三角 形与 oac相似 ？若 存在，o b x y a m c 1 3（第 26 题图）资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流请求 出符 合条 件的 点 p 的坐 标；

10、若不 存在， 请说 明理 由；（3） 在直 线 ac上方 的抛 物线 上有 一点 d， 使得 dca的面积 最大，求出 点 d 的坐 标思路点拨1已知抛物线与 x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把 dca可以分割为共底的两个三角形，高的和等于oa满分解答 （1）因为抛物线与 x 轴交于 a(4，0)、b（1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(xxay，代入点 c的 坐标（ 0，2），解得21a所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212xxxxy（2）设

11、点 p 的坐标为)4)(1(21,(xxx如图 2，当点 p在 x 轴上方时， 1x4，)4)(1(21xxpm，xam4如果2coaopmam，那么24)4)(1(21xxx解得5x不合题意如果21coaopmam，那么214)4)(1(21xxx解得2x此时点 p 的坐标为（ 2，1）如图 3， 当点 p在点 a 的右侧时，x4，)4)(1(21xxpm，4xam资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流解方程24)4)(1(21xxx，得5x此时点 p的坐标为)2,5(解方程214)4)(1(21xxx，得2x不合题意如图 4， 当点 p在点 b 的左侧时，x1，)4)(1(2

12、1xxpm，xam4解方程24)4)(1(21xxx，得3x此时点 p 的坐标为)14,3(解方程214)4)(1(21xxx，得0 x此时点 p 与点 o重合，不合题意综上所述，符合条件的点 p 的坐标为（ 2，1）或)14,3(或)2,5(图 2 图 3 图 4 （3） 如图 5， 过点 d作 x轴的垂线交 ac于 e 直线 ac的解析式为221xy设点 d 的横坐标为 m)41 (m，那么点 d 的坐标为)22521,(2mmm，点 e 的坐标为)221,(mm所以)221()22521(2mmmdemm2212资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流因此4)221(212m

13、msdacmm424)2(2m当2m时， dca的面积最大，此时点d 的坐标为（ 2，1）图 5 图 6 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例 4.如图 1， 已知抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于 a、 b 两点 （点 a 在点 b 左侧） ，与 y 轴交于点 c(0，3)，对称轴是直线 x1，直线 bc与抛物线的对称轴交于点 d（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线 bc的函数表达式；（3）点 e 为 y 轴上一动点， ce的垂直平分线交 ce于点 f，交抛物线于 p、q两点，且点 p 在第三象限当线段34pqab时，求 tanced的值；当以 c、d、e 为顶点的三

14、角形是直角三角形时，请直接写出点p的坐标温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答思路点拨 1第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题2第（ 3）题的关键是求点e 的坐标，反复用到数形结合，注意y 轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系3根据 c、d 的坐标，可以知道直角三角形cde是等腰直角三角形，这样写点 e 的坐标就简单了满分解答 （1）设抛物线的函数表达式为2(1)yxn，代入点 c(0，3)，得4n所以抛物线的函数表达式为22(1)423yxxx资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（2）由223(1)(3)yxxx

15、x，知 a(1，0)，b(3，0)设直线 bc的函数表达式为ykxb，代入点 b(3，0)和点 c (0，3)，得30,3.kbb解得1k，3b所以直线 bc的函数表达式为3yx（3）因为 ab4，所以334pqab因为 p、q关于直线 x1 对称，所以点 p 的横坐标为12于是得到点 p 的坐标为17,24，点 f的坐标为70,4所以75344fcocof，522ecfc进而得到51322oeocec，点 e 的坐标为10,2直线 bc:3yx与抛物线的对称轴x1 的交点 d 的坐标为（ 1，2）过点 d 作 dhy 轴，垂足为 h在 rtedh 中，dh1，13222ehohoe，所以 t

16、anced23dheh1(12, 2)p，265(1,)22p图2 图 3 图 4考点伸展 第（3）题求点 p 的坐标的步骤是：如图3，图 4，先分两种情况求出等腰直角三角形cde的顶点 e 的坐标，再求出 ce的中点 f的坐标，把点 f 的纵坐标代入抛物线的解析式， 解得的 x 的较小的一个值就是点p 的横坐标资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例 5.（2010?河南）在平面直 角坐 标系 中，已知 抛物 线经 过 a （-4 ，0），b（ 0， -4 ）， c（ 2， 0）三 点（ 1）求抛 物线 的解 析式 ；（ 2）若点 m为 第三 象限 内抛 物线 上一 动 点，

17、点 m的横 坐标 为 m ， amb的面 积为 s、 求 s 关 于 m的函 数关 系式 ，并求 出 s 的最 大值 （ 3）若点 p 是 抛物 线上 的动点 点 q是直 线 y=-x上的 动点 ，判断 有 几个位置 能够 使得 点 p、 q、b、 o为 顶点 的四 边形 为平 行四 边形 ，直接 写出相应 的点 q的坐标 解： （1） 设抛 物线 的解 析式 为 y=a（ x+4）（ x-2 ），如 图 2， 当 bo为 对角 线时 ，知 a 与 p 应该 重合 ，op=4 四边形 pbqo为平 行四 边形 则 bq=op=4 ， q横坐标 为 4，代 入 y=-x 得 出 q为 （4，-4

18、 ）故满 足题 意的 q点的 坐标 有四 个， 分别 是（ -4 ，4） ，（ 4， -4 ），例 6. （2013?眉山）如图，在平面直角坐标系中，点a、b在 x 轴上，点 c、d在y 轴上，且 ob=oc=3，oa=od=1，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过 a、b、c三点，直线 ad与抛物线交于另一点m （1）求这条抛物线的解析式；（2）p为抛物线上一动点， e为直线 ad上一动点，是否存在点p，使以点 a、p、e为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点p的坐标；若不存在，请说明理由资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流 抛物 线的 解析 式 为： y=

19、x2+2x-3 （ 2）存在 ape 为等 腰直 角三 角形 ，有 三种 可能 的 情形 ：以点 a 为直 角顶 点 如解 答图 ，过 点 a 作 直线 ad的垂线 ，与 抛物 线交 于点 p， 与 y 轴交于点 foa=od=1，则aod为等 腰直 角三 角形 ，pa ad ，则oaf 为等 腰直 角三 角形 ， of=1 ， f（ 0，-1 ）设直 线 pa的解 析式 为 y=kx+b ，将点a（1，0）， f（0，-1 ）的坐 标代入 得：解得 k=1，b=-1 ，y=x -1 将 y=x-1代入 抛物 线解 析式 y=x2+2x-3得， x2+2x-3=x-1，整理 得： x2+x-2

20、=0 ，解得 x=-2 或 x=1，当 x=-2时， y=x-1=-3，p（ -2 ，-3 ）；以 点 p 为直 角顶 点 此时 pae=45 ，因此点 p 只 能在 x 轴上 或过 点 a 与 y 轴平 行 的直线上 过点 a 与 y 轴平行 的 直线 ，只 有点 a 一个 交点 ，故 此种 情形 不存在；因此 点 p 只能 在 x 轴 上，而抛 物线 与 x 轴 交点 只有 点 a、点 b，故 点p 与点 b 重 合p（ -3 ，0）；以 点 e 为直 角顶 点 此 时 eap=45 ，由 可知 ，此 时点 p 只能资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流与点 b 重 合， 点

21、 e 位 于直 线 ad与对 称轴 的交 点上 ，即 p（ -3 ， 0） ；综上 所述，存在点 p，使以 点 a、p、e 为 顶点 的三 角形 为等 腰 直角 三角形 点 p 的坐标 为 （-2 ，-3 ）或 （-3 ， 0）例 7. （ 2010?宜宾 ）将 直 角 边长 为 6 的等腰 rt aoc 放在如 图 所示 的平面直 角坐 标系 中， 点 o为坐 标原 点，点 c、 a 分 别 在 x、 y 轴的 正半轴 上， 一条 抛物 线 经过 点 a、c及 点 b（ - 3， 0）（ 1） 求该 抛物 线的 解析 式 ；（ 2） 若点 p 是 线段 bc上一动 点 ，过点 p 作 ab的

22、 平行 线交 ac于点 e，连接 ap，当 ape的面积 最大 时， 求 点 p 的坐标 ；（ 3） 在第 一 象 限内 的 该抛物 线上 是否 存 在点 g，使 agc的面 积与（ 2）中 ape的最大 面积 相等 ？若 存在 ，请 求出 点 g的坐 标；若 不 存在 ，请 说明 理 由 解：（1）如图 ， 抛 物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象经 过点 a （ 0，6），c=6 （ 1 分 ）抛 物线 的图 象又 经过点 （ -3 ， 0） 和（ 6， 0），资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例 8（2012?从

23、化市 一模 ）如 图（ 1）， 在平 面直 角坐 标系 中，抛 物线y=ax2+bx-3a 经过 a（-1 ，0）、 b（ 0，3）两 点， 与 x 轴交 于 另一点 c，顶点 为 d（ 1） 求该 抛物 线的 解析 式及 点 c、 d的 坐标 ；（ 2） 经过 点 b、 d两 点的 直线 与 x 轴交 于 点 e， 若点 f 是 抛物 线上一点 ，以 a、 b、 e、f 为顶 点的 四边 形是 平行 四边 形， 求点 f 的 坐标 ；（ 3） 如图 （ 2） p（ 2， 3）是抛 物线 上的 点， q是直 线 ap 上方的 抛资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流物线 上一 动

24、点 ，求 apq的最大 面积 和此 时 q点的 坐标 （ 1）y=-x2+2x+3=- （x-1 ）2+4 d （ 1， 4）资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例 9.（四川省遂宁市）如图，二次函数的图象经过点d(0，397) ，且顶点 c的横坐标为 4，该图象在 x 轴上截得的线段 ab 的长为 6（1）求该二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点p，使 papd最小，求出点 p的坐标；（3）在抛物线上是否存在点q，使 qab与abc相似？如果存在，求出点q的坐标；如果不存在，请说明理由（1）设二次函数的解析式为：y=a（x-h ）2+k（2）点 a、b 关于直线

25、 x=4 对称pa=pbc d o b a y x 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流pa+pd=pb+pddb当点 p在线段 db上时 pa+pd 取得最小值db与对称轴的交点即为所求点p 设直线 x=4 与 x 轴交于点 m pm od ，bpm= bdo ，又 pbm= dbobpm bdo资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例 10（四川省内江市）如图所示，已知点a( 1，0)，b( 0，3)，c(0，t)，且 t0，tanbac3，抛物线经过 a、b、c三点，点 p( 2，m) 是抛物线与直线 l：yk(x1) 的一个交点（1）求抛物线的解析式；（2

26、）对于动点 q( 1，n)，求 pqqb的最小值；（3）若动点 m 在直线 l 上方的抛物线上运动，求amp 的边 ap 上的高 h 的最大值资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（3） 过点 p作 pn x轴于点 n ， 过点 m作 mk x轴于点 k，设点 m的坐标为（ x，-x2+2x+3），资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例 11.（广东省深圳市）已知： rtabc的斜边长为 5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边ab 与 x 轴重合（其中 oaob），直角顶点 c落在 y 轴正半轴上（如图1）（1）求线段 oa、ob的长

27、和经过点 a、b、c的抛物线的关系式（2）如图 2，点 d 的坐标为（ 2，0），点 p（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中 m0，n0），连接 dp 交 bc于点 e当bde是等腰三角形时，直接写出此时点 e 的坐标又连接 cd、cp（如图 3），cdp是否有最大面积？若有，求出cdp的最大面积和此时点p 的坐标；若没有，请说明理由（1）a b x y o p d o 图 3 c 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（注 ：只 回答 有最 大 面积 ，而 没有 说明 理 由的 ，不 给分 ；点 p 的坐 标，或最 大面 积计 算错 误 的，扣（ 1 分）；其 他解 法只 要

28、合 理，酌 情给 分）例 12.（2008 年四川省宜宾市）已知 :如图,抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴、y 轴分别相交于点 a（-1，0）、b（0，3）两点，其顶点为d. （1） 求该抛物线的解析式；（2） 若该抛物线与 x 轴的另一个交点为e. 求四边形 abde 的面积；（3） aob与bde 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由 . （注：抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标为abacab44,22）资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流满分解答： 1. 解：（ 1）由已知得：310cbc解得 c=3,b=2 抛物线的线的解析式为22

29、3yxx(2) 由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为 x=1,a,e 关于 x=1 对称，所以 e(3,0) 设对称轴与 x 轴的交点为 f 所以四边形 abde 的面积 =abodfebofdsss梯形=111()222ao bobodfofef df=1111 3(34)124222 =9 （3）相似 . 如图，bd=2222112bgdgbe=2222333 2booe de=2222242 5dfef所以2220bdbe, 220de即：222bdbede , 所以bde 是直角三角形所以90aobdbe, 且22aobobdbe, 所以aobdbe .例 13.( 200

30、8 年辽宁省十二市 )如图 16， 在平面直角坐标系中， 直线33yx与x轴交于点 a，与 y 轴交于点 c ，抛物线22 3(0)3yaxxc a经过abc， ，三点（1）求过 abc， ，三点抛物线的解析式并求出顶点f 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点p ，使abp为直角三角形，若存在，直接写出p点坐标；若不存在，请说明理由；yxdeabfog资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（3）试探究在直线ac 上是否存在一点 m ，使得mbf的周长最小，若存在，求出 m 点的坐标；若不存在，请说明理由解：（ 1）直线33yx与x轴交于点 a，与 y 轴交于点 c ( 10)a，(

31、03)c， 1 分点 ac，都在抛物线上，2 3033acc333ac抛物线的解析式为232 3333yxx 3 分顶点4 313f， 4 分（2）存在 5 分1(03)p， 7 分2(23)p， 9 分（3）存在 10 分理由：解法一：延长 bc 到点 b ，使 b cbc，连接 b f 交直线 ac 于点 m ，则点 m 就是所求的点a o x y b f c 图 16 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流 11 分过点 b 作 b hab 于点 h b点在抛物线232 3333yxx上，(3 0)b，在 rtboc中，3tan3obc，30obc，2 3bc，在 rtbb

32、 h中，12 32b hbb，36bhb h，3oh，( 32 3)b， 12 分设直线 b f 的解析式为ykxb2 334 33kbkb解得363 32kb33 362yx 13 分3333 362yxyx解得3710 37xy，31 0377m，在直线 ac 上存在点 m ，使得mbf的周长最小，此时310377m，14 分例 14.(2008 年四川省巴中市 ) 已知：如图 14，抛物线2334yx与x轴交于点 a，点 b，与直线34yxb相交于点 b，点c ，直线34yxb与 y轴交于点 e （1）写出直线 bc的解析式a o x y b f c 图 9 h b m 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（2）求abc的面积（3）若点 m 在线段 ab 上以每秒 1 个单位长度的速度从a向 b 运动（不与 ab，重合），同时，点 n 在射线 bc 上以每秒 2 个单位长度的速度从b 向c 运动设运动时间为 t秒，请写出mnb的面积 s与t 的函数关系式，并求出点 m 运动多少时间时，mnb的面积最大，最大面