波动过程中质点的振动速度与加速度

1、五、波动过程中质点的振动速度与加速度介质中任一质点的振动速度，可通过波动方程表式，把x看作为定值，将y对t求导数(偏导数)得到，记作J ?。以常用的波函数为例，质点的振动速度 为攢u质点的加速度为y对t的二阶偏导数:a = =-A£t)2cosaj(i-) 胪u由此可知介质中各质点的振动速度和加速度都是变化的五、 平面简谐波波函数的求解【例1】设某一时刻绳上横波的波形曲线如图所示，水平箭头表示该波的传 播方向。试分别用小箭头表明图中 A、B、C、D、E、F、G、H、I各质点在该 时刻的运动方向，并画出经过1/4周期后的波形曲线。(a)(b)(c)【解】在波的传播过程中，各个质点只在自

2、己的平衡位置附近振动， 并不会随波前 进。在横波的情形中，质点的振动方向总是和波的传播方向相垂直。在图 (a) 中, 质点C正达到正的最大位移处，质点 G则处于负的最大位移处，这时它们的速度为零。根据图中的波动传播方向，可以设想出下一瞬时的波形曲线，见图(a)中的虚线，因而可判断各质点的运动方向。如图（b）所示，质点A、B、H、I向上 运动，质点D、E、F向下运动。由于波形每一个周期向前推进一个波长，所以经过T/4后的波形曲线应比图所示的波形曲线向左平移 入/4如图（c）所示。通过作下一瞬时的波形曲线来判断质点速度的方向是常用的方法， 但也容易 造成误解。如上图（a）中的虚线可能会使人误认为

3、C点的速度向下而G点的速 度向上，实际上此时它们的位移都正好达到极值，它们的速度都为零。【例2】有平面简谐波沿x轴正方向传播，波长为 人见下图。如果x轴上 坐标为xo处质点的振动方程为 ' "uy.，试求：（1）波动方程；坐标原 点处质点的振动方程；（3 ）原点处质点的速度和加速度。解（1）如图所示，设考察点为x轴上任意一点，坐标为x。从xo到x的波程为x- X0，按相位落后的关系，x处质点的振动相位比xo质点落后-i ，故x轴上任意一点的振动方程，即波动方程为(1)把x=0带入式，即得原点处质点的振动方程原点处质点的速度为)= 一胡(皿+2疔型+衞)1加速度为血=- = -

4、ti)Acos(+2?r +0)&rA【例3】一简谐波逆着x轴传播，波速u=8.0m/s。设t=0时的波形曲线如图一、一、竹、一、占 、/所示。求：(1)原点处质点的振动方程；(2)简谐波的波动方程；(3)t= 时的波形 曲线。解由波形曲线图可看出，波的振幅 A=0.02m，波长入=2.0故波的频率为”=巴二空=4卫及亠亠"，角频率为:- M -。从图中还可以看出，t=0时原点处质点的位移为零，速度为正值，可知原点振动的初相为-n /2故原点的振动方程为7o=D.02cos-1)(2)设x轴上任意一点的坐标为x，从该点到原点的波程为x,按相位落后与X X距离的关系，x处质点振

5、动的时间比原点处质点超前二，故x轴上任意一点 的振动方程，即波动方程为冃,如M+扌-申经过3T/4后的波形曲线应比图中的波形曲线向左平移3入/4也相当于向 右平移入/4如图中虚线所示我们看到，如果知道了某一个质点的谐振方程，通过相位（或时间）超前或 落后的概念就很容易得到谐波方程。【例4】有平面简谐波沿x轴正方向传播，波长为 人周期为T。如果x轴上坐标为xo处的质点在to时的位置在平衡位置且正在向负方向运动，试求简谐波的波动方程。解按题意可知，xo处质点在to时的振动的相位为n /2由于xo处质点振动的相位每过一个T要增加2n所以xo处质点在任意t时的振动相位为， r ,故 xo处质点的振动方程为=Acos(2ff从xo到坐标为x的任意一点的波程为x- xo，按相位落后与距离的关系，x处 质点的振动相位比xo质点落后1 ，故x点的振动方程，即波动方程为我们也可以通过简谐波的通式: +| 1用拟合的方法来求出波方程。注意到，对于正行波，x前面应该取负号，我们设波方程为按题意，xo处质点在to时的振动的相位为n /2即于是得到代入通式即得波函数朋f)=如训2M卜f)+ 2戏卜 申=畑桦-