第7章非线性系统的分析

1、第七章第七章 非线性系统的分析非线性系统的分析 系统的非线性程度比较严重，无法用小范围线性化方法系统的非线性程度比较严重，无法用小范围线性化方法化为线性系统，称为非线性系统。有两种情况化为线性系统，称为非线性系统。有两种情况 （1）系统中）系统中存在非线性元件；（存在非线性元件；（2）为了某种控制目的，人为引进的非）为了某种控制目的，人为引进的非线性。线性。一一 、非线性系统的特点、非线性系统的特点1、线性系统的稳定性和零输入响应的性质只取决于系统的线性系统的稳定性和零输入响应的性质只取决于系统的结构、参数，而和系统的初始状态无关。结构、参数，而和系统的初始状态无关。而而：非线性系统的稳定性和

2、零输入响应的性质不仅取决于系：非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系统的结构、参数，而且与系统的初始状态有关。统的结构、参数，而且与系统的初始状态有关。7.1 7.1 基本概念基本概念2、线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收敛线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收敛（稳定）。持续的临界稳定运动形式观测不到。（稳定）。持续的临界稳定运动形式观测不到。 非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外界非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外界作用，也可能会发生作用，也可能会发生自持振荡自持振荡。3、在正弦输入下，线性系统的输出是同频率正弦信号。在正弦输入下

3、，线性系统的输出是同频率正弦信号。 非线性系统在正弦输入下，非线性系统在正弦输入下，输出是周期和输入相同、含有高输出是周期和输入相同、含有高次谐波的非正弦信号。次谐波的非正弦信号。4、线性系统分析可用迭加原理，在典型输入信号下系统分析的线性系统分析可用迭加原理，在典型输入信号下系统分析的结果也适用于其它情况。结果也适用于其它情况。 非线性系统不能应用迭加原理，没有一种通用的方法来处非线性系统不能应用迭加原理，没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。理各种非线性问题。对非线性系统分析研究的重点是对非线性系统分析研究的重点是：（1）系统是否稳定；）系统是否稳定；（2）有无自持振荡；（）有无自持振荡

4、；（3）若存在自持振荡，确定自持振）若存在自持振荡，确定自持振荡的频率和振幅；荡的频率和振幅；（4）研究消除或减弱自持振荡的方法。非线性微分方程描述的特点：非线性微分方程描述的特点：系统变量及其各阶导数绝不会全都是一次的。系统变量及其各阶导数绝不会全都是一次的。为正数)。为正数)。0 0 x xx x2 2x x例例(： 为正数)。为正数)。0 0 x xx x) )x x(1(12 2x x例例2 2(： 非线性系统初始状态对系统响应的影响非线性系统初始状态对系统响应的影响阅读p271页，例7-1-15的平衡点和稳定性。的平衡点和稳定性。x xx x例：讨论线性例：讨论线性 ) )x x0时

5、系统的初始状态为0时系统的初始状态为(t(te ex x解为：x解为：x方程的方程的0 0t t0 0 解解0 0 x xtx(t)0 0 x x0。0。x x 点状态点状态平衡平衡系统稳定。且只有一个系统稳定。且只有一个到0，到0，运动均以指数规律收敛运动均以指数规律收敛取何值，该系统的取何值，该系统的无论x无论x0 0 62 2x xx xx x讨论非线性：讨论非线性：: :例例 t t0 00 0t t0 0e ex xx x1 1e ex xx x 分析：分析：解解。x x时,时,1 1x xx xlnln即：t即：t0 01 11，x1，xe ex xx x1 1，并当：，并当：1

6、1e ex xx x1 11 1x x1时1时(1)当x(1)当x0 00 0t t0 00 0t t0 00 00 0 tx(t)11 1x x1时1时(2)当x(2)当x0 0 0 0，x，x，而且当t，而且当t1 1e ek k1 11 1e ex xx x1 11 1x x的t值，因此上式的t值，因此上式不存在使x不存在使x1时1时(3)当x(3)当xt tt t0 00 00 0 不稳定平衡点。不稳定平衡点。，1 1x x；稳定平衡点稳定平衡点0,0,x x：平衡点有两个平衡点有两个 非线性系统自持振荡非线性系统自持振荡阅读p272页，例7-1-28为正数)。为正数)。范德波方程范德

7、波方程0 0 x xx x) )x x(1(12 2x x。的动态特性的动态特性系统系统下面微分方程所描述的下面微分方程所描述的：分析：分析例例2 2 ( 解解。1时1时x x当扰动引起的当扰动引起的 0，0，) )x x(1(12 22 2 系统具有负阻尼系统具有负阻尼。发散的运动形式发散的运动形式系统具有随时间增长而系统具有随时间增长而1时,1时,x x当当 0,0,) )x x(1(12 22 2系统具有正阻尼系统具有正阻尼收敛的运动形式。收敛的运动形式。系统具有随时间增长而系统具有随时间增长而。- - -运动形式运动形式具有具有自持振荡等幅振荡的最终，系统9非线性系统的自持振荡非线性系

8、统的自持振荡重要内容。重要内容。研究非线性系统的一个研究非线性系统的一个，也是，也是非线性系统重要的特征非线性系统重要的特征某些某些自振是自振是二、典型非线性系统及对系统性能的影响二、典型非线性系统及对系统性能的影响1、死区非线性常见于测量、放大元件中。死常见于测量、放大元件中。死区非线性特性导致系统产生稳区非线性特性导致系统产生稳态误差，且用提高增量的方法态误差，且用提高增量的方法也无法消除。也无法消除。2、饱和非线性常见于放大器中，在大信号作常见于放大器中，在大信号作用下，放大倍数小，因而降低用下，放大倍数小，因而降低了稳态精度。了稳态精度。)()()(tkasignxtkxtyatxat

9、x)()()()(0)(tasignxtxktyatxatx)()(3、间隙非线性常见于齿轮传动机构、铁磁常见于齿轮传动机构、铁磁元件的磁滞现象。可使系统元件的磁滞现象。可使系统的稳态误差增大，也使系统的稳态误差增大，也使系统的动态特性变差。的动态特性变差。4、继电器特性继电器特性中包含了死区、继电器特性中包含了死区、回环和饱和特性，因此对系回环和饱和特性，因此对系统的稳态性能、暂态性能和统的稳态性能、暂态性能和稳定性都有不利影响。稳定性都有不利影响。 相平面法是一种时域分析方法。设非线性系统框图如相平面法是一种时域分析方法。设非线性系统框图如图所示，其中图所示，其中N表示非线性环节，表示非线

10、性环节，G(S)是线性部分的传递是线性部分的传递函数。函数。三、非线性系统的分析方法三、非线性系统的分析方法1、相平面法、相平面法 时域方法时域方法2、描述函数法描述函数法 频域方法频域方法7.2 7.2 非线性系统的相平面分析方法非线性系统的相平面分析方法用相平面法分析非线性系统，用相平面法分析非线性系统，线性部分传递函数线性部分传递函数G(S)必须是二阶。必须是二阶。相平面相平面由系统由系统变量变量及其导数构成的，用以描述系统状态的平面。构成的，用以描述系统状态的平面。相轨迹相轨迹系统系统变量变量及其导数随时间变化在相平面平面上描绘出来的轨迹。上描绘出来的轨迹。一、线性二阶系统奇点的类型一

11、、线性二阶系统奇点的类型线性二阶系统的齐次微分方程为：线性二阶系统的齐次微分方程为：相平面图是在相平面图是在 平面中，绘制平面中，绘制 随时间随时间t 变化的轨迹，变化的轨迹，称为相轨迹。相轨迹的起点是称为相轨迹。相轨迹的起点是 。奇点是指奇点是指 的点。的点。根据奇点附近相轨迹的特征，奇点根据奇点附近相轨迹的特征，奇点有不同名称，据此可判断系统运动的性质。有不同名称，据此可判断系统运动的性质。xx ,xx)0(),0(xx00dxxd022xxxnn xx ,xx)0(),0(xx00dxxd022xxxnn 1、无阻尼运动、无阻尼运动二阶系统的极点分布和相平面图如下二阶系统的极点分布和相平

12、面图如下无阻尼运动时，二阶系统的相平面图是一族同心椭圆，每个无阻尼运动时，二阶系统的相平面图是一族同心椭圆，每个椭圆代表一个简谐运动。这样的奇点称为中心点。椭圆代表一个简谐运动。这样的奇点称为中心点。0)(二、非线性系统的相平面分析二、非线性系统的相平面分析借助借助Matlab等软件工具等软件工具可以方便地绘制非线性系统的相平面图。可以方便地绘制非线性系统的相平面图。例例1：有死区继电器非线性的系统框图如下：有死区继电器非线性的系统框图如下系统线性部分的传递函数系统线性部分的传递函数 ，该二阶系统的无，该二阶系统的无阻尼自然振荡角频率阻尼自然振荡角频率 ，阻尼比，阻尼比 ，根据，根据前面对奇点

13、的分类，可知为稳定焦点。前面对奇点的分类，可知为稳定焦点。) 1(1)(SSSGsradn/15 . 0继电器的输入输出关系为继电器的输入输出关系为在在 平面，根据继电器的平面，根据继电器的非线性特性，可分为三个区域，非线性特性，可分为三个区域， 设初始状态设初始状态 ， ，绘制相轨迹如图所示，绘制相轨迹如图所示，(设设r=3) 根据系统的相轨迹，可对根据系统的相轨迹，可对系统的性能分析如下：系统的性能分析如下：)(efy, 1, 0, 1. 1; 11; 1eeeee3)0(e0)0(e 2、相轨迹最后没有到达原、相轨迹最后没有到达原点，即点，即 ，说明，说明系统在阶跃信号输入下，存系统在阶

14、跃信号输入下，存在稳态误差，引起稳态误差在稳态误差，引起稳态误差的原因是死区继电器特性。的原因是死区继电器特性。 系统线性部分的传递函数表系统线性部分的传递函数表明，系统是明，系统是型系统，对阶型系统，对阶跃响应的稳态误差应为跃响应的稳态误差应为0，可，可见死区继电器非线性对稳态见死区继电器非线性对稳态精度的影响。精度的影响。0)(limtet1、系统的相轨迹收敛于、系统的相轨迹收敛于A点，是稳定的，奇点为稳定点，是稳定的，奇点为稳定焦点。焦点。e e是单调衰减的。是单调衰减的。7.3 7.3 描述函数描述函数 描述函数是非线性特性的一种近似表示，是一种谐波线性描述函数是非线性特性的一种近似表

15、示，是一种谐波线性化方法，忽略非线性环节输出中的高次谐波，化方法，忽略非线性环节输出中的高次谐波，用基波分量表用基波分量表示其输出。示其输出。设非线性环节的输入为设非线性环节的输入为tsinx x其输出的稳定分量其输出的稳定分量y是与是与x同周期的非正弦周期信号同周期的非正弦周期信号，可用傅氏，可用傅氏级数表示级数表示11)sin()sincos(nnnnnntntntnYABAA00y式中BABAYBAnnnnnnnnarctgtdtntytdtnty222020)(sin)(1)(cos)(1由于由于y的高次谐波幅值的高次谐波幅值小于基波幅值，且系统小于基波幅值，且系统的线性部分的线性部分

16、 都都具有低通滤波性质具有低通滤波性质，可以可以假设只有基波分量假设只有基波分量起作用起作用，而将高次谐波，而将高次谐波忽略不计。忽略不计。)()(21ssGG一、描述函数的定义一、描述函数的定义设非线性特性为设非线性特性为奇奇对称型，则傅氏级数中的直流分量对称型，则傅氏级数中的直流分量y的的基波基波为为00A)11111tsin(tsintcosYBAy非线性特性的描述函数定义为非线性特性的描述函数定义为)(1)(1111ABeYjXXXNj这是一个复函数，这是一个复函数，模模为输出基波幅值与输入幅值之比，为输出基波幅值与输入幅值之比，相相角角是输出基波对输入的相位移。是输出基波对输入的相位

17、移。描述函数描述函数N(X)表示了当表示了当X为正弦信号时，输出基波分量与为正弦信号时，输出基波分量与X在幅值和相位上的关系。在幅值和相位上的关系。注意：注意：有些教材描述函数用有些教材描述函数用N（A）表示了当输入）表示了当输入)(1)(1111ABeYjAAANjtsin Ax输出基波与输出基波与A在幅值和相位上的关系。在幅值和相位上的关系。tsin xxinput二、典型非线性特性的描述函数二、典型非线性特性的描述函数 1、死区非线性的描述函数、死区非线性的描述函数 aXxaxaxakaXN(X)xaxaxakxBY)21(arcsin2100)1(arcsin21121101)(sin

18、)(2ttdtyB考试中直接给出考试中直接给出描述函数描述函数N(X)2、理想继电器非线性的描述函数、理想继电器非线性的描述函数XXN4)(AAN4)(或通常给出系统的描述函数考虑非线性环节考虑非线性环节描述函数形式：形式： aXXaXaXakaXN(X)21(arcsin20实用上常将描述函数表示为实用上常将描述函数表示为 X/a的函数。的函数。)(aXNN(X)367()(1)(XNjG非线性系统存在自持振荡的条件：非线性系统存在自持振荡的条件：7.4 7.4 非线性系统的谐波平衡法分析非线性系统的谐波平衡法分析 和相平面法不同，谐波平衡法对非线性环节进行和相平面法不同，谐波平衡法对非线性环节进行谐波线性化处理谐波线性化处理，允许线性部分是任意阶次。，允许线性部分是任意阶次。系统的特征方程为系统的特征方程为)367()(1)(0)()(1XNjGjGXN即：称称 为为描述函