平行四边形矩形菱形

1、第三讲 平行四边形的概念和性质一、有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，用符号“ ”表示，如图：“ ABCD”.二、平行四边形的性质：平行四边形对边互相平行（定义）平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等，邻角互补。平行四边形的对角线互相平分三、平行四边形性质的引申： ABCDOEF A F D B E C ABCDOS1S2S33S4ABCD 一、周长的有关题型：ABCDO例1. 如图，已知 ABCD的周长是28cm，ABC的周长是22cm， 则AC的长为（ ）ABCD A D A D OB C B C例2.如图，已知 ABCD的周长是60cm，对角线AC，BD相交于点O，AOB的周长比

2、DOA的周长少5cm。（1）求这个平行四边形各边的长。（2）若AOB的面积是 a cm2，求点D到直线BC的距离。ABCDEFHNO A CBED例3.如图在 ABCD中，EF AD，HNAB，则图中平行四边形有（ ）个 例4.如图，在 ABCD中，过点C的直线CEAB，垂足为E，若EAD=53° 则BCE的度数为（ ）ABCDEFABCDE例5.如图，在 ABCD中，已知AD=8，AB=6，DE平分ADC交BC边于点E，则BE长为_ 练习1:：如图，在 ABCD中，AEBC于E，AFCD于F，若AE=4，AF=6， ABCD的周长为40，求 ABCD的面积。练习2：在 ABCD中，

3、AD边与BC边的长度之和恰好是AB边与 CD边长度之和的2倍，又知AB=3，求该平行四边形的周长。 二、面积有关题型（5个引申）：例1.点E为平行四边形ABCD的一边AD上任意一点，若EBC的面积为S1，平行四边形ABCD的面积为S，则下列S与S1的大小关系是（ ）AEBDCS1 ABCDOEFABCDO例2.在 ABCD中，AC，BD相交于点O，若BOC的面积为3，则ABCD的面积为_例3.如图，在 ABCD中，EF过对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，AB=4，BC=5，OE=1.5，四边形ABFE的周长为_思考：一位老人有一块平行四边形形状的土地，如图所示，记为 ABCD，老人临

4、终前对两个儿子说：“这块土地，你们兄弟俩平分，但水井（图中点O位置）共用。”怎样才能按老人的要求平分土地？三、 综合题型：ADBECFO例1.如图，已知 ABCD中，BCD的平分线CE交AD于点E，ABC 的平分线BG交CE于点F，交AD于点G。求证：（1）BFC=90° （2）AE=DGABCDFGE 例2.如图在 ABCD中，AD=2AB，E,A,B,F在同一直线上，且EA=AB=BF。 求DOC的度数。例3.如图，四边形ABCD为平行四边形，且EAD=BAF.（1）试说明CEF是等腰三角形；（2）猜测CE与CF的和与平行四边形ABCD的周长有何关系，并说明理由。ABFDCE简单

5、易错：ABCDABCD1.在 ABCD中，AE平分BAD，交BC于点E，将BC分为3cm和5cm 两部分，则 ABCD的周长为_ 2.在 ABCD中，若B=60°，AE是 ABCD的高，则EAD=_DABCOABCDG3.过ABCD的对角线的交点G作直线，分别交直线AB于点E，交直线 CD于点F，若AB=6，AE=4，则DF长是_ 4.如图，在ABCD中，对角线，AC,BD相交于点O，如果 AC=14，BD=8，AB=x，那么x的取值范围是_第四讲 平行四边形的判定中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。定义：有两组对边互相平行的四边形是平行四边形判定定

6、理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定定理2：对角线互相平分的四边形是平行四边形判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1，如图四边形ABCD中，ABCD，要使四边形ABCD是平行四边形，则可添加的条件为_.ABC2，已知四边形ABCD，有下列四个条件：AB CD；AB=CD；BC AD；BC=AD。从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法共（ ）种3，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四组条件：AB CD，AD BC； AB=CD，AD=BC；AO=CO,BO=DO； AB CD，AD

7、=BC。其中能判定这个四边形是平行四边形的条件有哪几组？例1.如图，ABCD中，E、F、G、H分别是四条边上的点，且AE=CF， BG=DH求证：EF与GH互相平分 例2.如图，在ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且BF=DE，连接AE、 CE、AF、CF求证：四边形AECF是平行四边形例3.如图，在ABCD中，DE平分ADC交CB的延长线于E，BF平分ABC交AD的延长线于F求证：四边形BFDE是平行四边形1.如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，点E在BC上，点F在AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O求证：点O是BD的中点 2.如图，BD是ABCD的对角线，AEB

8、D于点E，CFBD于点F求证：四边形AECF为平行四边形ABCDEHF3.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AF与EB交于点G，CE与DF交于点H求证：四边形EGFH为平行四边形 4.如图，ABCD为平行四边形，BE=DF，AG=CH求证：四边形EHFG为平行四边形第五讲 矩形 菱形矩形的性质：矩形的四个角都是_. 矩形的对角线_. 平行四边形所具有的性质矩形也都具有.矩形的判定：_ _ _CD例1.（2012.安徽）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到PDA，PAB，PBC，PCD，设他们的面积分别是S1,S2,S3,S4，给出下列结

9、论：S4 S1+S2=S3+S4 s1 S2+S4=S1+S3S3 若S3=2S1,则S4=2S2S2 若S1=S2,则P点在矩形的对角线上。BA 其中正确的序号有_ABCDE例2.（2012.黑龙江鸡西）如图，沿DE折叠矩形ABCD的一边，使点C 落在AB边上的点F处，若AD=8，且AFD的面积是60，则DEC的面积是_ADCBO例3.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点，若OBC=25°，则BOE=_ 。例4.矩形的两条对角线所夹的一个钝角为120°，那么矩形较短边与较长边的比 是_ADCBO变式 :矩形的两条对角线的夹角为60°，

10、一条对角线与短边的和为12，则对角线长为_，短边长为_DCBAOEM 如图.在矩形ABCD中，CEBD于点E，DCE:BCE=3:1，且M为OC的中点，求证：MEAC例1.如图，四边形ABCD中，BE=DF，AC与EF互相平分于点O，B=90° 求证：四边形ABCD是矩形DCBAF OEDCBE例2. 已知E为ABCD外一点，且AEEC，BEED 求证：ABCD是矩形例3.如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H， 求证：四边形EFGH为矩形练习：如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连结BF（1

11、）求证：D是BC的中点（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论ACBD菱形的性质：菱形的四条边都_ 菱形的两条对角线_，并且每一条对角线_.菱形的判定：_ _ _菱形的面积计算：（底×高)ACBD （两条对角线的积÷2）1.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）A、ACBD，AC与BD互相平分 B、AB=BC=CD=DAC、AB=BC.AD=CD，且ACBD D、AB=CD，AD=BC，ACBDACBD2.如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是（ ）A、四边形ABCD是平行四边形B、ACBDC、ABD是等边三角形D、CAB=CAD3.已知

12、菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3:4，则菱形的面积为_.变式：已知菱形的两对角线之和为14cm，菱形的周长为20cm， 则其面积为_.ABCEOF例1.如图，在ABCD中，O是AC的中点，过点O作AC的垂线，与AD，BC分别相交于点E、F。求证：四边形AFCE是菱形 例2.菱形ABCD中，B=60°，一块三角板的60°角的顶点绕点A转动，两边分别交BC、CD于点E、F（1）说明ABC、ACD都是等边三角形（2）判断AEF的形状，说明理由？（3）如果AB=2，写出CEF的周长的最小值 例3.一次数学课上，老师让大家在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，折出一个菱形甲

13、同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一）乙同学沿矩形的对角线AC折出CAE=DAC，ACF=ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是哪一种        例4.（2005南充）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别为AB，BC边上的中点，则MP+NP的最小值是（） 例3.如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，BCF=

14、120°，求菱形BCFE的面积 例4.ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C 重合），ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？例5.（2012自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120°，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、 F不与B、C、D重合（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总

15、有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大 （或最小）值例6.已知：四边形ABCD是菱形，AB=6，B=MAN=60°绕顶点A 逆时针旋转MAN，边AM与射线BC相交于点E（点E与点B不重合）， 边AN与射线CD相交于点F                    （1） 当点E在线段BC上

16、时，求证：BE=CF；（2） 设BE=x，ADF的面积为y当点E在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围；（3） 连接BD，如果以A、B、F、D为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE的长第六讲 三角形与四边形之中点问题题目中出现中点时：1、 倍长中线（普通的一个中点，题目需要借助全等来转化角或边）2、连出“三线合一”的线（等腰三角形出现底边上的中点时）3、 连出斜边上的中线（出现Rt斜边上的中点时）4、构造中位线（出现多个中点时）。注意：要将此中位线放到三角形中例1. 在ABC中，BD，CE是高，M为BC的中点， MFDE，F为垂足，求证：EF=DF变式.如图，AB

17、C中，BD、CE是ABC的两条高，点F、M分别是DE、 BC的中点求证：FMDE 例2、如图，四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC、AB的中点，直线EF分别与BC、AD的延长线相交于G、H，求证：AHF=BGF练习：在ABC中，ACAB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若EFC=60°，连接GD，判断AGD的形状并证明。例3（2007广州）已知：在RtABC中，AB=BC，在RtADE中， AD=DE，连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，探索BM

18、、DM的关系并给予证明；（2）如果将图1中的ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明 练习，.已知：ABD和ACE都是直角三角形，且ABD=ACE=90°。如图甲，连接DE，设M为DE的中点（1）说明：MB=MC；（2）设BAD=CAE，固定ABD，让RtACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB=MC是否还能成立？并证明其结论例4.如图，梯形ABCD中，ADBC，BCAD，E、F分别是AC、BD的中点，（BC-AD） 求证：EF= 例5.（2009绥化）如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，求证：BME=CNE        问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断OMN的形状，