浅谈高考数列题的解题策略

1、浅谈高考数列题的解题策略 数列是高中数学的重要内容，也是中学数学联系实际的主渠道之一.它与函数、方程、不等式、三角函数、解析几何的关系十分密切，解题中可能涉及到的的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种方法与技巧在中学数学中也有着十分重要的地位.因此，围绕数列命制的综合性较强的试题 历年来都是高考的重点和热点 .这些试题主要考察学生的运算能力、逻辑思维能力、分析和解决问题的能力、数学归纳能力及综合创新能力.由于高考数列题常考常新,因此,探求一些常用方法与解题策略是十分重要的.本文就近年高考真题来谈谈数列题的题型与应对的解题策略，希望对同学们的解题有所帮助.题型一 等差数

2、列与等比数列的证明 翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是否是等差（等比）数列的题目比比皆是，如何处理这些问题呢？主要有两种方法：利用等差（等比）数列的定义；运用等差（等比）中项的性质.例1(2015年高考（江苏）) 设是各项为正数且公差为d的等差数列. （1）证明：依次成等比数列； （2）是否存在，使得依次成等比数列？并说明理由； （3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列？并说明理由.分析: 在数列中，若且为常数）或且为常数，则数列为等差（等比）数列这是证明数列为等差（等比）数最主要的方法定义法. （1）证明：因为是同一个常数，所以依次构成等比数列.（2）令，则，分别为，（，）假设存在，

3、使得，依次构成等比数列，则，且令，则，且（，），化简得（），且将代入（）式，则显然不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在，使得，依次构成等比数列（3）假设存在，及正整数，使得，依次构成等比数列，则，且分别在两个等式的两边同除以及，并令（，），则，且将上述两个等式两边取对数，得，且化简得，且再将这两式相除，化简得（）令，则令，则令，则令，则由，知，在和上均单调故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立所以不存在，及正整数，使得，依次构成等比数列点拨：本题主要考查等差、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考察代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.例

4、2 (2005年高考（江苏）)设数列的前项和为，已知，且，其中为常数.（1）求与的值；（2）证明：数列为等差数列.分析: 是等差数列，是等比数列，这是证明数列为等差（等比）数列的另一种方法其中公式在解题中起到重要作用.解:（1）由已知，得，,由，知，即解得.(2) 由（1）得 所以 -得 所以 -得 即 因为 所以 因为 所以 所以 ， ，又 所以数列为等差数列点拨：本题通过公式的使用试图将的关系转化成通项之间的递推关系，学生一般做到式时，就失去了再做下去的勇气.若再使用一次公式，不仅消去了常数项，还找到了相邻三项之间的关系，真可谓“柳暗花明”！题型二 数列的通项与求和数列求和是数列的重要内容

5、之一，也是高考数学的重点考察内容.笔者分析近几年高考数学试卷数列部分的命题趋向，发现近年来这部分试题越来越灵活，不再局限于考察学生对等差、等比数列通项和求和公式的直接应用，而是将重点转移到考察学生对公式掌握的熟练程度和综合解决问题的能力.笔者认为要熟练掌握数列通项与求和就必须：掌握常见的几种数列的求通项与求和的方法；强化“化生为熟，化繁为简”的解题意识.例3 （2012年高考（江西文）已知数列的前项和(其中为常数),且.()求;()求数列的前项和.分析:第（）问中，借助公式进行转换，明确通项公式，然后借助两个已知条件求解，注意对进行验证；第（）问中，根据通项公式结构的特点：一个等差数列与一个等

6、比数列的乘积，故采用错位相减法求解.解:( )当时, 则 , ,.,即,解得,当时, ,综上所述 .(),则 (1) (2)(1)-(2)得 解得：点拨：本题主要考察等差数列的通项公式和前项和等基础知识，意在考察学生运算能力和分析问题、解决问题的能力. 求数列通项的常用方法有：定义法；累差法；累乘法；构造法；归纳、猜想法等.数列前n项和常用求法有：公式法；错位相减法；裂项相消法；倒序相加法；并项求和法；分组求和法等.在解题过程中，要视具体情形选用合适的方法，这里不再一一举例.题型三 数列与不等式的综合数列与不等式的综合题主要以压轴题的形式出现，除了涉及数列的通项公式、前项和公式以及二者之间的关

7、系，还涉及到函数与导数、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求等问题.主要用于考查学生对知识的灵活变通能力、融合与迁移能力，考查数学视野的广度和进一步学习数学的潜能例4（2006年高考（湖北理）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点 均在函数的图像上（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.分析：第（1）问中由可求得;第（2）问可利用裂项相消的方法求和, 不等式的恒成立问题可转化为最值问题求解. 解：（1）依题设，则，又由得,，所以，当时，当时，也符合上式， （2）由（1）得，因此，要求使成立的最小正整数

8、，只要求得的最大项，由于随着的增大而增大，故当时，故令，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.点拨：恒成立问题的处理方法有分离参数、数形结合、分类讨论等.由于数列是特殊的函数，因此在遇到数列中的不等式恒成立问题，也可以采取类似的方法去处理.题型四 数列推理问题在高考中，还有一类数列问题经常用数表或图形给出，或者根据新信息解题，这对考察学生的创新能力提出了较高的要求.解这类问题要先读懂题意，从题目中获取有用信息，然后根据相关知识作进一步的演算和推理.例5（2011陕西理）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第个等式为 .分析:

9、把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数，加数的个数是，等式右边都是完全平方数.解： 行数 等号左边的项数1=1 1 12+3+4=9 2 33+4+5+6+7=25 3 54+5+6+7+8+9+10=49 4 7 所以，即点拨：归纳总结时，看等号左边的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论行数、项数及其变化规律是解答本题的关键题型五 数列应用问题数列作为特殊的函数，涉及实际应用的问题广泛而多样，诸如银行信贷，生产产品的增长率，分期付款等问题，运用数列知识解决实际应用问题时，应在认真审题的基础上，认准问题的哪一部分是数列问题？是哪种数列（等差数列、等比数列）的

10、问题？在 中哪些量是已知的，哪些量是待求的？特别要认准项数为多少.总之，充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出等差（比）数列、递推数列的模型，再综合运用其它相关知识来解决问题.例6 （2011年高考（湖南文）某企业在第年初购买一台价值为万元的设备，的价值在使用过程中逐年减少，从第年到第年，每年初的价值比上年初减少万元；从第年开始，每年初的价值为上年初的（I）求第年初的价值的表达式； （II）设若大于80万元，则继续使用，否则须在第年初对更新，证明：须在第年初对更新分析：构造等差、等比数列的模型，然后利用数列的通项公式和求和公式进行求解.注意求数列的和时要分类讨论，求范围时要借助数列的单调性.解

11、：（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列 ，当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以 ，因此，第年初，的价值的表达式为(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得当时，当时，.因为是递减数列，所以是递减数列，又所以须在第年初对更新点拨：在将实际问题转化为数列问题时，要注意：（1）分清是等差数列还是等比数列；（2）分清是求，还是求.例7 （2012年高考（湖南文）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元.()用表示,并写出与的关系式;()若公司希望经过年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业