相关函数及其应用

1、第一专题：1、相关函数的计算方法(方法的选取及选取的原因)2、相关函数的性质和应用(选一个应用讲解并仿真)相关函数的计算方法利用计算机计算自相关估值有两种方法。 一种是直接方法，先计算出随机信 号和它的滞后序列的乘积，再取其平均值即得相关函数的估计值。另一种是间接 方法，先用快速变换算法计算随机序列的功率谱密度， 再作反变换计算出相关函 数。1、直接计算(1)公式计算对于时域信号，可以直接按照下面的公式来计算其相关函数， 两个能量信号S1和S2(t)互相关函数的定义为Rl2(x)s1(t)s2(tx)dt-功率信号Si(t)和S2(t)的互相关函数定义为1T/2Ri2(x)pm - T/ S1

2、 (t)S2(tx)dtT t -I /2(2)自相关函数的估计在计算机处理数字信号的过程中，一般是对自相关函数进行估计来计算。假定Xk是宽平稳各态遍历信号，xk是其中的一个样本，其自相关可由单 一样本xk的时间平均来实现，即RxnNim12Nk N-xkxk1 k -Nn由于在实际中仅能得到随即信号的一次样本序列x0, x1,xN-1,用xNk来表示，因此只能得到自相关函数的估计，即rx(n)x N kx Nkn上式中，对每一固定延迟n ,可利用的数据只有N-n个，所以自相关函数 的估计可以表示成.N n -1,、1 一 ，x(n) XNkxNk nN k 02、间接算法间接方法是利用自相关

3、函数与其功率谱密度互为一对傅里叶变换的关系来计算的。在数字信号处理中，利用快速傅里叶变换的方法计算出功率谱密度函数 的估值，然后再计算它的傅里叶反变换，即得自相关函数估值。由于采用了快速 傅里叶变换算法，计算速度较快。如当 N=2P时，间接算法所需要的运算量约为 8NP次实数乘加运算。因此，两种方法的速度比是速度比=匹m8Np 8p如P=13, m=0.1N = 819,则比值约为8,即问接算法比直接算法约 快8倍。对于能量信号，计算R(x)可用以下公式：R(x) S(f)2ej2% 仅 df对于功率彳S号计算R(x)可用以下公式:R(x)C 2S(f -nf0)ej2兀 fxdf相关函数的性

4、质及应用1、自相关函数的性质及其应用自相关函数具有如下性质：(1) R(x)为实函数；(2) R(x)为偶函数，即 R(x)=R(-x);(3) R(0)等于信号的均方值；(4)对于各态历经性的随机信号s有R(x)在R(0)处取得最大值；(5)当随机信号s的均值为u时，有lim R(x) u2,当s为确定性信号时,当xfoo时，自相关函数值不为均值的平方;(6)若平稳随机信号s含有周期成分，则它的自相关函数R(x)中亦含有周期 成分，且R(x)中的周期成分的周期与信号s(t)中的周期成分相等。自相关函数的应用：(1)从被噪声干扰的信号中找出周期成分，具体仿真见后面matlab程序;(2)利用自

5、相关分析识别车床变速箱的运行状态2、互相关函数的性质及其应用互相关函数的性质(1)互相关函数Rxy (乃是实函数，但不是偶函数；(2)对于任意的q Rxy")的平方小于等于Rx(0)Ry(0);(3)若信号是零均值的，在 S8时，相关函数值趋于0；(4)互相关函数具有反对称性，即Rxy ( r) = Ryx(- T)；(5)若两个信号x(t)与y(t)均含有周期分量，且周期相等，则互相关函数Rxy ( r) 也含有相同周期的周期性分量。互相关函数的应用(1)利用互相关分析测定船舶的速度；(2)利用相关分析探测地下水道的破损地点例：带白噪声干扰的频率为10Hz的正弦信号和不带白噪声的信

6、号的自相关函数 比较不带噪声周期信号0.6i1i1111不带噪声周期 信号的自相关0.40.20-0.4-0.6R-0.20.150.2-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.1时间/s-0.8带噪声周期信号时间/siTi带噪声周期信号的自相关0.80.60.40.20-0.2-0.40.150.2-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.1时间/s-0.6clf;N=1000;Fs=500;n=0:N-1;t=n/Fs;Lag=100;randn( 'state' ,0);x=sin(2*pi*10*t);c,lags=xcorr(x,Lag,'un

7、biased' );subplot(2,2,1),plot(t,x);xlabel( ' 时间 /s' );ylabel( 'x(t)');title( ' 不带噪声周期信号' );grid on ;subplot(2,2,2),plot(lags/Fs,c);xlabel( ' 时间 /s' );ylabel( 'Rx(t)');title( ' 不带噪声周期信号的自相关' );grid on ;y=sin(2*pi*10*t)+0.6*randn(1,length(t);c,lags=x

8、corr(y,Lag,'unbiased' );subplot(2,2,3),plot(t,y);xlabel( ' 时间 /s' );ylabel( 'y(t)');title( ' 带噪声周期信号' );grid on ;subplot(2,2,4),plot(lags/Fs,c);xlabel( ' 时间 /s' );ylabel( 'Ry(t)');title( ' 带噪声周期信号的自相关' );grid on ;带白噪声的正弦信号观察不了信号的周期， 通过求其自相关函数可以从被噪声干扰的信号中找出周期成分。 在用噪声诊断机器运行状态时， 正常机器噪声是由大量、 无序、 大小近似相等的随机成分叠加的结果， 因此正常机器噪声具有较宽而均匀的频谱