2018寒假半角模型44304

1、半角模型A,这两条射线过等腰 ABC（AB=AC顶角A引两条射线且它们的夹角为与底角顶点的相关直线交于 M、N两点，则BM、MN、NC之间必然存在固定的 关系，这种关系仅与两条相关直线及顶角 A相关解决办法：以A为中心，把4CAN （顺时针或逆时针）旋转a度，至 AABN,连接MN '结论：1、AMNzXAMN, MN=MN'2、若BM、MN、N '哄线，则存在x+y+z型的关系若不共线，则4BMN中，/MBN'必与/A相关应用环境：1、顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为 30°、45°、60°、75° 90°

2、,或它 们的补角为这些特殊角度的时候；2、正方形、菱形等也能产生等腰三角形3、过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条角平分线、腰上的高、底角的 邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或菱形的另外两边4、此等腰三角形的相关弦半角模型-且1800.条件： 2思路：（1）、延长其中一个补角的线段（延长CDSU E,使ED=BM连AE或延长CB到F,使FB=DN,连AF ）结论： MN=BM+DN Ccmn分别平分/ BMN和Z DNM2ABAM AN(2)对称(翻折)思路:分别将 ABM和ADN以AM和AN为对称轴翻折，但一定要证明 M、P、N三点共线.（/B+/D=1800且AB=

3、AD）例题应用：例1、在正方形ABCDK若M N分别在边BC CD上移动，且满足MN=BM+DN求证：./MAN=45.AM AN别平分/BMN和/DNM.C cmn 2AB思路同上略.例2拓展：在正方形 ABC时，已知/MAN= 45 ,若M N分别在边CB DC勺延长线上移动， .试探究线段MN BM、DNK1间的数量关系 .求证：AB=AH.（提示）例3.在四边形ABCM, /B+/D=180 , AB=AD,若E、F分别在边1EAF BAD.BC CDk,且满足 EF=BE+DF.求证：2（提示）例 4,在 ABC中，AB=AC /BAC=Z DAE=120 ,若 BD=5 CE=8

4、求 DE例五.请阅读下列材料：已知：如图 1在Rt ABC中，BAC 90 , AB AC ,点D、E分别为线段BC上 两动点，若 DAE 45 .探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把 AEC绕点A顺时针旋转90 ,得到ABE ,连结ED ,使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；(2)当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条 件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.例6探究:（1）如图1,在正方形 ABCD中，E、F分别是BC

5、、CD上的点，且/ EA已45°, 试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结（2）如图2,若把（1）问中的条件变为 在四边形ABCD中，AB= AD, / B+/ D1= 180 , E、F分别是边BG CD上的点，且/ EAF=1 / BAD ,则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将4AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BGCD延长线上时，如图3所示，其它条彳不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给 出结论并予以证明.练习巩固1:如图，在四边形ABC冲,/B=/ D=90 , AB=A

6、D ,若 E、F分别在边BC CD上的点，且EAF1 BAD.2.求证：EF=BE+DF.提示)练习巩固2,已知：正方形ABCD中，MAN 45°,绕点A顺时针旋转，它 的两边分别交CB DC (或它们的延长线)于点 M N.(1)如图1,当 MAN绕点A旋转到BM DN时，有BM DN MN .当 MAN 绕点A旋转到BM DN时，如图2,请问图1中的结论还是否成立？如果成立， 请给予证明，如果不成立，请说明理由；(2)当 MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM, DN和MN之间有怎样 的等量关系？请写出你的猜想，并证明练习巩固3(1)如图，在四边形ABCD中,AB AD ,E

7、,F分别是EF BEFD；1边BC,CD上的点，且 EAF = - BAD.求证:2E,F分别是边BC,CD上的(2)如图在四边形 ABCD中，AB AD, B+点，且EAF 1 BAD, (1)中的结论是否仍然成立？不用证明.AF(4)如图，将边长为4cm的正方形纸片 ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD 上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点 巳 连接EP.(1)如图，若M为AD边的中点， 4AEM的周长=6 cm：求证：EP=AE+DP ;(2)随着落点 M在AD边上取遍所有的位置(点 M不与A、D重合)， PDM的周长是 否发生变化？请说明理由.

8、(5).如图17,正方形ABCD E、F分别为BG CD边上一点.(1)若 / EAF=40.求证：EF=BE+DF(2)若，AEF绕A点旋转，保持/ EAF=45o,问/ CEF勺周长是否随，AEF位置 的变化而变化？(3)已知正方形ABCD的边长为1,如果/CEF的周长为2.求/ EAF的度数.图17练习巩固 4.如图，五边形 ABCD中,AB=BC=CD=DE=EA CAD 1 BAE ,求 2/ BAE练习巩固5.如图，已知在正方形 ABCDK MAN=45° ,连接BDW AM AN分别交于E、F两点求证：(1) MN=MB+DN(2)点A到MN的距离等于正方形的边长；(3

9、) VCMN勺周长等于正方形 ABCD4长的2倍； SWABCD2AB.SvcmnMN'(5)若 MAB=20° ,求 AMN(6)若 MAB 0 p p 45o ,求 AMN(7) EF2EB2DF2 ;(9)SVAEFSVAMN(8) VAENfVAFM等腰三角形;练习巩固 6.在等边ABC的两边AB , AC所在直线上分别有两点 M , N , D为 ABC外一点，且 MDN 60 , BDC 120 , BD CD ,探究：当点M , N分别爱 直线AB , AC上移动时，BM , BN , MN之间的数量关系及 AMN的周长Q与等边 ABC的周长L的关系.图图图(1

10、)如图，当点M ,N在边AB,AC上，且DM DN时，BM,NC,MN之间的数量关系式：此时QL (2)如图，当点M,N在边AB,AC上，且DM DN时，猜想(1)问的两个结论 还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(3)如图，当点M , N分别在边AB,CA的延长线上时，若AN x,则Q (用x, L表小)练习巩固7.如图所示，4ABC是边长为1的等边三角形，4BDC是顶角为120。的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的/ MDN点M N分别在AB, AC上，求 AMN勺周长练习巩固 8.如图，在正方形 ABCLfr, BE=3 EF=5, DF=4求/ BAE它DCF为多少度。巩固练

11、习 9、（三新练习册 P131）如图 1, RtAABCRtAEDF, /ACB=/F=90°, / A=/E=30° . AEDF绕着边AB的中点D旋转，DE, DF分别交线段 AC于点M, K.如图 2、图 3,当/ CDF=0° 或 60°时、AM+CKMK（填”；”或”二”.）如图 4,当/CDF=30° 时，AM+CK MK(只填">或“<”.)(2)猜想：如图1,当0°</CDF<60°时，AM+CK MK,证明你所得到的结论.如果MK2 CK2 AM2,请直接写出/ CDF的度

12、数和空的值.*必会结论 图形研究正方形半角模型【例】已知：正方形 ABCD , E、F分别在边BC、CD上，且 EAF 45, AE、AF分另交BD于H、G ,连EF .一、全等关系(1)求证： DF BE EF ； DG2 BH HG2 ; AE 平 分 BEF, AF 平分 DFE .二、相似关系(2)求证： CE V2DG ; CF &BH ; EF V2HG .(3)求证：AB2BG DH ; AG2BG HG ;BE DFCE CF二、垂直关系(4)求证：AG tan HCFABBE(5)、和差关系求证：BGDG&BE ; AD DFV2dh ；47| /JK一 /

13、| BE DF | . 2 |BH DG |./a/中考链接-正方形二相关题型-半角模型1, (2016石景山28).在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接BE.(1)请你在图-1画出ABEM,使得4BEM与4BEC关于直线BE对称；(2)若边AD上存在一点F,使得AF+CE=EF请你在图2中探究/ ABF与 /CBE的数量关系并证明；(3)在(2)的条件下，若点E为边CD的三等分点，且CE<DE请写出求 cos/ FED的思路.(可以不写出计算结果).图1图2备用图答案分1(2) ABF与 CBE的数量关系：ABF CBE 45 . 分证明：连接BF,EF ,延长DC到G ,使得C

14、G AF,连接BG-3分四边形ABCD为正方形，. AB BC , A BCD ABC .BAF - BCG . BF BG , ABF CBG .v AF CE EF , . EF GE .分:ABEF = BEG ./FBE=/MBE ABF CBE.ABF CBE 45 .(3)求解思路如下:a.设正方形的边长为3a , AF为x ,则EFx a, DF 3a x；222b.在 RtAEFD 中，由 EF DF DE , 222可得 x a 3ax 2a从而得到x与a的关系2x 3a ;c.根据cos/ FED 匹 -2a-,可求得结果.7分 EF x a2, (2016门头沟28).在

15、正方形 ABCD中，连接BD.(1)如图1, AE±BD于E.直接写出/ BAE的度数.(2)如图1,在(1)的条件下，将4 AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到ABE, AB'与BD交于M, AE'的延长线与BD交于N.依题意补全图1; 用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明.（3）如图2, E、F是边BC CD上的点， CEF周长是正方形 ABCD周长的 一半，AE、AF分别与BD交于M、N,写出判断线段 BM、DN、MN之 问数量关系的思路.（不必写出完整推理过程）门头沟28.（本小题满分7分）解：（1）/ BAE=45

16、76;.1分（2）依题意补全图形（如图1）;2分 BM、 D N 和 M N 之间的数量关系是B M 2 + N D 2 = M N 2 . 3 分证明：如图1,将4AND绕点A顺时针旋转90°,得AAFR ./ADB=/FBA / 1=/ 3,DN=BF, AF=AN.正方形 ABCD AE± BD, ./ADB=/ABD=45°. ./FBM=/FBA+/ ABD= ZADB+Z ABD=90°.F由勾股定理得FB2+BM2=FM2.bc;旋转 ABE得至AB'E；. / 2+/ 3=90 -45 =45°,又/ 1=/ 3,. /

17、2+/ 1=45°.GB EC即 / FAM=45°. ./ FAM = /E'AB=45°.又AM=AM, AF=AN,.AFMAANM.图2 .FM=MN.又 FB如图3,当/BAC= , (0< <90), ZDAE=1 时，BD DE、EC应满足的等量 关系是.【参考：sin2cos21】+BM2=FM2,DN2+BM2=MN2.5分 判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路如下：a.如图2,将4ADF绕点A瞬时针旋转90 WAABGJ,推出DF=GB;b.由CEF勺周长等于正方形 ABCD周长的一半，得 EF=DF+BE;c.由 D

18、F=GB和 EF=DF+BE推出 EF=GE,进而得AAE* AAEFd.由AAE®4AEF推出 / EAF=/EAG=45°e . 与 同 理， 可 证MN2 = BM2+DN2. 7分3 (. 2016模(1)如图1,点E、F分别是正方形 ABCD的边BC、CD上的点, /EAF=45°,连接EF,则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BEfFD.连结BD, 交AE、AF于点M、N,且MN、BM、DN满足MN2 BM 2 DN 2,请证明这个 等量关系；(2)在4ABC中，AB=AC,点D、E分别为BC边上的两点.如图2,当/BAC=60°, /DAE=30°时，BD> DE、EC应满足的等量关系是AAMNBC=1,则 BCD的周长为;等于AD的长.在图2中求作4EDF (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)在图3中补全图形，求 EOF的度数;8OF 一一一,则的值为.9OE若A若 AC=2,(2) O为正方形ABCD的中心，E为CD边