线性代数总复习(两讲)

1、 矩阵矩阵 矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算及理论贯矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终，对矩阵的理解与掌握要扎实深入。穿线性代数的始终，对矩阵的理解与掌握要扎实深入。 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式。正确理解逆矩阵的概了解方阵的幂与方阵乘积的行列式。正确理解逆矩阵的

2、概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。掌握矩阵理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，正的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，正确理解矩阵的秩的概念，熟练掌握用初等变换求矩阵的秩确理解矩阵的秩的概念，熟练掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。了解分块矩阵及其运算。必须会解矩阵和逆矩阵的方法。了解分块矩阵及其运算。必须会解矩阵方程。方程。总复习总复习概概念念特特殊殊矩矩阵阵 mn个数个数aij (i = 1,2,m ; j

3、 =1,2,n) 构成的数表构成的数表单位矩阵单位矩阵: 主对角线元素都是主对角线元素都是1, 其余其余元素都是零的元素都是零的 n 阶方阵阶方阵 E对角矩阵对角矩阵:主对角元素是主对角元素是 其余元素都是零的其余元素都是零的n阶方阵阶方阵 对称矩阵对称矩阵:一、矩阵主要知识网络图一、矩阵主要知识网络图12，n, AT = A反对称矩阵反对称矩阵: AT = A矩矩阵阵运运算算A+B = ( aij + bij)kA= ( kaij )AB = C 其中其中A与与B同型同型的第的第 i 行是行是 A 的第的第 i 列列.|A|= detA, A必须是方阵必须是方阵.伴伴随随矩矩阵阵 n 阶行列

4、式的阶行列式的 |A|所有元素的代数余子所有元素的代数余子式构成的矩阵式构成的矩阵1nijikkj ,mssnmnkcabA, B,C AT: AT112111222212nnnnnnAAAAAAAAA A 逆逆矩矩阵阵概概念念求求法法证证法法如果如果AB=BA=E, 则则A可逆，可逆， B是是A的逆矩阵的逆矩阵.用定义用定义用伴随矩阵用伴随矩阵分块分块对角对角|A| 0 , A可逆可逆 .|A| = 0 , A不可逆不可逆 .AB = E , A与与B互逆互逆.反证法反证法.11AAA 1110000AA,BB 1110000ABBA 二、重要定二、重要定理理1、设、设A、B是是n阶方阵，则

5、阶方阵，则 |AB|=|A|B|。2、若、若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵惟一。的逆矩阵惟一。3、n阶矩阵阶矩阵A可逆可逆 |A| 0 A等价于等价于E . R(A)=n A为满秩阵为满秩阵. . A可以写成有限个初等阵的乘积可以写成有限个初等阵的乘积. . Ax=0 只有零解只有零解. . 所有特征值都不为零所有特征值都不为零. .4、若、若AB = E( 或或BA =E ), 则则B = A-1 。5、若、若A为对称矩阵，则为对称矩阵，则AT A 。6、若、若A为反对称矩阵，则为反对称矩阵，则ATA 。三、重要公式、三、重要公式、 法则法则。1、矩阵的加法与数乘、矩阵的加法与数乘

6、 A + B = B + A ; (A + B ) + C = A + ( B + C ); A + O = O + A = A; A + (A) = O; k(lA) = (kl)A ; (k+l)A = kA+ lA ; k( A + B )= kA + kB ; 1A = A, OA = O 。2、矩阵的乘法、矩阵的乘法(AB)C = A ( BC ) ; (2) A ( B + C ) = AB + AC; ( A + B ) C = AC + BC; (3) (kA)(lB) = (kl)AB; (4) AO =OA = O.3、矩阵的转置、矩阵的转置(AT)T = A; (2) (

7、A+B)T = AT+BT;(3)(kA)T =kAT; (4) (AB)T = BTAT.4、矩阵的逆、矩阵的逆(A-1)-1 = A ; (2) (kA)-1 = k-1A-1 ;(3) (AB)-1 = B-1A-1; (4) (AT)-1 = (A-1)T .5、伴随矩阵、伴随矩阵 AA* = A*A = |A|E ; (2) (kA)* =kn-1A* ;(3) (A*)-1 = (A-1)*= |A|-1A; (4) (AT)* = (A*)T .6、n阶方阵的行列式阶方阵的行列式|AT| = |A|; (2) |kA| = kn|A| ;(3) |AB| = |A|B| ; (4

8、) |A-1| = |A|-1 ;(5) |A*| = |A|n-1 .四、典型例题四、典型例题 1、方阵的幂运算、方阵的幂运算2、求逆矩阵、求逆矩阵3、解矩阵方程、解矩阵方程4、A*题题 方阵的行列式方阵的行列式 行列式是一个重要的数学工具，在代数学中有较多的行列式是一个重要的数学工具，在代数学中有较多的应用。应用。 应当在正确理解应当在正确理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练地计算的基础上，熟练地计算3阶、阶、4阶行列式，也要会计算简单阶行列式，也要会计算简单的的n阶行列式。还要会运用行列式求解阶行列式。还要会运用行列式求解n个方程个方程n个未知

9、数个未知数的的n元一次线性方程组。元一次线性方程组。 计算行列式的基本方法是用按行（列）展开定理，通计算行列式的基本方法是用按行（列）展开定理，通过降阶来实现，但在展开之前往往先运用行列式的性质，过降阶来实现，但在展开之前往往先运用行列式的性质，对行列式作恒等变形，以期有较多零或公因式，这样可简对行列式作恒等变形，以期有较多零或公因式，这样可简化计算。要熟练运用计算行列式的典型的计算方法和计算化计算。要熟练运用计算行列式的典型的计算方法和计算技巧。技巧。一、行列式主要知识点网络图一、行列式主要知识点网络图概概念念排排列列行行列列式式逆序，奇排列，偶排列逆序，奇排列，偶排列 D = DT互换行列

10、式的两行互换行列式的两行(列列)，行列式变号。，行列式变号。某行有公因子可以提到行列式的外面。某行有公因子可以提到行列式的外面。若行列式中某一行若行列式中某一行(列列)的所有元素均为两元素之的所有元素均为两元素之和，则该行列式可拆成两个行列式和，则该行列式可拆成两个行列式.某行某行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)，行列式不变。，行列式不变。行行列列式式知知识识点点性性质质1211121212221212( 1)nnntnpppnnnnaaaaaaDaaaaaa展展开开计计算算行展开行展开列展开列展开10nkikjkDija Aij10nikjkkDija Aij定义法定义法递推法

11、递推法加边法加边法数学归纳法数学归纳法公式法公式法拆项法拆项法乘积法乘积法齐次线性方程组有非零解的充要条件齐次线性方程组有非零解的充要条件克拉默法则克拉默法则应应用用二、主要定理二、主要定理1、行列式的展开定理。、行列式的展开定理。111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa= ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin ( i= 1,2,n )= a1jA1j+ a2jA2j + + anjAnj2、行列式展开定理的推论。、行列式展开定理的推论。 ai1 Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0 ( i j ) a1jA1k+ a2jA2k + + anj

12、Ank = 0 ( j k ) 3、非齐次线性方程组克拉默法则。、非齐次线性方程组克拉默法则。11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xb a xa xa xb其中其中Dj ( j = 1,2,n )是把系数行列式是把系数行列式D 中的第中的第j 列的列的元素用方程组的常数项替换后得到的元素用方程组的常数项替换后得到的n阶行列式。阶行列式。1212,nnDDDxx x = .DDD的系数行列式的系数行列式D 0 ， 原方程组有惟一解原方程组有惟一解11 1122121 122221 1220,0,00,nnnnnnnnna xa x

13、a xa xa xa x a xa xa xD的系数行列式则方程组没有非零解。4、齐次线性方程组的克拉默法则。、齐次线性方程组的克拉默法则。若齐次线性方程组有非零解若齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为则它的系数行列式必为零。零。三、重要公式三、重要公式121 21;nn D= 、对角行列式1(1)221 2( 1).n nnn D= 111211122221221211222000000.nnnnnnnnnn aaaaaaaa D=aaaa = a aa、上、下三角行列式。1111212122122111(1)21211000000( 1).nnnnnnnnnnn nnnnaaaaa

14、aaa D=aaaa = a aa300m n D=ABAA BB、是方 ， 是方 ，；0( 1)0mn D= AA BB。12222121111124111()nnijn ijn-n-n-n xxx xxxxxxxx 、范德蒙得行列式。四、典型例题四、典型例题1、34阶的行列式计算阶的行列式计算2、简单的、简单的n阶行列式阶行列式3、用公式、用公式 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，他在矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，他在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都起到了十解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都起到了十

15、分重要的作用。分重要的作用。 熟练掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和熟练掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和等价矩阵的概念，理解矩阵秩的概念，熟练掌握用初等变等价矩阵的概念，理解矩阵秩的概念，熟练掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。理解齐次线性方程组有非换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。理解齐次线性方程组有非零解充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条零解充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。深刻理解线性方程组通解的概念，掌握用初等变换求件。深刻理解线性方程组通解的概念，掌握用初等变换求解线性方程组的方法。解线性方程组的方法。矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性

16、方程组程组 矩阵的初等变换矩阵的初等变换初初 等等 方方 阵阵矩矩 阵阵 的的 秩秩线线 性性 方方 程程 组组概概 念念1.交换矩阵的交换矩阵的i, j两行（列）两行（列）.性性 质质1.初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩.2.对对A经过有限次初等变换得到经过有限次初等变换得到B，则则A等价于等价于B. 用用 途途求逆，求逆， 11AEEAAEEA列行求矩阵求矩阵A的秩、最简形、标准形的秩、最简形、标准形.求线性方程组的解求线性方程组的解.2.用用k0乘矩阵的第乘矩阵的第i行（列）行（列）.3.把某行（列）的把某行（列）的k倍加到另一倍加到另一行（列）的对应元素上去行（列）的对应元

17、素上去.性性 质质初等方阵都是可逆矩阵，其逆仍然是同初等方阵都是可逆矩阵，其逆仍然是同种的初等矩阵种的初等矩阵.对对Amn矩阵实施一次行矩阵实施一次行(列列)初等变换初等变换, 相相当于对当于对A左左(右右)乘一个相应的乘一个相应的 m (n)阶初等阶初等方阵方阵.任何可逆矩阵都可以表为若干个初等方阵任何可逆矩阵都可以表为若干个初等方阵的乘积的乘积.概概 念念对单位矩阵实施一次初等变换而得到的矩对单位矩阵实施一次初等变换而得到的矩阵称为初等方阵阵称为初等方阵.三种初等变换对应三种初等方阵三种初等变换对应三种初等方阵.概概 念念k阶子式阶子式.秩：矩阵非零子式的最高阶数秩：矩阵非零子式的最高阶数

18、.性性 质质零矩阵的秩为零零矩阵的秩为零.R(A)=R(AT)若若B可逆，则可逆，则R(AB)=R(A).R(A+B) R(A)+R(B)R(AB) minR(A), R(B)R(AB) R(A)+R(B)n若若AB=0, 则则R(A)+R(B) nAxOAx O 有非零解有非零解 R(A)n.求求 解解1.化系数矩阵为最简形化系数矩阵为最简形.2.找等价的方程组找等价的方程组.3.写通解写通解.bAx bAx 有解有解 R(A)=R(B).求求 解解1.把增广矩阵把增广矩阵B化为最简形化为最简形.2. 找等价的方程组找等价的方程组.3.写通解写通解.二、重要定理二、重要定理1、若、若A 与与

19、B等价，则等价，则R(A) = R(B). 2、初等矩阵左（右）乘矩阵、初等矩阵左（右）乘矩阵A，其结果就相当于对，其结果就相当于对A作相应的初等行（列）变换。作相应的初等行（列）变换。 3、初等方阵均可逆，且其逆仍是同种的初等方阵。、初等方阵均可逆，且其逆仍是同种的初等方阵。 4、若、若A 与与B等价，则存在可逆矩阵等价，则存在可逆矩阵P和和Q,使使PAQ = B.5、若、若A可逆，则存在有限个初等方阵可逆，则存在有限个初等方阵P1,P2,Pl,使使 A P1P2Pl 。 6、n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组Amnx = 0 有非零解有非零解的充分必的充分必要条件是系数矩阵的秩要条件是系

20、数矩阵的秩R(A) n 。 7、n 元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组Amnx = b 有解有解的充分必要的充分必要条件是系数矩阵的秩条件是系数矩阵的秩R(A) 等于等于增广矩阵增广矩阵R(A，b) 的秩的秩。三、重要公式三、重要公式1、矩阵的秩、矩阵的秩 R(A) = R(AT) ; R(A+B) R(A) + R(B) R(AB) min R(A) , R(B) 若P、 Q可逆，则R(A) =R(PA) = R(AQ) = R(PAQ). R(A), k 0 , (5) R(kA) = 0 , k = 0; A 0(6) R = R(A) + R(B)。 0 B2、用初等变换求逆、用初等

21、变换求逆1()AEEA行变换（）3、用初等行变换求、用初等行变换求A-1B1AB EA B行变换1AEEA列变换1AECCA列变换4、方程组的通解、方程组的通解（1）齐次线性方程组）齐次线性方程组Ax = O 的通解：的通解： x = k11+ k22 + + kn-rn-r k1,k2,kn-r为任意常数。为任意常数。（2）非齐次线性方程组）非齐次线性方程组Ax = b 的通解：的通解： x = k11+ k22 + + kn-rn-r+* k1,k2,kn-r为任意常数。为任意常数。 其中其中 1 , ,2, , , n-r为为Ax = O的基础解系；的基础解系； *是是Ax = b的一个

22、特解。的一个特解。四、典型例题四、典型例题1、用初等变换求逆和求秩。、用初等变换求逆和求秩。3、用初等变换求、用初等变换求A-1B。2、求解线性方程组、特别是带有参数的方程组。、求解线性方程组、特别是带有参数的方程组。 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 向量组的线性相关性是代数学中一个十分重要的概念，向量组的线性相关性是代数学中一个十分重要的概念，对讨论线性方程组解的存在性和解的结构起到了至关重要对讨论线性方程组解的存在性和解的结构起到了至关重要的作用。的作用。 本章要求理解向量的线性组合和线性表示的概念，深本章要求理解向量的线性组合和线性表示的概念，深刻理解向量组的线性相关、线性无关的定

23、义，会用向量组刻理解向量组的线性相关、线性无关的定义，会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。了解向量组的线性相关、线性无关的有关性质及判别法。了解向量组的极大无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大无关极大无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大无关组和秩。了解向量组等价的概念，以及向量组的秩与矩阵组和秩。了解向量组等价的概念，以及向量组的秩与矩阵秩的关系。了解秩的关系。了解n 维向量空间、子空间、基、维数、坐标维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念。掌握线性方程组解的性质和结构，正确理解非齐等概念。掌握线性方程组解的性质和结构，正确理解非齐次线性方程组和它所对应的齐次线性方程

24、组的解之间的关次线性方程组和它所对应的齐次线性方程组的解之间的关系，深刻理解齐次线性方程组的基础解系、通解、解空间系，深刻理解齐次线性方程组的基础解系、通解、解空间的概念，熟练求解线性方程组的通解。的概念，熟练求解线性方程组的通解。一、向量组的线性相关性主要知识网络图一、向量组的线性相关性主要知识网络图向向量量组组的的线线性性相相关关性性n维维向向量量运算运算线性表示线性表示概念概念判定判定线性无关线性无关概念概念判定判定线性相关线性相关概念概念判定判定充要条件充要条件充分条件充分条件充要条件充要条件充分条件充分条件极大无关组极大无关组概念概念求法求法数数组组向向量量空空间间概念概念数组向量空

25、间的基和维数数组向量空间的基和维数必要条件必要条件线线性性方方程程组组Ax = 0初初 等等行变换行变换阶梯形有解判定有解判定总总 有有 解解R(A)R(B)无解无解 R(A)=R(B)有解有解R(A)=n仅有零解仅有零解R(A)n）, 必线性相关。必线性相关。3、线性相关性与线性表示、线性相关性与线性表示 （1）向量组）向量组1,2,m 线性相关的充分必要条线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵件是它所构成的矩阵 A = (1,2,m)的秩小于向的秩小于向量的个数量的个数m, ,或或A x=0有非零解有非零解; ;向量组线性无关的向量组线性无关的充分必要条件是充分必要条件是R(A) = m

26、或或A x=0只有零解只有零解。 （2）若向量组）若向量组1,2,m 线性无关线性无关,而向量组而向量组 ,1,2,m 线性相关线性相关,则则能由能由1,2,m 线性表示，线性表示，且表示法是惟一的。且表示法是惟一的。 （3）向量）向量 能由向量组能由向量组1,2,m 线性表示的线性表示的充分必要条件是矩阵充分必要条件是矩阵A = (1,2,m )的秩等于矩的秩等于矩阵阵B B=(=(1,2,m , )的秩。的秩。4、向量组的秩、向量组的秩 （1）矩阵的秩等于它的列向量组的秩）矩阵的秩等于它的列向量组的秩(列秩列秩),也等于它的行向量组的秩也等于它的行向量组的秩(行秩行秩)。 （2）若向量组）

27、若向量组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示,则向量则向量组组B的秩不大于向量组的秩不大于向量组A的秩。的秩。 （3）等价的向量组的秩相同。）等价的向量组的秩相同。5、解空间、解空间 （1）n元齐次线性方程组元齐次线性方程组Amn x = 0 的全体解的全体解所构成的集合所构成的集合S是一个向量空间是一个向量空间, ,当系数矩阵的当系数矩阵的秩秩 R( (Amn ) = r 时时 ,解空间解空间S的维数为的维数为nr。三、重要公式三、重要公式1、向量组相关性证明、向量组相关性证明（1）公式）公式 11 + 22 + + mm = 0,（2）方法）方法 定义法；定义法； 反证法；反证法； 用

28、等价说法。用等价说法。2、求向量组的秩及其极大无关组、求向量组的秩及其极大无关组 （1）若求向量组的秩和向量组的极大无关组）若求向量组的秩和向量组的极大无关组,将其向量组写成矩阵的形式，将其向量组写成矩阵的形式，行向量组作初等列行向量组作初等列变换；列向量组作初等行变换变换；列向量组作初等行变换，使之变成阶梯形，使之变成阶梯形矩阵，非零的列（行）的数即是向量组的秩，而矩阵，非零的列（行）的数即是向量组的秩，而非零的列（行）的非零首元所在的行（列）向量非零的列（行）的非零首元所在的行（列）向量组即是该向量组的一个极大无关组。组即是该向量组的一个极大无关组。四、典型例题四、典型例题 2、验证一组向

29、量是某向量空间的基，把空间、验证一组向量是某向量空间的基，把空间中的某个向量用该组基线性表示。中的某个向量用该组基线性表示。 1、求向量组的秩和其极大无关组、求向量组的秩和其极大无关组, 把不是无关把不是无关组的向量用极大无关组线性表示。组的向量用极大无关组线性表示。 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 特征值的问题在代数学中占有十分重要的位置。用它特征值的问题在代数学中占有十分重要的位置。用它可以讨论方阵相似对角化。进而将二次型化成标准形。可以讨论方阵相似对角化。进而将二次型化成标准形。 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特

30、征向量。理解相似矩阵的概念、性质及矩阵的特征值和特征向量。理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件。掌握将矩阵化为相似对阵可相似对角化的充分必要条件。掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性角矩阵的方法。了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了质。掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换和合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规解合同变换和合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理。掌握用正交变换化二次型为标范形的概念以及惯性定理。掌握用正交变换化二次型为标准的方法，会用

31、配方法化二次型为标准形。了解正定二次准的方法，会用配方法化二次型为标准形。了解正定二次型和所对应的正定矩阵的性质及判别法。型和所对应的正定矩阵的性质及判别法。相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型向量的内积向量的内积特征值与特征向量特征值与特征向量二次型二次型一、主要知识网络图一、主要知识网络图向量的内积向量的内积定义：定义：(x,y)=xiyi性质性质范数范数: |x|=正交正交: (x,y)=0( , )x x( , )arccosx yxy 夹角1. (x,y) = (y,x)2. (x,y) = ( x,y) = (x, y)3. (x+y,z) = (x,z)+(y,z)特征值与特征向量特

32、征值与特征向量定义定义：Ax= x, x0求法求法特征值特征值特征向量特征向量相似相似实对称矩阵隐含的信息实对称矩阵隐含的信息性质性质1.定义法；定义法；2.特征方程法特征方程法| E-A|=0.1.定义法；定义法；2. ( E-A)x=0的基础的基础解系法解系法.性性质质不同特征值的特征向量线性无关不同特征值的特征向量线性无关k 重特征值至多有重特征值至多有k个线性无关的个线性无关的特征向量特征向量12, trniiiAAa 相似相似定义：定义： P -1AP=B可对角化可对角化 1. A有有n个线性无关的特征向量；个线性无关的特征向量；2. R(A- kE)= n - k, k是是A的的k

33、重重特征值特征值.1. A有有n个不同的特征值；个不同的特征值；2. A是实对称矩阵是实对称矩阵.应应用用yyfAxxfPPATTnn.2.11必可以对角化，且可用正交变换必可以对角化，且可用正交变换不同的特征值所对应的特征向量正交不同的特征值所对应的特征向量正交特征值全为实数特征值全为实数k重特征值有重特征值有k个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量与对角矩阵合同与对角矩阵合同二次型二次型矩阵表示矩阵表示 f =x TAx标准形标准形正定二次型正定二次型yyfT定义：化标准形化标准形1.2.3.正交变换法；配方法；合同变换法正定矩阵正定矩阵惯性定律惯性定律定义定义充要条件充要条件必要条件必

34、要条件.;)(qprAR负惯性指数正惯性指数惯性指数. 0, 0TAxxxT;nAEAU UU特征值全大于零；正惯性指数为顺序主子式全大于零；合同 ，或，其中可逆。0|A二、重要问题与解决方法二、重要问题与解决方法1、求特征值与特征向量、求特征值与特征向量（1）由特征方程）由特征方程|AE|0, 求出求出A的特征值的特征值 i （共共n 个）个）,再解齐次线性方程组（再解齐次线性方程组（AiE）xO,其基础解系就是其基础解系就是i 所对应的特征向量。所对应的特征向量。（2）用定义法）用定义法Ax = x （适用于抽象的矩阵）。（适用于抽象的矩阵）。2、判断、判断A能否对角化能否对角化 若若A是

35、实对称矩阵，则是实对称矩阵，则A必能对角化，这是必能对角化，这是充分条件。对于一般的充分条件。对于一般的n阶方阵阶方阵A，判断步骤如下：，判断步骤如下：（1）由特征方程）由特征方程|AE|0,求出求出A的特征值的特征值( (共共n 个个),若若A的的n个特征值各不相同个特征值各不相同,则则A必能对角化。必能对角化。 （2）对于）对于A的的k重特征值重特征值k,求秩求秩R(AkE) ,若若其秩等于其秩等于nk, 则则A可对角化可对角化. 若秩若秩R(AkE) nk, 则则A不可对角化。不可对角化。 3、求相似标准形的方法（可对角化的矩阵）、求相似标准形的方法（可对角化的矩阵） （1）求）求A的全

36、部特征值的全部特征值1,2,n ; （2）对每个特征值）对每个特征值i 求（求（AiE）x0的的基础解系，得出特征值基础解系，得出特征值i 所对应特征向量所对应特征向量pi; （3）将求得的）将求得的n个线性无关的特征向量构造个线性无关的特征向量构造可逆矩阵可逆矩阵p,令令 p = (p1, p2, , pn)则则 p-1Ap = 。4、用正交变换化二次型为标准、用正交变换化二次型为标准形形 （1）写出二次型的矩阵）写出二次型的矩阵A； （2）求）求A的特征值、特征向量；的特征值、特征向量； （3）对于）对于A的各不相同的特征值所对应的特征的各不相同的特征值所对应的特征向量已经正交，只需单位化；对于向量已经正交，只需单位化；对于A的的k 重特征值重特征值所对应的特征向量是线性无关的，需用施密特正所对应的特征向量是线性无关的，需用施密特正交化方法将这交化方法将这