实际问题与一元二次方程实用教案

1、 要设计一本书的封面,封面长27,宽21,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积(min j)是封面面积(min j)的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?2721分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央(zhngyng)的矩形两边之比也为9:7解法一:设正中央的矩形两边(lingbin)分别为9xcm，7xcm依题意得21274379 xx解得 2331x),(2332舍去不合题意x故上下边衬的宽度为:左右边衬的宽度为:8 . 143275422339272927 x4 . 143214222337212721 x第1页/共2

2、2页第一页，共22页。 要设计一本书的封面,封面长27,宽21,正中央是一个与整个(zhngg)封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?2721分析(fnx):这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7解法二:设上下边(xi bian)衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得212743)1421)(1827(xx解方程得4336x(以下同学们自己完成)方程的哪个根合乎实际意义?为什么?第2页/共22页第二页，共22页。例1. (2004

3、年,镇江)学校为了美化校园环境，在一块(y kui)长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块(y kui)长9米、宽7米的长方形花圃.（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案.（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.第3页/共22页第三页，共22页。解: (1)方案1：长为 米，宽为7米;719方案(fng n)2：长为16米，宽为4米;方案(fng n)3：长=宽=8米;注：本题(bnt)方案有无数

4、种（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加2平方米.由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃的长为x米，则宽为（16-x）米.x(16-x)=63+2， x2-16x+65=0，046514)16(422acb此方程无解.在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米第4页/共22页第四页，共22页。1、用20cm长的铁丝能否折成面积(min j)为30cm2的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.解:设这个(zh ge)矩形的长为xcm,则宽为 cm,)220(x30)220( xx即x2-10 x+30=0这里a=1,b=10,c=30,020301

5、4)10(422acb此方程无解.用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.第5页/共22页第五页，共22页。例2：某校为了美化校园,准备(zhnbi)在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.(1)(2)第6页/共22页第六页，共22页。(1)解:(1)如图，设道路(dol)的宽为x米，则540)220)(232(xx化简得，025262xx0) 1)(25(xx1,2521xx其中(qzhng)的

6、x=25超出了原矩形的宽，应舍去.图(1)中道路(dol)的宽为1米.第7页/共22页第七页，共22页。则横向(hn xin)的路面面积为 ，分析：此题的相等关系是矩形面积(min j)减去道路面积(min j)等于540米2。解法(ji f)一、 如图，设道路的宽为x米，32x 米2纵向的路面面积为 。20 x 米2注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2所列的方程是不是32 20(3220 )540 xx？图中的道路面积不是3220 xx米2。(2)第8页/共22页第八页，共22页。而是从其中减去重叠部分，即应是23220 xxx米2所以正确的方程是：232 203220540 xxx化简

7、得，2521000,xx其中(qzhng)的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.取x=2时，道路总面积为：232 2 20 2 2 =100 (米2)草坪面积=32 20 100= 540（米2）答：所求道路(dol)的宽为2米。122,50 xx第9页/共22页第九页，共22页。解法二： 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面(lmin)的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）第10页/共22页第十页，共22页。(2)(2)横向(hn xin)路面 ，如图，设路宽为x米，32x米2纵向路面(lmin)面积为 。20

8、x米2草坪(copng)矩形的长（横向）为 ，草坪矩形的宽（纵向） 。相等关系是：草坪长草坪宽=540米2(20-x)米（32-x)米即3220540.xx化简得：212521000,50,2xxxx再往下的计算、格式书写与解法1相同。第11页/共22页第十一页，共22页。1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直(chuzh),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?解:设道路(dol)宽为x米，则570)220)(232(xx化简得，035362xx0) 1)(35(xx1,3521xx其中

9、的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.答:道路的宽为1米.第12页/共22页第十二页，共22页。2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周(szhu)外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.ABCD解:设小路(xio l)宽为x米，则2015246)215)(220(xx化简得，01233522xx0)412)(3(xx241,(321xx舍去）答:小路的宽为3米.第13页/共22页第十三页，共22页。例3. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面(y min)利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃

10、的宽AB为x米，面积为S米2，（1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？【解析】(1)设宽AB为x米，则BC为(24-3x)米，这时面积S=x(24-3x)=-3x2+24x(2)由条件-3x2+24x=45化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3024-3x10得14/3x8x2不合题意(t y)，AB=5，即花圃的宽AB为5米第14页/共22页第十四页，共22页。1.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积(min j)为81m2,应该怎么设计?解:设苗圃(miop)的一边长为xm,则81)18( xx

11、化简得，081182xx0)9(2 x答:应围成一个边长为9米的正方形.921xx第15页/共22页第十五页，共22页。 例4某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口(shngku)宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m （1）渠道的上口(shngku)宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口(shngku)宽为x+2， 渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模第16页/共22页第十六页，共22页。解：（1）设渠深为xm 则渠底为（x+0.4）m，上

12、口(shngku)宽为（x+2）m依题意(t y)，得：6 . 1)4 . 02(21xxx整理(zhngl)，得：5x2+6x-8=0 解得：x1=0.8m，x2=-2（不合题意,舍去）上口宽为2.8m，渠底为1.2m（天）25487501.6(2)答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道第17页/共22页第十七页，共22页。1.如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为【 】A400cm2 B500cm2 C600cm2 D4000cm22. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如

13、图所示，如果要使整个(zhngg)挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是【 】Ax2+130 x-1400=0 Bx2+65x-350=0Cx2-130 x-1400=0 Dx2-65x-350=03.如图，面积为30m2的正方形的四个角是面积为2m2的小正方形，用计算器求得a的长为（保留3个有效数字）【 】A2.70m B2.66m C2.65m D2.60m80cmxxxx50cmaABC第18页/共22页第十八页，共22页。4如图，是长方形鸡场(j chn)平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场(j chn)的长、宽分别为_第19页/共22页第十九页，共22页。5、围绕长方形公园(gngyun)的栅栏长280m.已知该公园(gngyun)的面积为4800m2.求这个公园(gngyun)的长与宽.