第一章质点力学12次课0907

1、万里长城 埃及金字塔埃及金字塔一、理论力学的研究意义一、理论力学的研究意义 ( (是工程技术的科学基础）是工程技术的科学基础）绪绪 论论飞机和火箭飞机和火箭波音波音787波音波音797(概念机概念机)二、力学的分类二、力学的分类宏观系统宏观系统(h不起作用不起作用)微观系统微观系统(h起作用起作用) 低速运动低速运动量子力学量子力学高速运动高速运动量子场论（相对论量子力学）量子场论（相对论量子力学）高速运动高速运动(v接近接近c)-相对论力学相对论力学低速运动低速运动(v远远小于远远小于c)-经典力学经典力学（以观点分）（以观点分）（以对象分）（以对象分）（以方法分）（以方法分）运动学运动学动

2、力学动力学静力学静力学质点力学质点力学质点组力学质点组力学刚体力学刚体力学 牛顿力学（矢量牛顿力学（矢量力学）力学）分析力学分析力学连续介质力学连续介质力学注：连续介质力学注：连续介质力学( (包括弹性体力学和流体力学包括弹性体力学和流体力学) )是研究质量是研究质量连续分布的可变形物体运动规律的科学。连续分布的可变形物体运动规律的科学。说明：说明：(1)(1) 理论力学是经典力学的一大部分，但不讨论连理论力学是经典力学的一大部分，但不讨论连 续介质力学。静力学不象工科一样详尽，而只是作为动力学续介质力学。静力学不象工科一样详尽，而只是作为动力学的一个特例。的一个特例。 经典力学的应用范围是：

3、经典力学的应用范围是：宏观、低速物体宏观、低速物体。(2)(2)理论力学是四大力学理论力学是四大力学( (理论力学，量子力学，电动力学理论力学，量子力学，电动力学和热力学统计物理和热力学统计物理) )之一，是以确定论的观点研究物体的运之一，是以确定论的观点研究物体的运动规律。动规律。(3)(3)理论力学是在普通物理力学基础上，运用高等数学工具理论力学是在普通物理力学基础上，运用高等数学工具( (微微积分和变分积分和变分) )，全面、系统地阐述宏观机械运动的基本概念和，全面、系统地阐述宏观机械运动的基本概念和基本规律，与普通物理力学相比，理论性更强。要求学生掌握基本规律，与普通物理力学相比，理论

4、性更强。要求学生掌握力学的理论体系和用高等数学知识解决力学问题的能力。力学的理论体系和用高等数学知识解决力学问题的能力。四、理论力学的研究方法四、理论力学的研究方法(物理规律的形成过程物理规律的形成过程)实践实践抽象综合抽象综合公理公理数学演绎数学演绎 逻辑推理逻辑推理应用应用定理、结论定理、结论三、三、理论力学的研究对象理论力学的研究对象理论力学：理论力学：是研究宏观、低速物体机械运动规律的一门学科。机械运动：机械运动：是物体在空间的相对位置随时间的变化。五、理论力学的发展史五、理论力学的发展史 意大利的达芬奇(14521519) 研究滑动摩擦、平衡、力矩。波兰的哥白尼(14731543)提

5、出宇宙“日心说”。德国的开普勒(15711630)提出行星运动三定律。 意大利的伽利略(15641642)提出自由落体规律、惯性定律及加速度的概念。 早在(公元前287212)古希腊阿基米德著的论比重就奠定了静力学基础。 英国伟大科学家牛顿(16431727)在1687年版的自然哲学的数学原理一书总其大成，提出动力学的三个基本定律，万有引力定律，天体力学等，是力学奠基人。瑞士的伯努利(16671748)提出虚位移原理。希腊的托勒密(约90168)提出宇宙“地心说”。法国达朗伯(17171785)出版著作动力学专论，提出达朗伯原理。法国拉格朗日(17361813)出版名著分析力学，提出第二类拉格

6、朗日方程。六、六、理论力学教程理论力学教程的内容框架的内容框架 质点力学质点力学 质点组力学质点组力学 刚体力学刚体力学 转动参照系转动参照系 分析力学分析力学瑞士的欧拉(17071783)出版著作力学或运动科学的分析解说 和刚体运动理论。主要参考书目：主要参考书目：1).1).周衍柏周衍柏. .理论力学教程理论力学教程，高等教育出版社，高等教育出版社，200920092).2).管靖等管靖等. .理论力学教程学习指导书理论力学教程学习指导书，高等教育出版社，高等教育出版社,2012,20123).3).梁昆淼梁昆淼. .力学力学( (下册下册) )，人民教育出版社，人民教育出版社，19801

7、9804).4).肖士珣肖士珣. .理论力学简明教程理论力学简明教程，人民教育出版社，人民教育出版社，198319835).5).胡慧玲等胡慧玲等. .理论力学基础教程理论力学基础教程，高等教育出版社，高等教育出版社，198619866).6).苏云荪苏云荪. .理论力学理论力学，高等教育出版社，高等教育出版社，199019907).7).郭士堃郭士堃. .理论力学理论力学( (上、下册上、下册) )， 人民教育出版社，人民教育出版社，198219828).8).胡守信胡守信. .理论力学理论力学，高等教育出版社，高等教育出版社，198619869).9).刘焕堂刘焕堂. .理论力学原理与方法

8、理论力学原理与方法，厦门大学出版社，厦门大学出版社，1997199710).10).陈世民陈世民. .理论力学简明教程理论力学简明教程, , 高等教育出版社，高等教育出版社， 2001200111).11).卢圣治卢圣治. .理论力学基本教程理论力学基本教程，北京师范大学出版社，北京师范大学出版社，2004200412).12).梅凤翔等梅凤翔等. .分析力学基础分析力学基础，西安交通大学出版社，西安交通大学出版社，1987198713).13).哈工大理论力学教研室哈工大理论力学教研室, ,理论力学理论力学(I(I、II),II),高等教育出版社高等教育出版社, 2012, 201214).

9、H.Goldstein, Classical Mechanics, 2-nd edition, Addison 14).H.Goldstein, Classical Mechanics, 2-nd edition, Addison Wesley,1980Wesley,1980第一章 质点力学1.1 运动的描述方法(绝对时空观)一、参照系与坐标系一、参照系与坐标系1.参照系参照系 物质的运动是绝对的，运动的描述是相对的。为研究一个物体的运动必须事先选定另一个物体作为参照物，被选为参照物的物体就叫做参照系或参考系。 参照物不同，对同一个物体运动的描述结果不同； 观察者是站在参照系的观察点上； 研究

10、地面附近物体的运动选地球为参照系。说明：说明： 为了定量确定物体的空间位置，还必须在参考系上建立坐标系。如直角坐标系，平面极坐标系，自然坐标系，柱面坐标系和球坐标系。3 3、质点及位置的描述、质点及位置的描述(1) (1) 质点：质点：理想模型，有一定质量的几何点（物体形状可忽略，物体作平动）。在研究物体的机械运动时，不考虑物体的大小和形状，而只计及其质量的力学模型就叫质点。(2) (2) 位置描述位置描述 坐标描述：直角坐标系直角坐标系: :kzj yi xr2.2.坐标系坐标系质点相对某参照系的 位置，可由位矢 确定r( , , )P x y z平面极坐标系：平面极坐标系：),(rP自然坐

11、标系：自然坐标系：osP( )P s柱面坐标系：柱面坐标系：( , , )P rzPxyzr球面坐标系：球面坐标系：( , , )P r 二、运动学方程及轨道二、运动学方程及轨道1 1、运动学方程、运动学方程 描述物体在参考空间中任一瞬时位置的数学表达式称为运动学方程。 运动学方程确定了质点在参考空间中任一瞬时的位置，并由此可进一步揭示质点运动的几何性质：轨迹、速度和加速度等。写出质点的运动学方程是研究质点运动的首要任务。一般常用的方程有（1）矢量形式的运动学方程)(trr 当质点运动时 是时间t的单值连续函数。此方程常用来进行理论推导。r（2）直角坐标形式的运动学方程)()()(tzztyy

12、txx 这是常用的运动学方程，尤其当质点的轨迹未知时。它是代数方程，运算容易。（3）平面极坐标下的运动学方程)()(ttrr 当质点在某平面上运动时，在任一瞬时，其位置也可用极坐标确定。（4）自然坐标形式的运动学方程)(tss 对运动轨迹已知的质点，常用此方程。用自然法研究运动，运算比较简便。说明：说明：通过坐标形式的方程(标量方程)表示质点的运动学方程，并由此确定质点的其它运动量的方法称为分析方法。（5）柱面坐标形式的运动学方程 ( )( )rr ttzz t （6）球面坐标形式的运动学方程 ( )( )rr ttt 2 2、轨道、轨道 质点运动过程中在空间描述出的连续曲线, 标量形式的运动

13、学方程中消去t得轨道方程。三、位移、速度、加速度三、位移、速度、加速度1 1、位移：、位移： 质点位置的改变，即位置矢量的增量。 trttrrdsrdsrsrrr但注意： 路程：路程：质点沿轨道走过的长度恒正标量 sr2 2、速度：、速度： 平均速度平均速度tr瞬时速度瞬时速度( (速度速度) )rdtrdtrt0lim向运动的前方方向：沿轨道切向并指大小：速率 lim0dtrddtdststr3 3、加速度：、加速度：平均加速度平均加速度ta瞬时加速度瞬时加速度( (加速度加速度) )220limtdd rartdtdt a加速度 一定指向轨道的凹侧a加速度 沿速端曲线切线方向并指向 的矢端

14、沿速端曲线运动的前方1.2 速度、加速度分量表示式一、直角坐标系一、直角坐标系kzj yi xr1 1、速度：、速度： 分量式：分量式： 速度大小：速度大小： kdtdzjdtdyidtdxdtrdkjizyxzyxzyx222zyx速度方向：速度方向：可用方向余弦确定 zyxcoscoscos2 2、加速度：、加速度： 分量式：分量式： 加速度大小：加速度大小： kdtdjdtdidtddtdazyxkdtzdjdtydidtxd222222kajaiazyxzayaxazzyyxx 222222zyxazyx 加速度方向：加速度方向：aaazyxcoscoscos例1设椭圆规尺AB的端点A

15、与端点B沿直线导槽ox及oy滑动（如下图所示），而B以匀速度c 运动，求椭圆规尺上M点的轨道方程，速度及加速度.设MA=a,MB=b, .OBA2232321csc() sin()bcbcabab 4222231Mb caaxyxabM点速度的方向：MMyxcos,cosM点加速度的方向：0cos, 1cosMMayax 42231b cxab 解：建立直角坐标系，小环的运动学方程为：解：建立直角坐标系，小环的运动学方程为：222coscos 2sinsin 2xRRtxyRyRRt轨迹为圆求速度求速度222sin 222cos 2xxyyRtRRt 求加速度求加速度222224cos 244

16、sin 2xxyyaRtaaaRaRt 例2. 半径为R的铁圈上套一小环P，直杆OA穿过小环P并绕铁圈上O点以匀角速度 转动。求小环P的运动学方程、轨道方程、速度和加速度。t二、平面极坐标系二、平面极坐标系 i rr ttrri为径向单位矢量，沿径向j为横向单位矢量，垂直于径向并指向极角 增大的方向确定确定1 1、速度：、速度： 注意: 方向都变化，乘积函数求导。ji,先求：先求：diii d1 0d当 i ri ri rdtddtrddtjddtid和方向并沿的方向：jii di djdid jjdtddti d 同理：同理：idj diidtddtj d i rr速度分量式：速度分量式：速

17、度大小：速度大小：jijri ri ri rdtrdr的是由矢径大小变化产生向速度，速度径向分量，称为径 rr的是由矢径方向变化产生向速度，速度横向分量，称为横r22r速度方向：速度方向：coscosr2 2、加速度、加速度( )darrirjdtririr jrjr j即：即：22rir jrjri22rrirrj22rarrirrja ia j横向加速度径向加速度 2 2 rrarrar加速度大小：加速度大小：22aaar加速度方向：加速度方向：aaaarcoscosa3 3、柱坐标系中的速度和加速度表达式、柱坐标系中的速度和加速度表达式kzi rkzrRkzjri rdtRdkzjrri

18、rra 22（平面极坐标加垂直的（平面极坐标加垂直的z z坐标）坐标）例3已知一质点的运动方程为,bterct试求其速度与加速度。cbre解：平面极坐标系下的运动学方程的标量形式为jri r 速度crcerctr 其中rbrjbricr jaiaar 加速度rbcrbecrractr 22222 bcrrra22 jbcri rbca 2 22加速度2222cbrrrcbaaar2222bterct例4. 半径为R的铁圈上套一小环P，直杆OA穿过小环P并绕铁圈上O点以匀角速度 转动。求小环P的运动学方程、轨道方程、速度和加速度。解：建立平面极坐标系，设 ，小环P的运动学方程为：00时，t co

19、s2ttRr轨道方程为:cos2Rr 速度为：j tRi tRjri rcos2sin2加速度为：j tRi tRjrrirra sin4cos4222224Ra R2ij例5. 已知一质点作平面运动，其速率为常量c，其位置矢量转动的角速度也为常量 ，试求质点的运动学方程及轨道方程。0, 0,0rt时设00 222rrc解：由已知条件(1)(2)0t (3)得时初始条件做不定积分并结合式化为把0,0,) 1 (0tdtd把(1)式代人(2)并分离变量得dtrcdr22020220drdtcr 得时条件做不定积分并结合初始0,0rttcr00sin(4)(3)(3)、(4) (4) 二式即为运动

20、学方程二式即为运动学方程000sin crtt 消去消去t t得轨道方程得轨道方程0sin cr 轨道为两个圆22arcsindxxaax三、自然坐标系三、自然坐标系 1 1、运动学方程、运动学方程( (弧坐标方程弧坐标方程) ) tss tenePosxyo引入三个单位矢量,tnbe ee 方向随时间变化和的单位矢量并指向弧长增加的方向切线方向切向单位矢量，沿轨道te并指向轨道凹的一侧。道该点的法线主法向单位矢量，沿轨ne并满足右手螺旋定则所确定的平面和于副法向单位矢量，垂直ntbeeentbeee程不同可正可负，与恒正的路弧坐标s构成平面自然坐标系 ,ntee正交空间自然坐标系tenePo

21、sxyojiet sincosdtedt求jijiencossin 2sin2cosjidtedtcossinnenedtdsdsdne2 2、速度、速度ttesdtedsdtrd速度在切线方向的投影dtdst向运动质点沿弧坐标减小的方向运动质点沿弧坐标增加的方, 0, 000dsdtds路程速率dsd曲率半径3 3、加速度、加速度dtdatesdtdtteses ntedtedntees 2 tdasdt切向加速度分量由速度大小的改变引起2 na主法向加速度分量由速度方向的改变引起可正可负tabnteeedtda02内禀方程 禀性方程本性方程4 4、三个平面、三个平面( (密切平面密切平面、

22、法平面法平面和和直切平面直切平面) ) 密切平面张成的平面和由ntee密切平面：轨道上无限接近的3个点确定的平面，或无限接近的两条切线所确定的平面曲率圆：在密切平面内以曲率中心为圆心，以曲率半径为半径所画成的圆，该圆与无限接近的两条切线都相切。曲率：描述曲线的弯曲程度 dkds曲率越大,曲线越弯曲tenePosxyo曲率半径：曲率圆的半径ddsk1 则可用下式计算曲率线说明：若轨道为平面曲,xyy 2/322/322211yydxdydxydk 22 dyydxd yydx 注意： 法平面张成的平面和由nbee 直切平面张成的平面和由btee过山车过山车dsdt解:因 ，求速度在切线方向的投影

23、 4 sinsa式中常量 假设求加速度tdadt224cosnaa所以2224tnaaaa常数4cos4cosaa24sina 4 cos 22dsadoPx例例6 6 一质点沿圆滚线 的弧线运动，如 为一常数，则其加速度亦为一常数，试证明之。 为圆滚线某点P上的切线与水平线(x轴)所成的角度， 为P点与曲线最低点之间的曲线弧长。s4 sinas解:先在直角坐标系中求速度和加速度 例例7 7 设质点P沿螺旋线运动，试求速度、加速度及轨道的曲率半径。tx4sin2ty4cos2tz444sin8 4cos8 ztytxzyx2224 5xyz04cos32 4sin32 zzyyxxatata2

24、2232xyzaaaa0dtdat322aan252na224 2sin xyxz圆柱螺旋线例8. 半径为R的铁圈上套一小环P，直杆OA穿过小环P并绕铁圈上O点以匀角速度 转动。求小环P的运动学方程、轨道方程、速度和加速度。解：轨道已知，可建立平面自然坐标系，选O1为原点，并规定弧长正方向如图所示，运动学方程为tRs2速度为tteRes2加速度为nnteReedtda224teneR说明: (1) 不同坐标系中轨道方程、速度和加速度的表达形式不同，但它们对描述质点运动是等价的；(2) 不同坐标系中速度和加速度的大小和方向是相同的tene1.3 平动参照系二、绝对速度、相对速度与牵连速度 选取两

25、个参考系 SS静系平 动系其中 为 相对于静系 的速度，称为绝对速度。 PS 0ttrrr一、时空关系 dtrddtrddtrd0dtrddtrd00 xzyxyzoo 为P相对于动系 的速度，称为相对速度。 S 为在 系带动下P相对于静系 的速度,称为牵连速度。 0SS 说明：P点同时参与两种运动：相对于动系 的运 动;被动系 带着一起以 运动 0SS三、绝对加速度、相对加速度与牵连加速度 由得:若动系 相对于静系 做匀加速直线运动 SS0dtdadtddtd0dtddtd00aa绝对加速度(质点P相对于静系的加速度)相对加速度牵连加速度yxo北东【例题1】某人以4km/h向东前进,感觉风从

26、正北吹来,以8km/h向东前进,感觉风从东北吹来,求风速和风向. 解： 1、分析是否为相对运动问题，选择动系和静系，并明确研究对象014i028i12研究对象：风; 静系：地面; 动系：人2、用速度合成关系列方程012 :人行走速度， ：风速(相对于地)， :风相对于人的速度0由：得：1222y 114ij2228cos45sin45iij1222482x44ijyxo北东014i028i1245风速：224 2/xykm h风向：以矢量方式求解：44ij42cos24 242cos24 2xy 45135 西北风yxo北东014i028i1245确定静系和动系确定静系和动系解：静系：河岸 动

27、系：河流 研究对象：小船M12ijrA【例例2 2】小船M被水流冲走后，用一绳将它拉回岸边A点，假定水流速度 沿河宽不变，而拉绳子的速度则为 ，如小船可以看成一个质点，求小船的轨迹.120由速度合成关系： 设 :绝对速度， :相对速度, :牵连速度02dirjdt i011cossinij其中，211cossindirjijdt 得：21 sindrdtdrdt 21cos 以及两式相除得：21sindrrd分离变量得：21sindrdr21csc d cscln2xxdxtgClnlnrktgC得：21,2k其中00kkrr ctgtglnlnrktgC000,trr设初始条件为：时，00l

28、nlnkrtgC00lnlnkCrtg00lnlnlnlnkkrtgrtg00lnlnkkrtgrtg一、牛顿运动定律(经典力学的基础)1.牛顿第一定律(惯性定律)任何物体(质点)如果没有受到其他物体的作用，都将保持静止或匀速直线运动的状态。由伽利略发现只适用于惯性系每个物体都保持其静止、或匀速直线运动的状态，除非有外力作用于它迫使他改变那个状态如果没有外力作用，静止物体将保持静止，运动物体将不断做匀速直线运动.2.牛顿第二定律(核心地位)当一个物体(质点)受到外力作用时，该物体所获得的加速度和外力成正比，和物体本身的质量成反比，加速度的方向和外力的方向一致。d mdpFdtdtmmm惯性引力

29、Fma若质量不变，力的独立作用原理运动的变化正比于外力，变化的方向沿外力作用的直线方向3.牛顿第三定律力：物体间的相互作用具体表现为推或拉，吸引或排斥，支撑或挤压等引力由于物体的质量(引力质量 )引起的力m引力电力和磁力起源于静止的或运动的电荷核力原子核内部粒子间相互作用接触力在物体相接触处所呈现的力，例如摩擦力每一种作用都有一个相等的反作用；或者，两个物体间的相互作用总是相等的，而且指向相反二、相对性原理1. 惯性参考系和非惯性参考系(只能通过观察和实验判断)惯性参考系：牛顿运动定律能成立的参考系非惯性参考系：牛顿运动定律不能成立的参考系当一个物体A对另一个物体B有一个作用力 的同时，另一个

30、物体B同时也对该物体A有一个反作用力 ，作用力与反作用力的量值相等，方向相反，并且在同一直线上。1F2F21FF 同时产生，同时消灭3. 力学相对性原理(伽利略相对性原理)在所有的惯性参考系中力学规律都相同只存在近似的惯性参考系常见的惯性参考系常见的惯性参考系地地球球当考虑地球自转的影响时，地球不再是惯性参考系(在赤道附近产生的加速度为310-2米/秒2)地心系地心系当考虑地球公转的影响时，地心系不再是惯性参考系(地球绕太阳公转产生的加速度为610-3米/秒2)日心系日心系当考虑太阳绕银河系中心运动时，日心系不再是惯性参考系(加速度为310-10米/秒2)FK4系系以选定的1535颗恒星的平均

31、静止位形作为基准的参考系 一、运动微分方程的建立 1.自由质点的运动 限制质点运动的条件称为约束，不受约束的质点称为自由质点。 (1) 直角坐标系 三个二阶常微分方程构成微分方程组，给出初始条件： 积分可得到质点的运动规律。 为已知合外力FtrrFrm ,tzyxzyxFzmtzyxzyxFymtzyxzyxFxmzyx;,;,;,;,;,;, 00,0rrrrt 时，(2)平面极坐标 2. 非自由质点的约束运动 将约束的作用归结为力的作用。约束对质点的作用力为约束力(约束反作用力),约束力是未知的,取决于约束本身的性质、主动力和质点的运动状态,故称约束力为被动力。 ;,;,2 ;,;,2tr

32、rFrrmtrrFrrmr 若质点被限制在某一曲线或曲面上运动，该曲线或曲面称为约束(目前只讨论固定的几何约束)，其方程为约束方程。约束公理：当其约束的作用用相应的约束力代替之后，我们就不再考虑约束的存在而将非自由质点视为自由质点来处理。换言之，用约束力代替约束之后，即可将约束解除。 质点的运动微分方程： 一般采用自然坐标系求解。 (1)光滑约束光滑约束：约束力在轨道的法平面内，即沿质点运动方向没有分量 (1)式求出运动规律,(2)和(3)解出约束力,方便之处在于运动规律和约束力可分开求解.RFrm 主 3 0 2 1 2bbnntRFRFmFdtdm(2)非光滑约束非光滑约束: 约束力在质点

33、运动方向有分量(如摩擦力) 4 3 0 2 1 2约束方程bbnnttRFRFmRFdtdm四个未知数bntRRR,NtRR22bnRR 222bntRRRRtRNRR运动规律和约束力无法分开求解运动规律和约束力无法分开求解二、运动微分方程的求解 动力学的两类基本问题：（1）已知力，求运动(主要问题) 1.力仅是时间的函数,即解：自由电子(视为经典粒子)受电场力作用，第一类问题的解题步骤：（3）写出运动微分方程，选坐标系投影； （4）解方程，分析解的物理意义。 （2）作图，受力分析；（2）已知运动，求力（1）明确研究对象，选择适当的参考系 tFF 例1:研究自由电子在沿 轴的振荡电场中的运动

34、x00costeEFx电子的运动微分方程为： 积分得 假设初始速度:00costeExm 00costmeEdtdx 分离变量得 dttmeEd00cos100sinCtmeE上式可写为 00 时，t0001sinmeEC假设初始位置最后得 00000sinsinmeEtmeEdtdx2000020sincosCtmeEtmeEx00 xxt 时，02002cosmeExC0200000020cossincosmeExtmeEtmeEx小结：这类问题最容易解决，只需进行两次积分，就可以得到全部运动规律。 在普通物理力学中，研究质点在重力场中的运动时忽略了空气阻力。斜抛体：自由落体：yxo2.

35、力只是速度的函数,即 FF 2sin cos200gttytx轨道方程：2220cos2xgxtgy22gthy 但在速度较大或者物体形状较大时，空气阻力都是不能忽略的。而空气阻力比较复杂，与物体形状、速度、空气密度、温度都有关。腔外弹道学 RRR大小反向与速度空气阻力,运动微分方程为： 2 cos1 sin2mgmmgRm ddsdsddtdsdsd(1) 式除以(2)式得 cossin1mgmgRdd fte运动微分方程： 例2.考虑质点在重力场中运动时有阻力的情况。 把抛射体简化为质点，则阻力 bRddsdsdxddxcosg2 gf2ddsdsdyddysingtg2 tggf2dds

36、dsdtddtgsec gfsecgmRdtdmgmbgm重力 f只要已知，就可以求出运动规律，并确定轨道。标量方程： 2 1 mgbdtdmbdtdmyyxx先解方程(1)dtmbdxx 分离变量得1lnln Ctmbx积分得0时0 xx，t假设初始条件：01xCtmbxxe00 xt 当时，dmbmgdt 再积分：类似地：tmbxxedtdx020Cebmxtmbx0时,0 xt假设初始条件：bmCx02tmbxebmx10tbmgebmgbmybmgebmgtmbytmbyy1 000 xmtxb 时，ymgtb 时，ty 时，yymgdbbdtmgmb yydmbmgdt 0 0,0y

37、yty结合时消去x和y中的t, 得到轨道方程: 即在阻力很小(b0)或距离很短(x0)时 23202000001123yxxxxxmgm gbxbxbxyxbbmmm2002000202000lnln 1yxxxxyxxxmmgm gyxbbmbxmgm gbxxbbm2301,ln 123xbxxxxxm若由泰勒级数展开结果分析： (1) 若阻力b很小或者x很小时，结果中的三次方及以上可以忽略,轨道近似为抛物线。 (2) 当xmvx0/b时，y-，因此 x有一个极限值mvx0/b023230001123yxxxgbgyxxxmbmxx022202cosgyxtgx忽略空气阻力202000ln

38、 1yxxxmgm gbxyxbbm【例例3 3】质量为m的质点，在有阻力的空气中无初速地自离开地面为h的地方竖直下落。如阻力与速度正比，试研究其运动。2.作图，受力分析3.选取适当的坐标系（如图）4.列出运动微分方程即：xkxg 解：1.研究对象：质点，选地面为参考系mxmkxmg h hxo()gxk xk )(kgxkx 令：gxk得0k分离变量得1ktc ektgggxekkk22ktggxteckk 10,0,gtxck得4.解方程dkdt 220,gtxhchk得xtkgekghxkt)1 (25.分析解的物理意义 t增大,v接近极限速度-g/k,运动几乎为匀速直线运动。ktggxekk【例例4 4】在例3中，若阻力与速度平方成正比，试研究该质点的运动。2.作图，受力分析3.选取适当的坐标系（如图）4.列出运动微分方程h hx解：1.研究对象：质点，选地面为参考系22mxmk gxmg(1)即22xk gxg(2)令x(3)(2) 式变为22k gg5.求解方程分离变量得221d kkgdtk(4)利用不定积分公式1221dxxthaxaa(5)得11th kkgtC(6)0, 0tx(6)式变为1th kkgt即1xth kgtk(7)反双曲正切22k gg10C再积分1dxth kgt dtk221lnxch kgtCk g