二次函数公式(精华)之欧阳与创编

1、欧阳与创编 2021.03.08二次函数知识点汇总二次函数知识点汇总时间：2021.03.08创作：欧阳与y ax2bx c(a,b,c1. 1.定定义义：一一般般地地，如如果果是是常常数数，a 0)，那么，那么y叫做叫做x的二次函数的二次函数. .2. 2.二次函数二次函数y ax2的性质的性质(1)(1)抛物线抛物线y ax2（a 0）的顶点是坐标原点，对称轴是的顶点是坐标原点，对称轴是y轴轴.(2).(2)函数函数y ax2的图像与的图像与a的符号关系的符号关系. .当当a 0时时抛物线开口向上抛物线开口向上顶点为其最低点；顶点为其最低点；当当a 0时时抛物线开口向下抛物线开口向下顶点为

2、其最高点顶点为其最高点3. 3.二次函数二次函数y ax2bx c的图像是对称轴平行于的图像是对称轴平行于 ( (包括包括重合重合) )y轴的抛物线轴的抛物线. .224. 4.二次函数二次函数y ax bx c用配方法可化成：用配方法可化成：y ax h k的形式，其中的形式，其中h b， k 4 ac b. .22 a4 a5. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y ax2； y ax2 k； y ax h2； 2y ax h k；y ax2bx c. .6. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点抛物线的三要素：开口方向、对称轴、

3、顶点. .a决定抛物线的开口方向：决定抛物线的开口方向：当当a 0时，开口向上；当时，开口向上；当a 0时，开口向下；时，开口向下；a相相等，抛物线的开口大小、形状相同等，抛物线的开口大小、形状相同 . .平行于平行于y轴轴( (或重合或重合) )的直线记作的直线记作x h. .特别地，特别地，y轴轴记作直线记作直线x 0. .7. 7.顶点决定抛物线的位置顶点决定抛物线的位置 . .几个不同的二次函数，如果几个不同的二次函数，如果二次项系数二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同大小完全相同，只是顶点的位置不同. .8. 8

4、.求抛物线的顶点、对称轴的方法求抛物线的顶点、对称轴的方法b 4acb22(1)(1)公式法：公式法：y ax bxc ax 2a4ab 4acb2（，），对称轴是直线，对称轴是直线xb. .2a4a2a2，顶点是，顶点是欧阳与创编 2021.03.08欧阳与创编 2021.03.08(2)(2)配配方方法法：运运用用配配方方法法将将抛抛物物线线的的解解析析式式化化为为2yaxhk的形式，得到顶点为的形式，得到顶点为 ( (h, ,k) )，对称轴是，对称轴是x h. .(3)(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴

5、的连线的垂直平分线的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点点. .用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失证，才能做到万无一失9. 9.抛物线抛物线y ax2bx c中，中，a,b,c的作用的作用(1)(1)a决定开口方向及开口大小，这与决定开口方向及开口大小，这与y ax2中的中的a完全完全一样一样. .(2)(2)b和和a共同决定抛物线对称轴的位置共同决定抛物线对称轴的位置. .由于抛物线由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线的对称轴是

6、直线x b, ,故：故：2ab 0时，对称轴为时，对称轴为y轴；轴；b 0( (即即a、b同号同号) )时时, ,a对称轴在对称轴在y轴左侧；轴左侧；b 0( (即即a、b异号异号) )时时, ,对称轴在对称轴在y轴右侧轴右侧. .a(3)(3)c的大小决定抛物线的大小决定抛物线y ax2bx c与与y轴交点的位置轴交点的位置. .当当x 0时，时，y c，抛物线，抛物线y ax2bx c与与y轴有且轴有且只有一个交点只有一个交点(0(0，c) )：c 0，抛物线经过原点，抛物线经过原点 ; ; c 0, ,与与y轴交于正半轴交于正半轴；轴；c 0, ,与与y轴交于负半轴轴交于负半轴. .以上

7、三点中，当结论和条件互换时，仍成立以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. .如抛物线如抛物线的对称轴在的对称轴在y轴右侧，则轴右侧，则b 0. .a10.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式函数解析式y ax2y ax2 k开口方向开口方向对称轴对称轴x 0( (y轴轴) )顶点坐标顶点坐标(0,0)(0,0)(0,(0,k) )( (h,0),0)( (h, ,k) )b4ac b2( (，) )2a4ax hbx 2a11.11.用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式当当a 0时时2y ax h开口向上开口向上2y a

8、x h k当当a 0时时开口向下开口向下2y ax bx cx 0( (y轴轴) )x h欧阳与创编 2021.03.08欧阳与创编 2021.03.08 (1) (1)一般式：一般式：y ax2bx c. .已知图像上三点或三对已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式的值，通常选择一般式. . (2) (2)顶点式：顶点式：y ax h2 k. .已知图像的顶点或对称轴，已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式通常选择顶点式. . (3) (3)交点式：已知图像与交点式：已知图像与x轴的交点坐标轴的交点坐标x1、x2，通常，通常选用交点式：选用交点式：y ax x1x x2. .12.1

9、2.直线与抛物线的交点直线与抛物线的交点 (1) (1)y轴与抛物线轴与抛物线y ax2bx c得交点为得交点为( (0 , c) ) (2) (2)与与y轴平行的直线轴平行的直线x h与抛物线与抛物线y ax2bx c有且有且只有一个交点只有一个交点( (h, ,ah2bh c). ). (3) (3)抛物线与抛物线与x轴的交点轴的交点二次函数二次函数y ax2bx c的图像与的图像与x轴的两个交点的轴的两个交点的横坐标横坐标x1、x2，是对应一元二次方程，是对应一元二次方程ax2bx c 0的两个实数根的两个实数根. .抛物线与抛物线与x轴的交点情况轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根

10、的判别式判定：可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点有两个交点 0抛物线与抛物线与x轴相交；轴相交；有一个交点有一个交点( (顶点在顶点在x轴上轴上) ) 0抛物线与抛物线与x轴相切；轴相切；没有交点没有交点 0抛物线与抛物线与x轴相离轴相离. .(4)(4)平行于平行于x轴的直线与抛物线的交点轴的直线与抛物线的交点同同(3)(3)一样可能有一样可能有 0 0 个交点、个交点、1 1 个交点、个交点、2 2 个交点个交点. .当有当有 2 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为标为k，则横坐标是，则横坐标是ax2bx c k的两个实数根的

11、两个实数根. .(5)(5) 一一 次次 函函 数数y kx nk 0的的 图图 像像l与与 二二 次次 函函 数数y ax2bx ca 0的图像的图像g的交点，由方程组的交点，由方程组y kx n的解的数目来确定：的解的数目来确定：2y ax bx c方程组有两组不同的解时方程组有两组不同的解时l与与g有两个交点有两个交点; ;方程组只有一组解时方程组只有一组解时l与与g只有一个交点；只有一个交点；方程组无解时方程组无解时l与与g没有交点没有交点. .欧阳与创编 2021.03.08欧阳与创编 2021.03.08(6)(6)抛抛物物线线与与轴轴两两交交点点之之间间的的距距离离：若若抛抛物物

12、线线y ax2bx c与与x轴两交点为轴两交点为ax1， 0，bx2， 0，由于，由于x1、x2是是 方方 程程ax2bx c 0的的 两两 个个 根根 ， 故故xbcx1x2 ,x1x2aa1313二次函数与一元二次方程的关系：二次函数与一元二次方程的关系：(1)(1) 一一 元元 二二 次次 方方 程程y ax2bx c就就 是是 二二 次次 函函 数数y ax2bx c当函数当函数 y y 的值为的值为 0 0 时的情况时的情况(2)(2)二次函数二次函数y ax2bx c的图象与的图象与x轴的交点有三种情轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二况：有两个交点、有一个交

13、点、没有交点；当二次函数次函数y ax2bx c的图象与的图象与x轴有交点时，交点轴有交点时，交点的横坐标就是当的横坐标就是当y 0时自变量时自变量x的值，即一元二次的值，即一元二次方程方程ax2bxc 0的根的根(3)(3)当二次函数当二次函数y ax2bx c的图象与的图象与x轴有两个交点轴有两个交点时，则一元二次方程时，则一元二次方程y ax2bx c有两个不相等的有两个不相等的实数根；当二次函数实数根；当二次函数y ax2bx c的图象与的图象与x轴有轴有一个交点时，则一元二次方程一个交点时，则一元二次方程ax2bxc 0有两个有两个相等的实数根；当二次函数相等的实数根；当二次函数y

14、ax2bx c的图象与的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程轴没有交点时，则一元二次方程ax2bxc 0没有没有实数根实数根14.14.二次函数的应用：二次函数的应用：(1)(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大就是求函数的最大( (小小) )值；值；(2)(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大运用二次函数的知识解决实际问题中的最大( (小小) )值值15.15.解决实际问题时的基本思路：解决实际问题时的基本思路： (1)(1)理解问题；