椭圆、双曲线的离心率问题教案人教课标版(精汇教案)

1、椭圆、双曲线的离心率问题教案丁益祥特级工作室张留杰教学目标.复习巩固椭圆、双曲线的第二定义、离心率的定义及求离心率的基本方法；.从数和形两方面分析椭圆、双曲线的离心率与基本量a、b、c之间的关系，提高学生分析问题、解决问题的能力；强化数形结合思想、方程思想在解题中的应用；.通过对各区一模部分试题的分析，培养同学们良好的发散思维品质，增强学习解析几何的兴趣和信心，感受几何图形的美；.通过试题变式的训练，提高学生的解题能力，增强研究高考试题的意识，帮助学生树立“通过现象看问题的本质”这一辨证唯物主义观点.教学重点离心率的求法教学难点快捷地寻找出椭圆、双曲线的基本量之间的相等与不等关系，进而准确地求

2、出离心率或其范围是本节的难点.教学方法讲授与启发相结合教学过程22一 .回忆：（朝阳）已知双曲线 C1: x2 一当=1（a A0,bA0）的左、右焦点分别为 F1、F2, a b抛物线C2的顶点在原点，准线与双曲线 Ci的左准线重合，若双曲线 Ci与抛物线C2的交点P满足PF2 J-F1F2,则双曲线Ci的离心率为加 萼2衣解：由已知可得抛物线的准线为直线由双曲线可知P(c,?a2 4ax = ,万程为 y =x；cc4a222",b = 2a =c- e2 -1 = 2 , e =石,（教师结合离心率在考纲中的要求、本题所涉及的知识与方法，使同学们明确设计此复习专 题的必要性和重

3、要性.）引出课题.二.知识方法复习. e=c,（数量关系方面） ab2ob2o椭圆中=1 -e , 双曲线中一2 =e -1 .aa.与椭圆、双曲线的图形结合在一起，离心率又如何体现呢？（展示几何动画）（）曲线的第二定义体现离心率的几何意义，特征角的三角形函数值；（）离心率的变化与图形形状之间的内在联系：椭圆越圆，离心率越小；椭圆越扁，离心率越大；三.典型试题分析例.（西城）若双曲线 3-1.3.双曲线开口越大（阔），离心率越大；开口越小（窄），离心率越小.22x +ky =1的离心率是2,则实数k的值是（）13b2解析：先将方程化成标准形式，然后确定a2、b2 ,再根据 F = e21求出k

4、的值.ab22设计意图：考查双曲线的标准方程及 b2=e2 -1的应用.a请同学们思考：1变式：右椭圆x2 +ky2 =1的离心率是一，则实数k的值是.2设计意图：通过类似分析求解，让同学们理解和掌握“已知离心率时如何迅速求出方程中所 含有的参数的值或参数之间的关系”，同时还训练了同学们的举一反三能力.22x y例.椭圆-2+=1 （a>b>0）的两个焦点分别为 F、F2,以F1、F2为边作正三角形, a b若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e为（）哟.苏-1 .4（2-百）.解析：设点P为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图, 由平面几何知识可得|PF2 |:|PF1 |

5、:|F1F2 |-1: 3:2 所以由椭圆的定义及 e=c得：ae =空二小曰=工=出-1,故选.2a |PF1| |PF2 |.3 1设计意图：充分利用平面几何中特殊图形的性质，考查椭圆第一定义及离心率 e的基本求法, 突出了离心率的大小只和 c与a的比值有关，而与其大小分别是多少无关， 进一步揭示离心率 是体现椭圆扁圆程度的基本量.变式提醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率2 X 例.(东城)已知双曲线ab2= 1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为 F1, F2,若在双曲线的右支上存在一点 P,使得PF1=3PF2 ,则双曲线的离心率 e的取值范围为.(

6、答案：1<ew2)解析：方法一：由 PF/ =3PF2及双曲线第一定义式|PFi|-|PF2|=2a,得:|PFJ = 3a, |PF2| = a,又 IFENc.因为点P在右支上运动，所以|PF1 |+| PF2闫FF21,c 一得4a 之2c,即一m2,又 e：>1 ,故填 1 <eE2 .a方法反思：若改变两个焦半径 PF1、PF2的倍分关系，同理也可得出相应的离心率的范围.方法二：若思考满足 PFi =3PF2的动点P的几何意义，将会体现出本试题更大的价值!(引导学生思考：到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是什么？同时启动几何画板.)因F1(c,0) , F2(c,

7、0)，根据阿氏圆的定义可得:点P应在以AB为直径的圆上，其中A(1 ,0)为有向线段 F,F2的内分点，B(2c,0)为有向线段F1F2的外分点.所以双曲线上若存在点c足题意，必有a 士，所以e<2 .2故1<e92.方法反思：通过对条件 PFi =3PF2的转化,揭示了本题中动点 P的本质属性，从而转化为圆心在x轴上的圆和双曲线有公共点的问题,体现了模拟试题的综合性,同时也提高了同学们分析问题和解决问题的能力.例.(密云)已知双曲线上一点，且PF1 PF222当=1 (a >0,b >0)的左、右焦点分别为F1、F2, P是准线a b| PF1 | 1 PF2 |=4

8、ab,则双曲线的离心率是()引导同学们思考问题 变式：若将“准线”改为“双曲线”、“渐近线”呢?22思考作业（全国）双曲线 与5=1 （a>l, b>0）的焦距为2c ,直线l过点（a, 0 ）和a b4（0, b ）,且点（1,0 ）到直线l的距离与点（1,0 ）到直线l的距离之和s 2 c.求双曲线的离5心率e的取值范围.解：直线l的方程为_x+y=1,即 bx+ay_ a b0 . a b由点到直线的距离公式，且a >1 ,得到点（，）到直线l的距离d1b(a -1)2, 2.a b同理得到点（一，）到直线l的距离d2=-b .a bs = d1d2_2ab_.a2 b

9、2abq 42ab422 c 2.由s之一 c,得之一 c,即 5ade -a之2c.c5c5于是得 5je2 1 之2e2,即 4e4 -25e2 +25 <0.解不等式，得5 <e2 <5.由于e > 1 a 0,所以e的取值范围是 <e<V5 .42 _4（或者利用原点到直线的距离满足2d _ = c直接得出关系式）5四.小结本节主要结合各区一模试题分析了椭圆、双曲线离心率的求法，能够从数和形两方面理 解离心率的定义和意义，希望同学们能掌握其中的思想和方法，并迁移到和离心率有关的其 它问题中去，预祝同学们高考成功！生活不是等待风暴过去，而是学会在雨中翩翩起舞，不要去考虑自己能够走多快，只要知道自己在不断努力向前就行，路对了，成功就不远了。放弃了，就不该后悔。失去了，就不该回忆。放下该放下，退出那没结局的剧。我们需要一点点的眼泪去洗掉眼中的迷雾，一点点的拥抱去疗愈受伤的心，一点点的休息去继续前行，少壮不努力，老大徒伤悲 ，每个人的人生都是不一样的，处同样的位置，也是有人哭，有人笑，有人沉默。穷人缺什么：表面缺资金，本质缺野心，脑子缺观念，机会缺了解，骨子缺勇气，改变缺行动，事业缺毅力世界上最聪明的人是借用别人撞的头破血流的经验作为自己的经验，世界上最愚蠢的人是非用自己撞得头破血流的经验才叫经验，不要抱着过去不放，