《中考课件初中数学总复习资料》第1关 以几何图形中的动点最值问题为背景的选择填空题（解析版）

1、第1关 以几何图形中的动点最值问题为背景的选择填空题【考查知识点】 “两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。原型-“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。【解题思路】找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.求线段和的最小值需要用到三个基本知识：两点之间，线段最短；轴对称的性质；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.常见情况有三种：“两点一线”型、“一点两线”型和“两点连线” 型.平面上最短路径问题：（1）归于“两点之间的连

2、线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”。凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。 （3）平面图形中，直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题。【典型例题】【例1】如图，是等边三角形，点、分别为边、上的动点，当的周长最小时，的度数是_.【答案】【解析】先作点d关于ac和bc的对称点g、h，连接gh交ac和bc于点e、f，此时def的周长最小，再根据三角形内角和与等腰三角形的性质即可求解【详解】解：如图，作点d关于ac的对称点g，点d关于bc的对称点h，连接gh交ac、bc于e、f，d、g关于ac对称，d

3、、h关于bc对称，de=eg，df=fh，的周长=de+df+ef=eg+ef+fh,当g、e、f、h四个点在同一直线上时，的周长最小，是等边三角形，a=b = ，d、g关于ac对称，d、h关于bc对称，adg= ，bdh= ，edg=dge，fdh=dhf，gdh=，dge+dhf=，edg+fdh=，edf=.故答案是：.【名师点睛】关于最短路线问题：在直线l上的同侧有两个点a、b，在直线l上有到a、b的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点（注：本题c，d位于ob的同侧）如下图，解决本题的关键：一是找

4、出最短路线，二是根据一次函数与方程组的关系，将两直线的解析式联立方程组，求出交点坐标.【例2】如图，在o中，弦ab=1，点c在ab上移动，连结oc，过点c作cdoc交o于点d，则cd的最大值为_【答案】【解析】作ohab，延长dc交o于e，如图，根据垂径定理得到ah=bh=ab=，cd=ce，再判断出bcdeca得出cdce=bcac，易得cd=，当ch最小时，cd最大，c点运动到h点时，ch最小，所以cd的最大值为【详解】解：作ohab，延长dc交o于e，如图，ah=bh=ab=，cdoc，cd=ce，abd=dea，bcd=eca，bcdeca，cdce=bcac，cd2=（bh-ch）（

5、ah+ch）=（-ch）（+ch）=-ch2，cd=，当ch最小时，cd最大，而c点运动到h点时，ch最小，此时cd=，即cd的最大值为故答案为【名师点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧也考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键【方法归纳】在平面几何的动态问题中，求几何量的最大值或最小值问题常会运用以下知识： 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；两点之间线段最短；连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；定圆中的所有弦中，直径最长；利用对称的性质求两条线段之和最小的问题，解决此类问题的方法

6、为：如图，要求线段l上的一动点p到点a、b距离和的最小值，先作点a关于直线l的对称点a,连接ab,则ab与直线l的交点即为p点，根据对称性可知ab的长即为pa+pb的最小值，求出ab的值即可.【针对练习】1如图，aob=60°，点p是aob内的定点且op=，若点m、n分别是射线oa、ob上异于点o的动点，则pmn周长的最小值是（）abc6d3【答案】d【详解】作p点分别关于oa、ob的对称点c、d，连接cd分别交oa、ob于m、n，如图，则mp=mc，np=nd，op=od=oc=，bop=bod，aop=aoc，pn+pm+mn=nd+mn+mc=dc，cod=bop+bod+ao

7、p+aoc=2aob=120°，此时pmn周长最小，作ohcd于h，则ch=dh，och=30°，oh=oc=，ch=oh=,cd=2ch=3故选d2如图，四边形abcd中，bad120°，bd90°，在bc、cd上分别找一点m、n，使amn周长最小时，则amnanm的度数为（ ）a130°b120°c110°d100°【答案】b【详解】如图，作a关于bc和ed的对称点a，a，连接aa，交bc于m，交cd于n，则aa即为amn的周长最小值作da延长线ahbad120°，haa60°aamahaa

8、60°maamaa，nada，且maamaaamn，nadaanm，amnanmmaamaanada2(aama)2×60°120°故选b3如图，四边形abcd中，c=，b=d=，e，f分别是bc，dc上的点，当aef的周长最小时，eaf的度数为（ ）abcd【答案】d【详解】作点a关于直线bc和直线cd的对称点g和h，连接gh，交bc、cd于点e、f，连接ae、af，则此时aef的周长最小，由四边形的内角和为360°可知，bad=360°-90°-90°-50°=130°，即1+2+3=130

9、°，由作图可知，1=g，3=h，agh的内角和为180°，则2（1+3）+ 2=180°，又联立方程组，解得2=80°故选d4如图,已知直线与x轴、y轴分别交于a, b两点，将aob沿直线ab翻折，使点o落在点c处, 点p，q分别在ab , ac上,当pc+pq取最小值时,直线op的解析式为（ ）ay=-by=-cy=-d【答案】a【详解】连接coac=ao，bc=ob，ab是线段oc的垂直平分线直线ab的解析式为，直线oc的解析式为y=2x，设c（a，2a）cb=ob=4，解得：a=0（舍去）或a=，c（，）设直线bc为，把c（，）代入得：，解得：k=

10、，直线bc为过o作oqac于q交ab于点p，连接pc，则pc+pq=oq最短直线oq直线bc，直线oq的解析式为：故选a5如图：等腰abc的底边bc长为6，面积是18，腰ac的垂直平分线ef分别交ac，ab边于e，f点若点d为bc边的中点，点m为线段ef上一动点，则cdm周长的最小值为（）a6b8c9d10【答案】c【详解】连接ad，maabc是等腰三角形，点d是bc边的中点，adbc，sabc=12bcad=12×6×ad18，解得：ad6ef是线段ac的垂直平分线，点a关于直线ef的对称点为点c，mamc，mc+dmma+dmad，ad的长为cm+md的最小值，cdm的

11、周长最短（cm+md）+cdad+12bc6+12×66+39故选c6如图，在abc中，动点p，q在边bc上（p在q的左边），且，则的最小值为（ ）a8bc9d【答案】d【详解】过点a作aebc，作adbc，p是点p关于ad的对称点，当p,a,q共线时ap+aq=ap+aq=pq最短，be=3，ae=4，pp=8,又pq=2， ,则的最小值为，故选d7如图，在中，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，使四边形周长最小的点的坐标为（ ）abcd【答案】c【详解】在rtabo中，oba=90°，a（4，4），ab=ob=4，aob=45°，点d为o

12、b的中点，bc=3，od=bd=2，d（0，2），c（4，3），作d关于直线oa的对称点e，连接ec交oa于p，则此时，四边形pdbc周长最小，e（0，2），直线oa 的解析式为y=x，设直线ec的解析式为y=kx+b，解得：，直线ec的解析式为y=x+2，解得，p（，），故选c8如图，等腰三角形abc底边bc的长为4 cm，面积为12 cm2，腰ab的垂直平分线ef交ab于点e，交ac于点f，若d为bc边上的中点，m为线段ef上一点，则bdm的周长最小值为( )a5 cmb6 cmc8 cmd10 cm【答案】c【详解】如图，连接adabc是等腰三角形，点d是bc边的中点，adbc，sabc

13、=bcad=×4×ad=12，解得：ad=6（cm）ef是线段ab的垂直平分线，点b关于直线ef的对称点为点a，ad的长为bm+md的最小值，bdm的周长最短=（bm+md）+bd=ad+bc=6+×4=6+2=8（cm）故选c9如图，周长为16的菱形abcd中，点e，f分别在边ab，ad上，ae1，af3，p为bd上一动点，则线段epfp的长最短为( )a3b4c5d6【答案】b【详解】在dc上截取dg=fd=adaf=43=1，连接eg，则eg与bd的交点就是pae=dg，且aedg，四边形adge是平行四边形，eg=ad=4故选b10在平面直角坐标系中，rt

14、aob的两条直角边oa、ob分别在x轴和y轴上，oa=3，ob=4把aob绕点a顺时针旋转120°，得到adc边ob上的一点m旋转后的对应点为m，当am+dm取得最小值时，点m的坐标为（）a（0， ）b（0，）c（0，）d（0，3）【答案】a【详解】把aob绕点a顺时针旋转120°，得到adc，点m是bo边上的一点，amam，amdm的最小值amdm的最小值，作点d关于直线ob的对称点d，连接ad交ob于m，则adamdm的最小值，过d作dex轴于e，oad120°，dae60°，adao3，de×3，ae，d（，），d（ ，），设直线ad的解

15、析式为ykxb，直线ad的解析式为yx，当x0时，y，m（0，），故选a11如图，已知点a是以mn为直径的半圆上一个三等分点，点b是弧的中点，点p是半径on上的点若o的半径为l，则ap+bp的最小值为（）a2bcd1【答案】c【详解】解：作点a关于mn的对称点a，连接ab，交mn于点p，则pa+pb最小，连接oa，aa，ob，点a与a关于mn对称，点a是半圆上的一个三等分点，aon=aon=60°，pa=pa，点b是弧an的中点，bon=30°，aob=aon+bon=90°，又oa=oa=1，ab=pa+pb=pa+pb=ab=故选c12直线yx4与x轴、y轴分

16、别交于点a和点b，点c，d分别为线段ab，ob的中点，点p为oa上一动点，pcpd值最小时点p的坐标为（ ）.a(3，0)b(6，0)c(，0)d(，0)【答案】c【详解】作点d关于x轴的对称点d，连接cd交x轴于点p，此时pc+pd值最小，如图所示直线y=x+4与x轴、y轴的交点坐标为a（6，0）和点b（0，4），因点c、d分别为线段ab、ob的中点，可得点c（3，2），点d（0，2）再由点d和点d关于x轴对称，可知点d的坐标为（0，2）设直线cd的解析式为y=kx+b，直线cd过点c（3，2），d（0，2），所以，解得：，即可得直线cd的解析式为y=x2令y=x2中y=0，则0=x2，解得

17、：x=，所以点p的坐标为（，0）故答案选c13如图，mn是等边三角形abc的一条对称轴，d为ac的中点，点p是直线mn上的一个动点，当pc+pd最小时，pcd的度数是（）a30°b15°c20°d35°【答案】a【详解】由题意知，当b. p、d三点位于同一直线时，pc+pd取最小值，连接bd交mn于p，abc是等边三角形，d为ac的中点，bdac，pa=pc， 14如图，是的弦，点是上的一个动点，且，若点分别是的中点，则的最大值是_【答案】【详解】解：点分别是的中点，当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大，连接并延长交于点，连接，是的直

18、径，故答案为：15如图，aob60°，点m，n分别是射线oa，ob上的动点，op平分aob，op8，当pmn周长取最小值时，omn的面积为_【答案】【详解】解：分别作点p关于oa、ob的对称点c、d，连接cd，分别交oa、ob于点m、n，连接oc、od、pc、pd点p关于oa的对称点为c，关于ob的对称点为d，pmcm，opoc，coapoa30°；点p关于ob的对称点为d，pndn，opod，dobpob，ocodop8，codcoa+poa+pob+dob2poa+2pob2aob120°，cop=cop=60°，cop与pod是等边三角形，四边形o

19、cpd是菱形，cd垂直平分op，pcdpdc30°，ompm，pnon，pcmmpc30°，pmn60°，同理pnm60°，pmpn，四边形pmon是菱形，op8，mn，omn的面积s菱形pmon××8×16如图，四边形abcd中，bad120°，bd90°，在bc，cd上分别找一点m，n，使amn周长最小时，则amnanm的度数是_【答案】120°【详解】解：如图所示，当三角形三边在同一条直线上周长最短，作a关于bc和cd的对称点a，a，连接aa，交bc于m，交cd于n，则aa即为amn周长的

20、最小值.作da延长线ah， dab=120°，haa=60°，aam+a=haa=60°.a关于bc和cd的对称点a、a，maa=maa，nad=a，且maa+maa=amn，nad+a=anm，amn+anm=maa+maa+nad+a=2(aam+a)=2×60°=120°.故答案为120°.17如图，在中，是的平分线.若，分别是和上的动点，则的最小值是_.【答案】【详解】解：如图，过点c作cmab交ab于点m，交ad于点p，过点p作pqac于点q，ad是bac的平分线pq=pm，这时pc+pq有最小值，即cm的长度，a

21、c=3，bc=4，acb=90°，ab=5. ,=2.4.故答案为：2.4.18如图，aob=30°，点m、n分别是射线oa、ob上的动点，op平分aob，且op=6，当pmn的周长取最小值时，四边形pmon的面积为 【答案】9【详解】分别作点p关于oa、ob的对称点c、d，连接cd，分别交oa、ob于点m、n，连接op、oc、od、pm、pn点p关于oa的对称点为c，关于ob的对称点为d， pm=cm，op=oc，coa=poa； 点p关于ob的对称点为d，pn=dn，op=od，dob=pob， oc=od=op=5cm，cod=coa+poa+pob+dob=2poa

22、+2pob=2aob=60°， cod是等边三角形， cd=oc=od=6cmpmn的周长的最小值=pm+mn+pn=cm+mn+dncd=6cmsocd=在等边三角形ocd中，somn=socd=spmn=spcd=s四边形pmon= somn+ spmn=+=919如图，aob的边ob与x轴正半轴重合，点p是oa上的一动点，点n（3，0）是ob上的一定点，点m是on的中点，aob=30°，要使pm+pn最小，则点p的坐标为_【答案】（，）【详解】解：作n关于oa的对称点n，连接nm交oa于p，则此时，pm+pn最小，oa垂直平分nn，on=on，non=2aon=60°，non是等边三角形，点m是on的中点，nmon，点n（3，0），on=3，点m是on的中点，om=1.5，pm=，p（，）故答案为：（，）20如图，一副含30°和45°角的三角板abc和edf拼合在个平面上，边ac与e