椭圆性质总结

1、.考试必“背”1椭圆的两种定义:平面内与两定点Fi, F2的距离的和等于定长 2a(> F1F2 )的点的轨迹，即点集 M=P|PFi|+|PF2|=2a , 2a>|FiF2|； ( 2a=|F1F2 时为线段 F1 F2, 2a <|F1F2 无轨迹)。其中两定点F1, F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集 M=P|也 =e, 0ve<1的常数 。(e = 1为抛物线；e>1为双曲线) d2标准方程:22(1)焦点在x轴上，中心在原点：£+与=1 (a>b>0);a2

2、 b2焦点 F1 (c, 0),F2 (c, 0)。其中 c = Ja2 -b2 (一个 RtA)(2)焦点在y轴上，中心在原点:22yx，、。=1 (a> b>0);ab焦点 F1 (0, c), F2 (0, c)。其中 c = >a2 b2注意：在两种标准方程中，总有a>b>0, c = Ja2 -b2并且椭圆的焦点总在长轴上;两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 (A>0, B>0, A用)，当AvB时，椭圆的焦点在 x轴上，A>B时焦点在y轴上。223.参数方程：椭圆 十 4 = 1 (a a b > 0)的参数方程a

3、2 b2精品资料x = a cosy =bsinee为参数)4.性质：对于焦点在 x轴上，中心在原点:22工+工=1 (a>b>0)有以下性质:a2 b2坐标系下的性质:范围：|x|念,|y| 曲； 对称性：对称轴方程为x=0, y=0,对称中心为 O (0, 0); 顶点：Ai(-a, 0), A2 (a, 0), Bi(0, -b), B 2(0, b),长轴 |AiA2|=2a ,短轴 |BiB2|=2b ;(a半长轴长，b半短轴长)；2 a y 二c2a准线方程：X = ± 一 ；或c 焦半径公式：P(X0, y0)为椭圆上任一点。|PFi|=r左=a+ex 0,

4、 |PF 2|=右=a-ex 0;|PF i|= r下=a+ey 0, |PF2|= r上=a-ey 0； PF max = a + c, PF min = a - c平面几何性质: 离心率：e=-(焦距与长轴长之比)w(0,1); e越大越, e = 0是ab22a2焦准距p =；准线间距=cc、焦点三角形结论一:若F1、2XF2是椭圆+a2y-2 =1(a >b >0)的两个焦点，P是椭圆上一点，且b2NF1PF2 =e ,当点p位于时e最大,cos g =IPF1IIPF2I的最大值为2 .-. S F1PF2 = b tan-结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径 (垂直于焦点的

5、弦)最短，通径为 22结论三：已知椭圆方程为j+4 = 1(a>bA0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形a bsin(、£ 、P)PF1F2, NPF1F2 =%/PF2Fi =P，则椭圆的离心率 e =-(小sin '： - sin -结论四：四心的轨迹2222(1)、与+ y? =1(a >b > 0)焦点三角形内心的轨迹及其方程 x2 +y-l =1 .a bc b c(a c)2、2+ y2 =1(a >b a 0)焦点三角形重心的轨迹及其方程: b222-X2- yr = 1(a b 0)22a b、= 1(a > b a 0)焦

6、点三角形垂心的轨迹及其方程:22a(c -x )b, a2 -X2、= 1(a >b a 0)焦点三角形的外心的轨迹及其方程2sin 12b(|y|-2 2b -c2b三.中点弦问题2 X AB是椭圆彳+ a22=1(a>b>0)的一条弦, b中点 M坐标为(X0,y0),则直线的斜率四.弦长问题.(1)斜率为k的直线与圆锥曲线相交于两点Pi(X,yi), P2(X2,y2),则所得的弦长(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算;(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为利用,往往比利用弦长公式简单。五.X轴正半轴到

7、椭圆的最短距离问题:22x y已知椭圆 下+上了 =1(abA0),则点(m , O)到椭圆的最短距离为: a b六.过椭圆上点切线问题则过P0的椭圆的切线方程是xoxy°y j-2""TT - 1a b22x y / 1若P0(X0,y0)在椭圆a2 b2上,习 题221、已知椭圆方程 J+匕=1,椭圆上点 M到该椭圆一个焦点的距离是 2, N是MF1的中点，O 259是椭圆的中心，那么线段 ON的长是()3(A) 2(B) 4。8(D)222人匕=12 .点P是椭圆25 16上一点，F1 , F2是椭圆的两个焦点，且4 PF1F2的内切圆半径为1,当P在第一象

8、限时，P点的纵坐标为 3. (2009年上海卷理)已知 F122x yF C：-2=1F2是椭圆a b(a > b >0)的两个焦点,P为椭圆C上一点，且PF1 , PF2.若“PF1F2的面积为9,则入22二上二14. ( 2009北京文)椭圆92 的焦点为F1, F2 ,点P在椭圆上，若1 PF114,则|PF2| =；,EPF2的大小为224 .已知椭圆 人十匕=1的左、右焦点分别为169F1、F2,点P在椭圆上，若 P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为()9927922LL =15 .椭圆94 的焦点F1(A) 5(B) 3 (C) 7(D) 4F

9、2 ,点P为其上的动点，当/ F1 P F2为钝角时，点P横坐标的取值范围是 6.椭圆的中心在原点，焦点在 X轴上，离心率3/2,椭圆上各点到直线l的最短距离为1,则该椭圆方程是？直线l为x-y+&+2=022x y7.设点P (x, y)在椭圆 +匚=1, (1)试求点169P到直线x + y _5 = 0的距离d的最大值和最小值。(2)求x+2y的最小值2c xyC : 8.已知椭圆 ab= 1(a> b>0)的离心率为2 ,过右焦点F且斜率为k(k> 0)的直线与C相交于A、B两点.T -AF =3FB ,则 k =(A) 1(B)拒(D) 29.已知点P是椭圆

10、方程x2/3+y2=1上的动点,M,N是直线L: y=x上的两个动点，且满足 |MN|=t ,则(1)存在实数t使4MNP为正三角形的点仅有一个(2)存在实数t使4MNP为正三角形的点仅有两个(3)存在实数t使4MNP为正三角形的点仅有三个(4)存在实数t使4MNP为正三角形的点仅有四个(5)存在实数t使4MNP为正三角形的点有无数个上述命题中正确的序号是 .10.在平面直角坐标系 xOy中，点B与点A (-1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线 AP与1BP的斜率之积等于3 .(I )求动点P的轨迹方程；(n )设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N ,问：是否存在点 P使得4PAB

11、与4PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 (探究(面积)2x 2.y = 111. (2007四川理)设F1、F2分别是椭圆 4的左、右焦点.(I)若P是该椭圆上的一个动点，求 PF FF2的最大值和最小值；(n)设过定点M (0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B ,且/AOB为锐角(其中O为坐标原点），求直线1的斜率k的取值范围.（最值、求取值范围）12. （本小题共14分）已知椭圆的中心在原点 °,焦点在 x轴上，点 A （ 一2，3,0）是其左顶点，点 C在椭圆上，且AC CO = 0 |AC|=|CO|（I）求椭圆的方程；（n）若平行于CO的直线

12、1和椭圆交于M，N两个不同点，求ACMN面积的最大值，并求此时直线1的方程.（最值）_213. （2009浙江文）（本题满分15分）已知抛物线C: x =2Py（P>0）上一点A（m，4）到其焦点17的距离为4 .（I）求p与m的值；（II）设抛物线C上一点P的横坐标为t（t >0）,过P的直线交C于另一点Q,交x轴于点M ,过点Q作PQ的垂线交C于另一点N .若MN是C的切线，求t的最小值.SJS14 .（本题满分14分）220 4 = 1（a b 0）已知椭圆a b的离心率为，长轴长为2J3 ,直线1 : y = kx* m交椭圆于不同的两点A, B.（I）求椭圆的方程；一T（

13、n）若m =1,且OA OB =0 ,求k的值（O点为坐标原点）；由（出）若坐标原点 O到直线1的距离为 2 ,求AAOB面积的最大值.FT15、（ 13分）在直角坐标系xOy中，点M到F1（-V3,0）、F2（J3, 0）的距离之和是4,点M的轨迹C与*轴的负半轴交于点A,不过点A的直线1 ： y =kx+b与轨迹C交于不同的两点P(1)求轨迹C的方程;T T(2)当AP AQ =°时，求k与b的关系，并证明直线l过定点.(过定点)2216. (12分)已知点 A(1，1)是椭圆斗三=1(a b 0)F Fa b上的一点，F1, F2是椭圆的两个焦点，且满足AF1 +AF2 =4()求椭圆的方程及离心率；(n)设点C, D是椭圆上的两点，直线AC , AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？并说