数列求和练习奇偶项

1、数列综合（奇偶项）一选择题（共1 小题）1设 an是公比为q 的等比数列，其前n 项的积为tn，并且满足条件：a11，a99a10010，?99-1?100-10给出下列结论： 0 q1； t1981； a99a1011； 使 tn 1 成立的最小的自然数n 等于 199其中正确结论的编号是（）a b cd二填空题（共1 小题）2已知函数f（n）= ?2(当?为奇数时)-?2(当?为偶数时)，且 anf（n）+f（n+1） ，则 a1+a2+a3+a100等于三解答题（共20 小题）3各项均为正数的等比数列 an满足 a23，a42a39（1）求数列 an 的通项公式；（2）设 bn（ 2n

2、1） ?log3a2n+2（ n n*） ，数列 1? 的前 n 项和为 tn，证明： tn124已知数列 an 的前 n 项和 ?= ?2- 2?（ k n*） ，sn的最小值为9（1）确定 k 的值，并求数列an 的通项公式；（2）设 ?= (-1)?，求数列 bn的前 2n+1 项和 t2n+15已知数列 an 满足 a12，?+1+ 2?= (-1)?（n n*） （）求证：数列?-(-1)?是等比数列；（2）设 ?=-2?+1，数列 bn的前 n 项和为 tn，若 tnm 对任意 n n*恒成立，求实数m 的取值范围6设 sn是等差数列 an的前 n 项和，满足 a25，s535，t

3、n是数列 bn 的前 n 项和， 满足 tn2bn1 （ n n*） （）求数列 an，bn的通项公式；（）令 ?= 2?，?= 2?- 1?，?= 2?(?)，设数列 cn 的前 n 项和 pn，求 p2n的表达式7等差数列 an 前 n 项和为 sn，且 s432， s13221（1）求 an 的通项公式an；（2）数列 bn 满足 ?+1-?= ?(?)且 b1 3，求 1?的前 n 项和 tn8设数列 an满足 a1= 1，?+1=44-?（n n*）（1）求证：数列 1?-2 是等差数列；（2）设 bn=?2?2?-1，求数列 bn 的前 n 项和为 tn9设数列 an的前项 n 和

4、为 sn，且满足 a?-12?- 1 = 0(?)（1）求数列 an 的通项公式；（2）是否存在实数 ，使得数列 sn+（n+2n） 为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在， 请说明理由10已知数列 an为等差数列，公差d0， an的部分项组成下列数列：ak1，ak2， akn，恰为等比数列，其中 k11，k25， k317，求 k1+k2+k3+kn11已知数列 an中 a11，且 a2ka2k1+（ 1）k，a2k+1 a2k+3k，其中 k1， 2，3，（i）求 a3，a5；（ii）求 an 的通项公式12设数列 an的首项 a1=12，且 an+1= 12?(?为偶数)?+14(?为

5、奇数)，记 bna2n1-14（n n*）bna2n1-14（ n n*） （1）求 a2，a3；（2）证明： bn 是等比数列；（3）求数列 3?+1? 的前 n 项和 tn13sn为数列 an的前 n 项和已知an0， 2?= ?+12- ?+1- 2，且 a1 2（1）求 an 的通项公式（2）设 ?= (-1)?2，求 c1+c2+c2018的值14设等差数列bn的前 n 项和为 sn，已知 b24，s530（）求 bn的通项公式；（）设 anbncosn ，求数列 an的前 30 项和 t3015已知数列 an中， a1 1，a24，an+14an3an1（n 2） （）证明： an

6、+1an 为等比数列，并求an 的通项公式；（）设 bn= (3?2-?)(-1)?，求?的前 n 项的和 sn16已知数列 an，满足 a11，2anan+1+3an+1 3an；（1）求 an 的通项公式；（2）若 ?= (-1)?+11?+1，求 cn的前 2n 项的和 t2n17已知 sn为数列 an的前 n 项和， ?= 2?-2(?+) ，数列 bn满足 2?= ?+1-?(?+) （）分别求数列an ，bn的通项公式；（）若 ?= ?+ (-1)?，求数列 cn的前 2n 项和 t2n18 已知等比数列 an的前 n 项和为 sn， 数列 ?是公差为1 的等差数列， 若 a12b

7、1， a4 a212， s4+2s23s3（i）求数列 an ，bn的通项公式；（ii）设 cn= ?(?+2)(?为奇数)2?(?为偶数)，tn为cn的前 n 项和，求t2n19已知等差数列 an的前 n 项和味 sn，a10， a1?a2=32，s510（1）求数列 an 的通项公式；（2）记数列 bn= 2?，?为奇数?，?为偶数，求数 bn的前 2n+1 项和 t2n+120已知等差数列 an满足 a37，a5+a726（1）求数列 an 的通项公式；（2）若 bn（ 1）nanan+1，求数列 bn的前 2n 项的和 s2n21已知数列 an的前 n 项和为 sn满足 sn2an1（

8、n n*） （）求数列 an的通项公式；（）求数列bn=(-1)?+12an+3（n n*）的前 2n项的和 t2n22已知数列 an满足 a13，?+1= 2?+ (-1)?(3?+ 1)（1）求证：数列 ?+ (-1)? 是等比数列；（2）求数列 an 的前 10 项和 s10参考答案与试题解析一选择题（共1 小题）1 【解答】 解： a99a1001 0， a12?q1971，（ a1?q98）21a11， q 0，又?99-1?100-10a991，a1001 0q1，即 正确，又 t198a1198?q1+2+197（ a99?a100）991 不正确，a99a101a10021，

9、正确；满足 ?= ?1?-121 的最小自然数n 满足?-12= 99， 即 n199， 正确正确的为故选： d二填空题（共1 小题）2 【解答】 解： anf（n） +f（n+1）由已知条件知，?= ?2-(?+ 1)2= -(2? + 1)?是奇数-?2+ (?+ 1)2= 2?+ 1?是偶数?= (-1)?(2?+ 1)， an+an+12（n 是奇数）a1+a2+a3+a100（ a1+a2）+（a3+a4）+（a99+a100） 2+2+2+2100 故答案为： 100三解答题（共20 小题）3 【解答】 解： （1）设等比数列 an的公比为q，q 0，由 a23， a42a3 9

10、得 3（ q22q） 9，解得 q3 或 q 1因为数列 an 为正项数列，所以q 3，所以，首项a1=?2?= 1，故其通项公式为an3n1，n n* ；（2）证明：由（ 1）得 bn（ 2n1） ?log3a2n+2（ 2n 1）log332n+1（ 2n1） （2n+1） ，所以1?=1(2?-1)(2?+1)12（12?-1-12?+1） ，即有前n 项和 sn=12（1-13+13-15+ ? +12?-1-12?+1）=12（ 1-12?+1）124 【解答】 满分（ 12 分） 解： （1）由已知得 ?= ?2- 2? = (?- ?)2- ?2，因为 k n*，当 nk 时，(

11、?)?= -?2= -9 ，故 k3；所以 ?= ?2-6? 因为 ?-1= (?- 1)2-6(?- 1)，（n2） ，所以 ?= ?- ?-1= (?2- 6?)- (?-1)2- 6(?- 1) ，得 an 2n7（ n2） 当 n1 时， s1 4a1，综上， an2n7（2）依题意， ?= (-1)?= (-1)?(2?-7)，所以?2?+1= 5 - 3 + 1 + 1 - 3 + 5 + ? ? + (-1)2?(4?- 7) + (-1)2?+12(2? + 1) -7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 5 -(2 + 2 + ? + 2)? ? ? ? ? ? ?

12、? ? ? 52n5 【解答】（）证明：?+1-(-1)?+1?-(-1)?=-2?+(-1)?-(-1)?+1?-(-1)?=-2?+2(-1)?-(-1)?= -2 ，（ 3 分）且首项 a1+130，数列 ?- (-1)?是等比数列（解：?=-2?+1=-2?(-1)?-1(3 2?-1-1)(-1)?(3 2?-1)=2?(3 2?-1-1)(32?-1)=23(132?-1-1-132?-1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=23(12-132?-1)13，? 13? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

13、? ? ? ?6 【解答】 解： （） an是等差数列s535， ?5=5(?1+?5)2= 35，a37， a25， d2，ana2+（n2） ?22n+1当 n1 时t12b11， b11当 n2 时tn12bn11又 tn2bn1， bn2bn 2bn1bn2bn1bn是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列?= 2?-1（） ?=?(?1+?)2= ?(? + 2)，2?=2?(?+2)=1?-1?+2设前 2n 项中奇数项的和为an，偶数项的和为bn?= 1 -13+13-15+15-? +12?-1-12?+1= 1 -12?+1=2?2?+1?= ?2?2+ ?4?4+ ? +

14、?2?2?= 5 21+ 9 22+ ? + (4?+ 1) 22?-1 4?= 5 22+ 9 23+? + (4?+ 1) 22?+1 ， 得 ：-3?= 5 21+ 4 (23+ 25+ ? + 22?-1) - (4?+ 1) 22?+1 -3?= 5 21+ 4 23-22?-1?41-4-(4?+ 1) 22?+1，-3?= 5 21+ 4 (-83+22?+13) - (4?+ 1) 22?+1- 3?= -23+ (13- 4?)?22?+1?=(12?-1)?22?+19+29 ?2?=(12?-1)?22?+19+29+2?2?+17 【解答】 解： （1）等差数列 an的

15、公差设为d，前 n 项和为 sn， 且 s432，s13 221可得 4a1+6d32，13a1+78d221，解得 a15，d2，可得 an5+2（n1） 2n+3；（2）由 bn+1bnan2n+3，可得 bn b1+（b2 b1）+（b3 b2）+ +（bnbn1）3+5+7+ +2n+1=12n（2n+4） n（n+2） ，1?=12（1?-1?+2） ，则前 n 项和 tn=12（1-13+12-14+13-15+ ? +1?-1-1?+1+1?-1?+2）=12（32-1?+1-1?+2） 8 【解答】 解： （1）由 ?1= 1，?+1=44-?可得2-?2?-4= -12为常数

16、，从而可得数列 1?-2是 1 为首项， -12为公差的等差数列；（2）由（ 1）知 ?=2?+1，则 ?=?2?2?-1=4?2(2?-1)(2?+1)，= 1 +1(2?-1)(2?+1)，所以： ?= ?+12(1 -13+13-15+ ? +12?-1-12?+1) = ?+12(1 -12?+1)9 【解答】 解： （1）当 n1 时，有 ?-12?-1 = 0(?)，整理得： ?1-12?1-1 = 0，解得：a12， 又由 ?-12?- 1 = 0(?)， 可得 ?+1-12?+1- 1 = 0(?)， 两式相减得12?+1-?=0，即有 an+12an故数列 an是以 2 为首

17、项， 2 为公比的等比数列?= 2?（2）由（ 1）知 q 1，所以 ?=?1(1-?)1-?= 2(2?- 1) 令 ?= ?+ (?+ 2?)?= (?+ 2)2?+ ? - 2，为使 bn为等差数列，则bn是关于 n 的一次函数，所以 2，此时 bn 2n2，当 n1 时， b1 21 2 4当 n2 时， bnbn1 2n2 2（n1） 2 2，所以 ?+ (?+ 2?)? 是以 4 为首项， 2 为公差的等差数列10 【解答】 解：设 an的首项为a1， ak1，ak2，ak3成等比数列，（a1+4d）2 a1（a1+16d） 得 a12d， q=?2?1= 3 akna1+（kn1

18、）d，又 akna1?3n1， kn2?3n11k1+k2+kn2（1+3+3n1） n21-3?1-3- n3nn111 【解答】 解： （i）a2a1+（ 1）10，a3a2+313 a4a3+（ 1）24，a5a4+3213，所以， a33，a513（ii）a2k+1a2k+3ka2k1+（ 1）k+3k，所以 a2k+1 a2k13k+（ 1）k，同理 a2k1a2k33k1+（ 1）k1，a3a13+（ 1） 所以（ a2k+1a2k1）+（a2k1a2k3）+（a3a1）（ 3k+3k1+3） +（ 1）k+（ 1）k1+（ 1），由此得 a2k+1a1=32（3k1）+12（ 1

19、）k1，于是 a2k+1=3?+12+12(-1)?-1.a2ka2k1+（ 1）k=3?2+12（ 1）k11+（ 1）k=3?2+12（ 1）k1 an的通项公式为：当n 为奇数时， an=3?+122+ (-1)?-1212-1；当 n 为偶数时， ?=3?22+ (-1)?212-1.12 【解答】 解： （1）?2= ?1+14=34，?3=12?2=38（2）证明：因为 ?= ?2?-1-14，所以 ?+1= ?2?+1-14=12?2?-14=12(?2?-1+14) -14=12(?2?-1-14)即?+1=12?而 ?1= ?1-14=140，所以 bn是以14为首项，公比为

20、12的等比数列（3）?= ?1(12)?-1= (12)?+1，所以3?+1?= （3n+1）2n+1所以 ?= (3 1 + 1)22+ (3 2 + 1)23+ ? + (3?+ 1)2?+12?= (3 1 + 1)23+ (3 2 + 1)24+ ? + (3?- 2)2?+1+ (3?+ 1)2?+2两式相减得： ?= (3?+ 1)2?+2- 3(23+ 24+ ? + 2?+1) - 16即?= (3?- 2)2?+2+ 813 【解答】 解： （1）可得 2?-1= ?2- ?-2（ n2）两式相减得，2?= ?+12- ?2-?+1+ ?，即（ an+1+an） （an+1a

21、n1） 0，又 an 0， an+1 an10，即 an+1an1（n2）由已知可得 ?22-?2- 6 = 0，a2 3， a2 a11，故 an 为等差数列，ann+1（2）an n+1， ?= (-1)?2= （ 1）2（n+1）2?1+ ?2+ ? ?2018= -22+ 32-42+ 52-? + 201925+9+13+4037=5+403721009 = 203918914 【解答】 解： （）等差数列 bn的公差设为d，前 n 项和为 sn，b24，s530，可得 b1+d 4，5b1+10d30，解得 b1d2，可得 bn2n，n n* ；（） anbncosn= 2?，?为

22、偶数-2?，?为奇数，则数列 an的前 30 项和 t30（ 26 215）+（4+8+ +230）=1215（ 230）+12 15（ 4+60） 24015 【解答】 证明： （）：数列 an 中， a11，a24，an+14an3an1（ n2） ，an+1an3an3an1 3（anan1） ， a2 a1413数列 an+1an是首项为3，公比为3 的等比数列，an+1 an3n，a2a131，a3a2 32， anan13n1，ana1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1） 1+3+32+33+3n1=1-3?1-3=3?-12，（） bn（3?2-3?-12） ? （1）n

23、n=12? （ 1）nn，当 n 为偶数时， sn=12（ 1+2）+（ 3+4）+（ 5+6）+ +（ n+1+n）=12?2=?4，当 n 为偶数时， sn=12（ 1+2）+（ 3+4）+（ 5+6）+（ n+2+ n1） n=12（?-12- n）= -?+14，sn= ?4，?为偶数-?+14，?为奇数16 【解答】 解： （1）由 2anan+1+3an+13an，得1?+1=1?+23，所以1?+1-1?=23，所以数列 1?是首项为1，公差为23的等差数列，所以1?= 1 +23(?-1) =23?+13，即 ?=32?+1（2）设 ?2?-1+ ?2?=1?2?-1?2?-1

24、?2?2?+1= (1?2?-1-1?2?+1)1?2?，所以1?2?-1-1?2?+1= -43，即?2?-1+ ?2?= -43?1?2?，?2?=1?1?2-1?2?3+1?3?4-1?4?5+ ? +1?2?-1?2?-1?2?2?+1= -43(1?2+1?4+ ? +1?2?) = -43?(53+43?+13)2= -89?2-43? 17解： （i）?= 2?- 2(?+) n2 时， ansnsn12an2（ 2an12） ，化为： an2an1n1 时， a12a12，解得 a12数列 an是等比数列，首项与公比都为2 an2n数列 bn满足 2?= ?+1- ?(?+)

25、2?= an12n+1， bn n+1（ii）?= ?+ (-1)?= 2n+（ 1）n（ n+1） ，数列 cn的前 2n 项和 t2n=2(22?-1)2-1+ （32） +（54）+ +（ 2n+12n） 22n+12+n18 【解答】 解： （i）等比数列 an 的公比设为q，前 n 项和为 sn，数列 ?是公差为d1 的等差数列，即有?= t+n1，即 bnn（t+n1） ，若 a12b1t，a4a212， s4+2s23s3，可得 tq3tq12，s4s32（s3s2） ，即为 a4 2a3，即 q=?4?3= 2，解得 t 2，可得 an2n；bnn2；（2）cn= ?(?+2)

26、(?为奇数)2?(?为偶数)，即为 cn= 1?(?+2)，?为奇数21-?，?为偶数，t2n（ c1+c3+c2n1）+（c2+c4+c2n）113+135+ ? +1(2?-1)(2?+1)+（12+18+ ? +122?-1）=12（ 1-13+13-15+ ? +12?-1-12?+1）+12(1-14?)1-14=12-12?+1?12+23（1-14?） =76-12?+1?12-23?14?19 【解答】 解： （1）由条件可得：?1(?1+ ?)=325?1+542?= 10? ?1(?1+ ?)=32?1+ 2?= 2消去 d 得： ?12+ 2?1- 3 = 0，解得 a11 或 a1 3（舍），所以 ?=12，所以 ?=?+12（2）由（ 1）得： ?= 2?+12，?为奇数?+12，?为偶数，所以数列 bn的前 2n+1 项和为：?2?+1= ?1+ ?2+ ?3+ ?4+ ? + ?2?+ ?2?