《初中数学总复习资料》第19讲　特殊三角形

1、第19讲特殊三角形性质判定等腰三角形(1)两腰相等，两底角相等；(2)顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合；(3)是轴对称图形，有一条对称轴(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形等边三角形(1)三边相等；(2)各角相等，且都等于60；(3)是轴对称图形，有三条对称轴(1)三条边相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于60的_是等边三角形等腰(边)三角形、直角三角形的性质及判定等腰三角形直角三角形(1)两锐角之和等于90；(2)斜边上的中线等于斜边的_；(3)30角所对的直角边等于斜边的一半；(4)若有

2、一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于_；(5)两直角边的平方和等于斜边的平方(1)有一个角为90的三角形是直角三角形；(2)一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形一半301计算有关线段长度问题，如果所求线段是在直角三角形中，一般应用勾股定理求解，即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和2有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构成三角形的条件；同时，在底角没有被指定的等腰三角形中，应就某角是顶角还是底角进行讨论注意运用分类讨论

3、的方法，将问题考虑全面，不能想当然3面积法：用面积法证题是常用的技巧方法之一，使用这种方法时一般是利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到要证明的结论4在涉及折叠的相关问题中，若原图形中含有直角或折叠后产生直角，常常把所求的量与已知条件利用折叠的性质，借助等量代换转化到一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解命题点1：等腰三角形的性质1(2017滨州)如图，在abc中，abac，d为bc上一点，且dadc，bdba，则b的大小为()a40 b36 c30 d25b2(2017包头)若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为()a2

4、cm b4 cm c6 cm d8 cmad 命题点3：直角三角形的性质4(2017株洲)如图所示在abc中b_25a 等腰(边)三角形有关边角的讨论 【例1】(1)(2017丽水)等腰三角形的一个内角为100，则顶角的度数是_(2)(2017益阳)如图，在abc中，abac，bac36，de是线段ac的垂直平分线，若bea，aeb，则用含a，b的代数式表示abc的周长为_ 1002a3b【点评】在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰，某一边可以是底，也可以是腰同样，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨论对应训练1(1)(2017荆州)如图，在abc中，abac，a30，ab的垂直平分线

5、l交ac于点d，则cbd的度数为()a30 b45 c50 d75b(2)(2017江西)如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中oaob.若剪刀张开的角为30，则a_度75(3)(2017淄博)在边长为4的等边三角形abc中，d为bc边上的任意一点，过点d分别作deab，dfac，垂足分别为e，f，则dedf_等腰(边)三角形的判断和性质 【例2】(1)(2017海南)已知abc的三边长分别为4，4，6，在abc所在平面内画一条直线，将abc分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画()条a3 b4 c5 d6b(2)(2017内江)如图，ad平分bac，adbd，垂

6、足为点d，deac.求证：bde是等腰三角形证明：deac，13，ad平分bac，12，23，adbd，2b90，3bde90，bbde，bde是等腰三角形【点评】等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既可作为性质，又可作为判定办法；等腰三角形的判定和性质互逆；在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线对应训练2(1)(2017台州)如图，已知等腰三角形abc，abac，若以点b为圆心，bc长为半径画弧，交腰ac于点e，则下列结论一定正确的是()aaeec baebec.ebcbac debcabec(2)(2017聊城)如图是由8个全等的矩形组成

7、的大正方形，线段ab的端点都在小矩形的顶点上，如果点p是某个小矩形的顶点，连接pa，pb，那么使abp为等腰直角三角形的点p的个数是()a2个 b3个 c4个 d5个b(3)(2017恩施州)如图，abc，cde均为等边三角形，连接bd，ae交于点o，bc与ae交于点p.求证：aob60.【例3】(1)(2017安顺)三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于_(2)(2016南京)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是()a3，4，4 b3，4，5 c3，4，6 d3，4，7直角三角形、勾股定理 2.5c【点评】(1)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半(2)在应用勾股定理

8、的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形对应训练3(1)(2017温州)四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形abcd，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为s的小正方形efgh.已知am为rtabm较长直角边，am2ef，则正方形abcd的面积为()a12s b10s c9s d8scb (3)(导学号：65244023)(2017哈尔滨)已知：acb和dce都是等腰直角三角

9、形，acbdce90，连接ae，bd交于点o，ae与dc交于点m，bd与ac交于点n.如图1，求证：aebd；如图2，若acdc，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形6.从不同的视角来证明几何命题 试题【问题探究】(1)如图，锐角abc中分别以ab，ac为边向外作等腰abe和等腰acd，使aeab，adac，baecad，连接bd，ce，试猜想bd与ce的大小关系，并说明理由【深入探究】(2)如图，四边形abcd中，ab7 cm，bc3 cm，abcacdadc45，求bd的长审题视角(1)首先根据等式的性质证明eacbad，则根据sas即可证明eac bad，根据

10、全等三角形的性质即可证明；(2)在abc的外部，以a为直角顶点作等腰直角bae，使bae90，aeab，连接ea，eb，ec，证明eac bad，证明bdce，然后在直角三角形bce中利用勾股定理即可求解答题思路第一步：通读问题，根据问题选择合理的几何分析方法；第二步：(1)综合法(由因导果)：从命题的题设出发，通过一系列的有关定理、公理、定义的运用，逐步向前推进，直到问题的解决；(2)分析法(执果索因)，从命题的结论考虑，推敲使其成立需必备的条件，然后再把条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步向上逆推，直到已知的条件为止；(3)两类结合法，将分析法与综合法合并使用比较起来，分析法利于思考，综合

11、法宜于表达因此，在实际思考问题时，可综合使用，灵活处理，以缩短题设与结论之间的距离，直到完全沟通；第三步：视问题需要，添加合理的辅助线，把已知与未知集中在一起；第四步：从已知出发，一步一步作推理，使得问题得以证明；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤19.三角形的高可能在三角形外 试题1在abc中，高ad和高be相交于h，且bhac，求abc的度数剖析当abc是锐角三角形时，高ad和高be的交点h在三角形内；当abc是为钝角三角形时，高ad和高be的交点h在三角形外在解与高有关的问题时，应考虑全面错解解：如图，在rtbhd和rtacd中，ccad90，chbd90，hbdcad.又bhac，bhd acd，bdad.adb90，abc45.正解这里的abc有两种情况，abc是锐角(图)或abc是钝角(图)如图，在rtbhd和rtacd中，易得dcadhb.又acbh，dhb dca，addb，dba45，abc135.综上：abc45或135 试题2已知abc是等腰三角形，由a所引bc边上的高恰好等于bc边长的一半，试求bac的度