高等数学教学课件：Lecture 16-Review Session III

1、 导导数数一、主要内容一、主要内容微分微分第二章第二章 习题课习题课二二、典型例题、典型例题求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数高阶导数高阶导数一、主要内容一、主要内容0limxyx微微 分分dyyx 关系关系dddd()dyyyy xyyoxx 1. 导数导数的定义的定义定义定义右导数右导数:左导数左导数:00000()()limlim.x xxxf xxf xyyxx 0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 函数函数 在点在点 处可

2、导处可导 左导数和又导数都左导数和又导数都存在且左右相等存在且左右相等.( )f x0 x2、基本导数公式、基本导数公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx （常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxx arc3、求导法则、求导法则(1) 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求

3、导法则(2) 反函数的求导法则反函数的求导法则设设 可导，则可导，则( ),( )uu x vv x()uvuv()uvu vuv2( )(0)uu vuvvvv ()cucu (c 为常数为常数)如果函数如果函数 的反函数为的反函数为( )xy ( ),yf x 1( ).( )fxx 则有则有(3) 复合函数的求导法则复合函数的求导法则(4) 对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围:设设 而而 ，则复合函数，则复合函数( ), ( )yf uux ( )yfx 的导数为：的导数为：ddd(

4、 )( )( ).dddyyuy xfuxxux 或或多个函数相乘和幂指函数多个函数相乘和幂指函数 的情形的情形.( )( )v xu x(5) 隐函数隐函数求导法则求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.(6) 参变量参变量函数的求导法则函数的求导法则若参数方程若参数方程 确定确定 y 与与 x 的函数关系的函数关系,( )( )xtyt 则则dd( )d;dd( )dyyttxxtt 22d.dttyxt 4、高阶导数、高阶导数记作记作二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称

5、为高阶导数)0()( )( )lim,xfxxfxfxx 二阶导数二阶导数2222dd( )( ), , .ddyf xfxyxx或或33d( ), , .dyfxyx( )( )dd( )d( ), , , ( ( )dddnnnnnnnnyf xfxyf xxxx或或一般地一般地，函数，函数 的的 阶阶导数的导数导数的导数称为函数称为函数 的的 n 阶阶导数导数,( )f x( )f x1n 5、微分的定义、微分的定义定义定义6、导数与微分的关系、导数与微分的关系7、 微分的求法微分的求法求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.00()()()d.yf x

6、xf xAxoxyAx 定理定理 : 可微可微 可导，且可导，且0().Afx d( )dyfxx 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式122d()0 d()dd(sin )cos d d(cos )sin dd(tan )secd d(cot )cscdd(sec )sectan d d(csc )csccot dCxxxxx xxx xxx xxx xxxx xxxx x 2222d()ln d d()d11d(log)dd(ln )dln11d(arcsin )dd(arccos )d1111d(arctan )dd(arccot )d11xxxxaaaa xeexxxxxxax

7、xxxxxxxxxxxx 无论无论 x 是自变量还是中间变量，函数是自变量还是中间变量，函数 的的 微分形式总是微分形式总是 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则8、 微分的基本法则微分的基本法则 微分形式的不变性微分形式的不变性d()(0)uvv (C 为常数为常数)d()dduvuvd()dCuC u d()dduvv uu v2ddv uu vv d( )dyfxx ( )yf x 解解二、典型例题二、典型例题例例1 (0)f 求求( )(1)(2)(100),f xx xxx0( )(0)(0)lim0 xf xffx 0lim(1)(2)(100)xxxx100!

8、 23(1)(7) (1) ,yxxx(6)(2)?y 解解:在在处连续处连续,且且求求( )f x2x 2( )lim3,2xf xx (2) .f 例例2. 设设(2)f 2lim( )xf x2( )lim(2)(2)xf xxx 0 2( )(2)(2)lim2xf xffx 2( )lim2xf xx 3 例例3. .若若且且存在存在 , 求求解解: 1)cos(sinlim20 xxx原式原式 =220)cos(sinlimxxxfx 且且0)1( f联想到凑导数的定义式联想到凑导数的定义式220)1cossin1(limxxxfx 1cossin2 xx1cossin2 xx)1

9、(f )1(f )211( )1(21f x(1)0f (1)f 20(sincos )lim.(e1)tanxxfxxx 2350( )( )0 xxf xfxxx ，求求例例4 设设解法解法 2 当当 时，时，0 x 2( )5, ( )2 ,f xxfxx 当当 时，时，0 x 32( ), ( )3,f xxfxx 当当 时，时，0 x (0)5,(0)50ff 解法解法 123(5) ,0( )() ,0 xxfxxx 22 ,03,0 x xxx 2350( )( )0 xxf xfxxx ，求求例例4 设设解法解法 3 当当 时，时，0 x 2( )5, ( )2 ,f xxfx

10、x 当当 时，时，0 x 32( ), ( )3,f xxfxx 当当 时，时，0 x 20(5)5(0)lim0 xxfx 305(0)limxxfx (0)!f 不不存存在在( )fa 是一个双侧极限，与是一个双侧极限，与 的一个邻域内的的一个邻域内的函数值有关函数值有关.xa 存存在在存存在在存存在在存存在在hhafafhhafhafhhafhafafhafhhhhh)(lim )D()(lim )C()(2lim )B()(1lim )A(000 例例 设设 在在 的某个邻域内有定义，则的某个邻域内有定义，则 在在 处可导的一个充分条件是处可导的一个充分条件是( )( )f xxa (

11、 )f xxa 例例5 设设3( )sin , (0).f xxxf 求求解法解法 1 根据求导法则根据求导法则,cos31xx 3231)(xxf xsin0( )xfx 无意义无意义(0).f 不不存存在在解法解法 1 根据导数定义根据导数定义xxxx0sinlim310 . 0 )0(f 0)0()(lim0 xfxfxxxxxsinlim30 xxxxxsinlimlim030 例例6 设设 在在 处连续，处连续， 解解( )x xa ( )() ( ),( ).f xxaxfa 求求( )( )()( ),fxxxax( )( ).faa ( )( )( )limxaf xf afa

12、xa () ( )0limxaxaxxa lim ( )xax ( ).a 例例7 设设解解 分析分析:dd,ddxytt不不存存在在不能用公式求导不能用公式求导.22d,d54xttyxytt t 求求当当 时，时， 导数不存在导数不存在, 从而从而0t | | t当当 时时0t 223d(9), 6d(3 )9xtyttxtyt 22d(), 2d( )xtyttxtyt 当当 时时0t 例例8 设设解解先去掉绝对值先去掉绝对值;43)(2xxxf ;43)(2xxxf ( )(2) ,f xx x x222(2),0( )(2),02,(2),2xxxf xxxxxxx 当当 时，时，2

13、0 xx或或当当 时，时，02x 00(0)limxf xffx 2020lim0,xxxx 00(0)limxf xffx 2020lim0,xxxx (0)(0)0,ff(0)0;f ( ).fx 求求( )2f xx在在处不可导处不可导.2( )(2)(2)lim2xf xffx 22(2)lim2xxxx 4. 2( )(2)(2)lim2xf xffx 22(2)lim2xxxx 4. (2)(2),ff 2234 ,2,0( )0,0,34 ,02,xxxxfxxxxx 或或解解:,试确定常数试确定常数a , b使使 f (x) 处处可导处处可导,并求并求2(1)(1)e( )li

14、me1n xn xnxaxbf x ( ).fx 例例9. 设设( )f x ,axb 12(),1a b2,x1x 1x 1x 当当 时，时，1x ( );fxa 当当 时，时，1x ( )2 .fxx 处可导，需要满足处可导，需要满足( )1f xx 在在要使得函数要使得函数 即即(1 )(1 )(1)fff(1)(1)ff ab 1 112()ab2a 当当 时，时，1x ( );fxa 当当 时，时，1x ( )2 .fxx (1)f 存存在在即即ab 1 112()ab2a 2,1,ab (1)2f 2,1( )2 ,1xfxxx 是否为连续函数是否为连续函数 ?( )fx 判别判别

15、:2009()(0)limlim03()xtytfxt 200()(0)limlim0()xtytfxt (0)0f 当当 时时0t 例例 10 设设，其中函数其中函数具有二阶连续的导数，且具有二阶连续的导数，且1.确定确定的值使的值使为连续函数；为连续函数；在在处的连续性处的连续性.2. 求求3. 讨论讨论解：解：0 x ( )fx ( )fx a( )f x(0)1 ( )x cos,0,0 xxxf xxax 000( )cos( )sin(1) lim( )limlim(0)1xxxxxxxf xx 21)0( 2)0( sin)( lim)0( cos)(lim020 xxxxxxx

16、xx即：即： 21)0( )cos)()sin)( ()( 2 xxxxxxxfxxxxxfxffxxxxxxxxfxxx)0( cos)(lim)0()(lim)0( ,0)cos)()sin)( ()( ,0 )2(002 时时当当时时当当(3) 由于由于20( )sin )( ( )cos )limxxx xxxx 0( )cos )(0)1)lim 22xxx0( )cos )( )sin )( )sin )lim2 xxx xxxxxx 0lim( )xfx(0) f 所以所以 连续连续.( ) fx例例11. 设函数设函数处处 1. 连续；连续；2. 可导；可导；3. 导数连续导数

17、连续.1sin,0( ),0 , 0kxxf xxx 问问k满足什么条件，满足什么条件，( )f x在在0 x 例例12. 设函数设函数21cos,0( ),( ), 0 xxxf xx g xx ( )g x其中其中 是有界函数，则是有界函数，则 在在 处处 (A) 极限不存在极限不存在 0 x ( )f x(B) 可导可导(C) 连续不可导连续不可导(D) 极限存在，但不连续极限存在，但不连续例例13. 设设 时，时， 有定义，且有定义，且存在存在, 问怎样问怎样选择选择可使下述函数在可使下述函数在处有二阶导数处有二阶导数( )f x 0 x 0 x ( )g x( )gx , ,a b

18、c2,0axbxcx( ) ,0g xx 分析分析: 这一类的问题，一定要按照下面的步骤做：这一类的问题，一定要按照下面的步骤做：第二步利用一阶导数存在并连续第二步利用一阶导数存在并连续第一步利用第一步利用 的连续性，的连续性，( )f x最后用二阶导数的存在性最后用二阶导数的存在性解解:例例13. 设设 时，时， 有定义，且有定义，且存在存在, 问怎样问怎样选择选择可使下述函数在可使下述函数在处有二阶导数处有二阶导数( )f x 0 x 0 x ( )g x( )gx , ,a b c2,0axbxcx( ) ,0g xx 1) 在在连续连续, 则有则有( )f x0 x (0 )(0 )(

19、0)fff(0)cg(0)(0),ff 2) 在在可导可导, 则有则有( )f x0 x 0( )(0)(0)lim0 xg xgfx (0)g 20()(0)(0)lim0 xaxbxcgfx b (0)bg ( )f x 2,0axbxcx( ) ,0g xx (0)bg (0)cg (0)(0),ff 3) 在在可导可导, 则有则有( )f x0 x 0( )(0)(0)lim0 xg xgfx (0)g 0(2)(0)lim0 xaxbbfx 2a 1(0)2ag 例例14. 设函数设函数 对任意对任意 都满足都满足 ( )f xx(1)( ),fxaf x且有且有 其中其中 为非零常

20、数，为非零常数， 则则(0),fb , a b(A) 在在 处可导，处可导， 且且( )f x1x (1)fa (B) 在在 处可导，处可导， 且且( )f x1x (1)fb (C) 在在 处可导，处可导， 且且( )f x1x (1)fab (D) 在在 处处不不可导可导( )f x1x 例例15. 已知已知函数函数 在在 处可导，处可导，( )f xxa 且且1()lim( )nnf anf a ( )0,f a 求求例例16. 设函数设函数 由由方程方程( )yy x 2lim( )nnyn(2) 求求 (1) 求曲线求曲线 在在 处的切线方程处的切线方程( )yy x 0 x 23l

21、n(1)sinxyx yx确定，确定，例例16. 设设其中其中 f 二阶可导二阶可导.2(sin ),yx fx 求求,y 解解: 2(sin )yx fx 2x (sin )fx cosx 2(2(sin )(sin )cos )yx fxx fxx2 (sin )fx 2x (sin )fx cosx 2(sin )cosx fxx 22(sin )cosx fxx 2(sin )( sin )x fxx 22 (sin )(4 cossin )(sin )fxxxxx fx 22cos(sin )xxfx 例例17 设函数设函数 由方程由方程解解两边取对数两边取对数,ln1ln1xyyx

22、 ,lnlnxxyy 即即, 1ln)ln1( xyy,ln11lnyxy ( )yf x (0,0)yxyx xy所确定，求所确定，求22d.dyx211(1ln ),yy yyx又又211(ln1)(ln1)(1ln )yxyxyyy 223(ln1)(ln1)(ln1)yyxxxyy 例例18 设设 解解cos(sin ),.xyxxy 求求lnlncosln(sin )yxxx(lncoslnsin )yyxxx2cos1cos(sin )(sinlnsin)sinxxxxxxxx例例19 求下列函数的导函数求下列函数的导函数xaaaxaaaxy )1(axxxxaxaxy )2(11 (1)() (ln )(ln )(ln )aaxaaxaxaaaxaaxyxaaa xaa axaa aa解解：11(lnln)(l