2022年线性代数应用实例

1、线性代数应用实例求插值多项式右表给出函数( )f t上 4 个点的值，试求三次插值多项式230123( )p taa ta ta t，并求(1.5)f的近似值。解： 令三次多项式函数230123( )p taa ta ta t过表中已知的4 点，可以得到四元线性方程组：627931842033210321032100aaaaaaaaaaaaa对于四元方程组，笔算就很费事了。应该用计算机求解了，键入：a=1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27, b=3;0;-1;6, s=rref(a,b) 得到 x = 1 0 0 0 3 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2

2、0 0 0 1 1 得到01233,2,2,1aaaa，三次多项函数为23( )322p tttt，故(1.5)f近似等于23(1.5)32(1.5)2(1.5)(1.5)1.125p。在一般情况下，当给出函数( )f t在 n+1 个点(1,2,1)it inl上的值( )if t时，就可以用 n 次多项式2012( )nnp taa ta ta tl对( )f t进行插值。在数字信号处理中的应用- 数字滤波器系统函数数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。它的特点在于所有的相加节点都限定为双输入相加器；另外，数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算，它也是一个线性算子， 它的标注符号为

3、z1。根据这样的结构图，也可以用类似于例7.4 的方法，求它的输入输出之间的传递函数，在数字信号处理中称为系统函数。图 1 表示了某个数字滤波器的结构图，现在要求出它的系统函数，即输出y 与输入u 之比。先在它的三个中间节点上标注信号的名称 x1,x2,x3 ，以便对每个节点列写方程。ti0 1 2 3 f(ti) 3 0 -1 6 图 1 某数字滤波器结构图u 2 x1y 1/4 1/4 z1x3x2z13/8 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f -

4、- - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -由于迟延算子z1不是数，要用符号代替，所以取q z1，按照图示情况，可以写出：1223312311844xqxuxqxuxx写成矩阵形式为112233002311008440100qxxxqxxxxux = qx - pu经过移项后，系统函数w 可以写成：w = x/u = inv(i - q)* p现在可以列写计算系统函数的matlab程序 ea705，syms q % 规定符号变量q(1,2)q; q(2,3)=3/8*q1/4; q(3,1)=1; % 给非零元素赋值q(3,3)

5、=0; % 给右下角元素q（3,3 ）赋值后，矩阵中未赋值元素都自动置零p=2;1/4;0 % 给 p 赋值w=inv(eye(3)q)*p % 用信号流图求传递函数的公式程序运行的结果为w = 16/( 8 3*q22*q)2*q/(8 3*q22*q) 2*(3*q2)/( 8 3*q22*q)2/( 8 3*q22*q) 16/( 8 3*q22*q)2*q/(8 3*q22*q) 我们关心的是以y x3 作为输出的系统函数，故再键入pretty(w(3)整理后得到1222116288(3)8321.541.54yqqzwuqqqqzz用线性代数方法的好处是适用于任何复杂系统，并能用计算

6、机解决问题。信号与系统课程中的应用-线性时不变系统的零输入响应描述 n 阶线性时不变（lti ）连续系统的微分方程为,dddddddddd111121ubtubtubyatyatyatyammmmnnnnnn m已知 y 及其各阶导数的初始值为y(0)，y(1)(0)， y(n-1)(0)，求系统的零输入响应。解：当 lti 系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的齐次解（即令微分方程等号右端为0） ，其形式为（设特征根均为单根）tpntptpnccctyeee)(2121其中 p1，p2， pn是特征方程a1n+a2n-1+ an+ an+1=0 的根，它们可用roots(a)语句求得。各

7、系数c1， cn由 y 及其各阶导数的初始值来确定。对此有c1+ c2+cn = y0y0 = y(0) p1c1+ p2c2+ pncn=d y0(dy0表示 y 的导数的初始值y(1)(0) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - -011212111dycpcpcpnnnnnn写成矩阵形式为0100211121121dd111yyycccpp

8、ppppnnnnnnn即v c = y0 ， 其解为c =v y0 式中112000, ;, d, dnncccyyytt0cyll1121121111nnnnnppppppvv 为范德蒙矩阵，在matlab的特殊矩阵库中有vander 函数可直接生成。matlab 程序 ea703.ma=input(输入分母系数向量a=a1，a2，.= ); n=length(a)-1; y0=input(输入初始条件向量 y0=y0，dy0 ，d2y0 ，.= );p=roots(a);v=rot90(vander(p);c= vy0; dt=input(dt=); tf=input(tf= ) t=0:

9、dt:tf; y=zeros(1，length(t); for k=1:n y= y+c(k)*exp(p(k)*t);end plot(t，y) ，grid 程序运行结果用这个通用程序来解一个三阶系统，运行此程序并输入a=3 ，5 ，7，1; dt=0.2; tf=8; 而 y0 取1 ，0，0;0，1，0;0，0，1 三种情况，用hold on 语句使三次运行生成的图形画在一幅图上，得到图2。减肥配方的实现设三种食物每100 克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中还给出了80 年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。现在的问题是：如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用

10、量应各取多少？才能全面准确地实现这个营养要求。营养每 100g 食物所含营养(g) 减肥所要求的每日营养量脱脂牛奶大豆面粉乳清蛋白质36 51 13 33 碳水化合物52 34 74 45 脂肪0 7 1.1 3 设脱脂牛奶的用量为x1个单位（ 100g） ，大豆面粉的用量为x2个单位（ 100g） ，乳清的用量为 x3个单位（ 100g） ，表中的三个营养成分列向量为：图 2 三阶系统的零输入响应精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - -

11、- - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -12136511352 ,34 ,74,071.1aaa则它们的组合所具有的营养为112233123365113523474071.1x ax ax axxx使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，就可以得到以下的矩阵方程：1233651133352347445071.13xxaxbx用 matlab解这个问题非常方便，列出程序ag763 如下：a=36,51,13;52,34,74;0,7,1.1 b=33;45;3 x=ab 程序执行的结果为： 0.2772 0.3919 0.2332x即脱脂牛奶的

12、用量为27.7g，大豆面粉的用量为39.2g，乳清的用量为23.3g，就能保证所需的综合营养量。人口迁徙模型设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6% 的市区居民搬到郊区去住，而有2% 的郊区居民搬到市区。假如开始时有30% 的居民住在市区， 70% 的居民住在郊区， 问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30 年、 50 年后又如何？这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示，即,ckkskxxx其中 xc为市区人口所占比例，xs为郊区人口所占比例，k 表示年份的次序。在 k=0 的初始状态：0000.30.7csxxx

13、。一年以后，市区人口为xc1= (1-0.02) xc0+0.06xs0，郊区人口xs1= 0.02xc0 + (1-0.06)xs0，用矩阵乘法来描述，可写成：11010.94 0.020.3 0.29600.06 0.980.7 0.7040csxxaxx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -此 关 系 可 以 从 初 始 时 间 到k年

14、,扩 展 为2120kkkkxaxa xa xl, 用 下 列matlab程序进行计算：a=0.94,0.02;0.06,0.98 x0=0.3;0.7 x1=a*x0, x10=a10*x0 x30=a30*x0 x50=a50*x0 程序运行的结果为：1103050 0.2960 0.2717 0.2541 0.2508, 0.7040 0.7283 0.7459 0.7492xxxx无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵 a 的效果。选 u1为稳态向量 0.

15、25,0.75t的任意一个倍数， 令 u1=1,3t和 u2=-1,1t。可以看到，用a 乘以这两个向量的结果不过是改变向量的长度，不影响其相角（方向）：110.94 0.02110.06 0.9833auu220.94 0.0210.920.920.06 0.9810.92auu初始向量 x0 可以写成这两个基向量u1 和 u2 的线性组合；0120.30110.250.050.250.050.7031xuu因此0120.250.05(0.82)kkkxa xuu式中的第二项会随着k 的增大趋向于零。如果只取小数点后两位，则只要k27，这第二项就可以忽略不计而得到01270.250.250.

16、75kkkxa xu适当选择基向量可以使矩阵乘法结果等价于一个简单的实数乘子，避免相角项出现，使得问题简单化。这也是方阵求特征值的基本思想。这个应用问题实际上是所谓马尔可夫过程的一个类型。所得到的向量序列x1,x2,.,xk称为马尔可夫链。马尔可夫过程的特点是k 时刻的系统状态xk完全可由其前一个时刻的状态xk-1所决定，与k-1 时刻之前的系统状态无关。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5

17、页，共 9 页 - - - - - - - - -交通流的分析某城市有两组单行道，构成了一个包含四个节点a,b,c,d 的十字路口如图6.5.2所示。在交通繁忙时段的汽车从外部进出此十字路口的流量（每小时的车流数）标于图上。现要求计算每两个节点之间路段上的交通流量x1,x2,x3,x4。解：在每个节点上，进入和离开的车数应该相等，这就决定了四个流通的方程：节点 a: x1+450 x2+610 节点 b: x2+520 x3+480 节点 c: x3+390 x4+600 节点 d: x4+640 x2+310 将这组方程进行整理，写成矩阵形式：12233414= 160 = - 40 - =

18、 210 = -330 xxxxxxxx其系数增广矩阵为：11 160 11 - 40 , 1121011 -330a bmmmm用消元法求其行阶梯形式，或者直接调用u0=rref(a,b),可以得出其精简行阶梯形式为 1 0 0 -1 330 0 1 0 -1 170 u0= 0 0 1 -1 210 0 0 0 0 0mmmm注意这个系数矩阵所代表的意义，它的左边四列从左至右依次为变量x1,x2,x3,x4的系数，第五列则是在等式右边的常数项。把第四列移到等式右边，可以按行列写恢复为方程，其结果为：x1=x4+330, x2=x4+170, x3=x4+210 00 由于最后一行变为全零，

19、这个精简行阶梯形式只有三行有效，也就是说四个方程中有一个是相依的，实际上只有三个有效方程。方程数比未知数的数目少，即没有给出足够的信息来唯一地确定x1,x2,x3, 和 x4。其原因也不难从物理上想象，题目给出的只是进入和离开这个十字路区的流量，如果有些车沿着这四方的单行道绕圈，那是不会影响总的输入输出流量的，但可以全面增加四条路上的流量。所以x4被称为自由变量，实际上它的取值也不能完全自由，因为规定了这些路段都是单行道，x1,x2,x3, 和 x4。都不能取负值。所以要准确了解这里的交通流情况，还应该在x1,x2,x3,和 x4中，再检测一个变量。图 3 单行线交通流图精品学习资料 可选择p

20、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - -价格平衡模型在 leontiff成为诺贝尔奖金获得者的历史中，线性代数曾起过重要的作用，我们来看看他的基本思路。假定一个国家或区域的经济可以分解为n 个部门，这些部门都有生产产品或服务的独立功能。设单列n 元向量 x 是这些 n 个部门的产出，组成在rn空间的产出向量。先假定该社会是自给自足的经济，这是一个最简单的情况。因此各经

21、济部门生产出的产品，完全被自己部门和其它部门所消费。leontiff提出的第一个问题是，各生产部门的实际产出的价格p 应该是多少，才能使各部门的收入和消耗相等，以维持持续的生产。leontiff的输入输出模型中的一个基本假定是：对于每个部门，存在着一个在rn空间单位消耗列向量vi，它表示第i 个部门每产出一个单位（比如100 万美金）产品，由本部门和其他各个部门消耗的百分比。在自给自足的经济中，这些列向量中所有元素的总和应该为 1。把这 n 个 vi，并列起来，它可以构成一个nn 的系数矩阵，可称为内部需求矩阵v。举一个最简单的例子，假如一个自给自足的经济体由三个部门组成，它们是煤炭业、电力业

22、和钢铁业。它们的单位消耗列向量和销售收入列向量p 如下表：由下列部门购买每单位输出的消耗分配销售价格p （收入）煤炭业电力业钢铁业煤炭业0. 0.4 0.6 pc电力业0.6 0.1 0.2 pe钢铁业0.4 0.5 0.2 ps如果电力业产出了100 个单位的产品， 有 40 个单位会被煤炭业消耗，10 个单位被自己消耗，而被钢铁业消耗的是50 个单位，各行业付出的费用为：20.40.10.5eepvp这就是内部消耗的计算方法，把几个部门都算上，可以写出,cccceessceseessppp vp vp vv v vpppp各部门消耗成本销售收入其中0.0.40.6,0.60.10.20.4

23、0.50.2cesvvv v于是总的价格平衡方程可以写成为：p vp = 0 ( i v ) p =0 此等式右端常数项为零，是一个齐次方程。它有非零解的条件是系数行列式等于零，或者用行阶梯简化来求解。用 matlab语句写出其解的表示式：v=0.,0.4,0.6;0.6,0.1,0.2;0.4,0.5,0.2, u0 = rref(eye(3)-v,zeros(3,1) 程序运行的结果为精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - -

24、 - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 1.0000 0 -0.9394 00 0 1.0000 -0.8485 0 0 0 0 0u这个结果是合理的，简化行阶梯形式只有两行，说明 i-v 的秩是 2，所以它的行列式必定为零。由于现在有三个变量，只有两个方程，必定有一个变量可以作为自由变量。记住u0 矩阵中各列的意义，它们分别是原方程中pc，pe，ps，的系数，所以简化行阶梯矩阵u0表示的是下列方程：cscsesesp - 0.9394 p = 0p = 0.9394 pp - 0.8485 p = 0p = 0.8485 p这里取 ps为自由变量， 所以煤炭业和电力业的价格应该分别为钢铁业价格的0.94 和 0.85倍。如果钢铁业产品价格总计为100 万元， 则煤炭业的产品价格总计为94 万，电力业的价格总计为85 万网络的矩阵分割和连接在电路设