2017年高考数学《复数》热点难点要点考点复习资料整理

1、复数知识要点1复数的单位为 i，它的平方等于一 1，即复数及其相关概念：1复数一形如a+bi 的数(其中a，bR)；2实数一当 b = 0 时的复数a+bi，即a；3虚数一当b=0时的复数a+bi ；4纯虚数一当a= 0 且b =0时的复数a+bi，即bi.5复数a+bi 的实部与虚部一a叫做复数的实部，b叫做虚部(注意a，b都是实数)6复数集 C全体复数的集合，一般用字母C 表示.两个复数相等的定义：a亠bi =c亠di = a=c且b =d(其中，a，b，c,d,R)特另V地a亠bi=0= a =b =0两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小注:若ZZ2为复数，则1若可-z2-0，则Z!

2、 -_z2.(X)ZZ2为复数，而不是实数2若Z1Z2，则z1_z20(V)2若a,b,c C，则(a b)2 (b c)2 (c a)2=0是a =b =c的 必要不充分条件.(当2 . 2(a -b)i ，(bc)2=1, (c-a)2=0 时，上式成立)2复平面内的两点间距离公式：d 二 Z1-Z2.其中Z1，Z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d表示Z1和Z2间的距离由上可得：复平面内以z0为圆心，r 为半径的圆的复数方程：z-Z0二 r (r - 0 曲线方程的复数形式：1z-Z0表示以 Z0为圆心，r 为半径的圆的方程2Z-Z1=Z-Z2表示线段Z1Z2的垂直平分线的方程3

3、z -z jz -z2=2a(a 0且2a：|z1z2)表示以Z1，Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程(若2a二Z1Z2，此方程表示线段Z1,Z2) 4z -zj|z -z2=2a (0 2a z1z2)，表示以Z1，Z2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程(若2a = Z1Z2，此方程表示两条射线)绝对值不等式：设Z1，Z2是不等于零的复数，则1IZ_Z2勻Z1+Z2I乞zf+松2.左边取等号的条件是z2=，Zr.三R,且0),右边取等号的条件是Z2 =Z1 ( ,.WR, ，-0).2zr_ Z2兰zrJ2兰Zr+ Z2左边取等号的条件是z2-(.三R,-0),右边取等号的条件是z2- Z(

4、.三R，0)注：A1A2A2A3 A3A4沖:;AnAn=AlAn3.共轭复数的性质：Z二ZZ-Z2=Z1亠Z2z亠z =2a，z -z =2bi( z =a+bi)22Z Z =|Z| =|z|Z- Z2二Z1-Z2ZZ2 ZZ2(Z 2 0)nnZ =(z)Z2 Z2注：两个共轭复数之差是纯虚数(X)之差可能为零，此时两个复数是相等的4复数的乘方：zn=z z z.z(n N )n2对任何 z ,z2三 C 及m, n三N.有m_n mnm、nmnn nn3z z=z,(z )=Z,(ZiZ2)二ZiZ2注：以上结论不能拓展到分数指数幕的形式，否则会得到荒谬的结果，如i2-1,i4=1若1

5、 1由 i2=(i4)2=12=1 就会得到一 1 =1 的错误结论在实数集成立的|X|=X2.当x为虚数时，|X|=X2，所以复数集内解方程不能采用两边平 方法常用的结论：i21,i4ni,i4n_1,i4n 3i,i4n=1inin 1in 2in 3二0,( n Z)若 是 1 的 立 方 虚 数 根 贝 y 时3=1,CO2=為尬=三,1+(0检2=0,&/九十检“七=0( n壬Z)5.复数 z 是实数及纯虚数的充要条件：21 +i-i)二，肓1z三R：z=z.2若 z -0 , z 是纯虚数： ：z亠z = 0.模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相

6、等的向量表示 同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：|zgz|.6. 复数的三角形式：z=r(cosisin吵.辐角主值：二适合于 0w nV2的值，记作 argz. 注：z 为零时，argz 可取0,2门)内任意值.2辐角是多值的，都相差2 -的整数倍.33设a：=R ,贝卩 arga =O,arg(_a) _ 二，argai,arg(-ai)22复数的代数形式与三角形式的互化：a bi =r (cos v i sin v), r = 一 a2b2,COST-a,sin v -b.rr几类三角式的标准形式：r(cos、：- i sin v) =rcos(-v) i sin( -

7、v)r(cos v i sin v) = rcos(二v) i sin(二v)r(-cos)i si nJ二rcos(二-)i si n(二-Jr(sin v i cos二rcos(-旳i sin( R7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x的一元二次方程 ax2 bx c =0(a =0)时，应注意下述问题：1当a,b,cR时，若也0，则有二不等实数根旨2 =_b二；若也=0,则有二相等实数,2a根 X1,2=-卫；若 AV0,则有二相等复数根X1,2=土山 (X1,2为共轭复数).2a2a2当a,b,c不全为实数时，不能用厶方程根的情况.3不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立8.