泛函分析习题

1、泛函分析练习题一名词解释：1. 范数与线性赋范空间2. 无处稠密子集与第一纲集3. 紧集与相对紧集4. 开映射5. 共轭算子6. 内点、内部：7. 线性算子、线性范函：8. 自然嵌入算子9. 共轭算子10. 内积与内积空间：11. 弱有界集：12. 紧算子：13. 凸集14. 有界集15. 距离16. 可分17. Cauchy 列18. 自反空间二、定理叙述1、压缩映射原理2. 共鸣定理3. 逆算子定理4. 闭图像定理5. 实空间上的Hahn-Banach延拓定理6、Baire纲定理7、开映射定理8、Riesz表现定理三证明题：1. 若(x,订是度量空间，则P也使x成为度量空间证明：一x, y

2、,zX显然有 (1)d(x, y)_0，d(x, y)=0 当且仅当 x 二 y。(2) d(x,y) =d(y,x)t1由f(t1，t-1，t，(t 0)关于t单调递增，得d(x,z)'(x,z)1'(x,z)'(x,y)'(y,z)1'(x,y)，(y,z):.(x,y)，(y,z)'(x,y)1 Ty,z)二d(x,y) d(y,z)故d也是X上的度量。2,设H是内积空间，Xn,x, Yn，r H，则当Xnx, yn > y时，X, %)(x, y)，即 内积关于两变元连续。证明:|(xn,yn) -(X,y)|2=|(xn -X,y

3、n -y)|2 即 Xn -x| |% -丫|已知 Xn > X, yn > y，即 |Xn-x|O,|yn-y |0。故有 |(Xn，yn) -(X,y) |2 > 0即(人)一 (x,y)。3考虑Ca,b上的非线性积分方程bx(t) - k(t,s,x(s)dsV(t)"a其中Ca,b, k(t,s,，)是a,b a,b R上的连续函数，满足|k(t,s, J -k(t,s, J |-b| r - 21证明当| |足够小时，此方程存在唯一解x Ca,b。证明：令bTx(t)二(t)亠.I k(t,s, x(s)dsLa则 T 是 Ca,b > Ca,b的算

4、子。并且-心 x? Ca,bbb|Txdt) Tx2(t) |=| 扎 LksxdsRds 丸k(t,s, x?(s)ds|aab兰“| |k(t,s,xi(s) k(t,s,X2(s) |dsb一| | .a|b|Xi(s) -X2(s)|ds一|b|(b-a)|xi -X2|所以 |Txi -TX21|-| |b|(b-a)|xi 乜|。故当r |足够小时，T为Ca,b到Ca,b的压缩算子，由压缩映射原理，存在唯一的Xq Ca,b，使得Txo =x°，也即此方程存在唯一解 Xo.4若函数族fn(t)在紧集A上等度连续并且点点收敛，则fn(t)在A上一致收敛。证明：由 fn (t)

5、在紧集A上等度连续，.岂=0月6 A0,S.tX/ti,t2 E A,|ti2 有| fn(tl) fn(t2)|，一n -1.3令 fn (t) r f (t) - t - A.上式两端令门“得，| fn(tj ' fn (t2 ) | ：3因为A为紧集，存在A的有限、：网U,tm，对t1,t2 ,tm存在N，s.t.-n _ N 有| fn(ti) - f(ti)|，一tt1,t2/ ,tm.3X/t E A,k 己2,tm, s.t| t tk |v6.故| fn(t) - f (t) |一| 仁 - fn 魚)| | 花魚)- f (tj)| f(tj - f (t)|zzz.

6、333此即 fn(t)在A上一致收敛。5.设Tx(t) =t2x(t),若T是从L20,1 > L1【0,1的算子，计算|T |若T是从L20,1 > L20,1的算子再求 |T|。|Tx 叮0|t2 x(t)dt -|x|2所以|T|C1"5解:(1 )当T是从鸟0,1 > L10,1的算子。取 x0(t)f?5t2，则 |x° |2=1. |Tx° |1 = 0、.5t4dt =-；.所以|T |-151故有|T J(2)当T是从L20,1 > L20,1的算子时1 1|Tx|"( °t4x2(t)dt)1/2 空

7、°x2(t)dt)1/2 =|x|2所以|T 口 1.n ,(1 -1-1 乞"_1取 xn(t)=n 1，则 “XnUi n( 1 J/n1dt=1 °0,0 Et ：1 一Ln_ 1 _1-()5|TXn|2“ n( st4dt)1/2 八 n1/21 5 1 51-(1- )5 1-(1- )5 又叫|咲|"何1/2齐呗产"J15 -n所以 |T |1.故有 |T |=1.6.若| |是Ca,b上的另一完备范数(原范数记为|：),并且当|xn-x|» 0时必有|Xn(t)-x(t)|0,(-t a,b),则 | | 与 | |：

8、:等价.证明:定义 T:(Ca,b,| |) > (Ca,b,| |：), Tx=x,_x Ca,b.因为(Ca,b,| |)与(Ca,b,| |-)完备，显然T是一一的到上的线性算子，故只须证明T是 连续算子.-七宀| 财-丫 ：|由已知 |x -x|p 0 时,必有 |xn(t) -x(t) |0,(-t a,b).|Txn -y|： > 0,即 Xn(t) 致收敛到 y(t).由收敛的唯一性知 x(t)=y(t), (一, a,b). 所以T为闭算子,又(Ca,b,| |)与(Ca,b,| |.)完备，由闭算子定理得,T是连续算子.7.若 T B(X,Y),Xn,X X 并且

9、 Xn> X，则 Txn>Tx。证-f Y*，令f T : X :，, (f T)(x)二 f (Tx), x X。则(f T)- X*。由冷一住 X，知(f T)(Xn) > (f T)(x),即f(TXn) > f(Tx)故有Tx,空 Tx。8应用H?der不等式证明，若f,g是(J U)上定义的非负可测函数,0 _1，贝U.f ：g1d乜(d J：(.gd 三.证令 p =1/ ： ,q =1/(1 -:),此题得证。9. 设E Ca,b , E有界且满足阶Lipschitz 条件|x(tj-x(t2)FC * “2 |,叩2 a,b,-x E,0)则E是Ca,b中的相对紧集。证-；7,取、：珂；/®"'，则- |t1-t2|"有|x(t1 )-x(t2)"|t1 -t2