24高考数学解题错误成因分析与应对策略

1、高考数学解题非智力因素夾谋的成因分析与应对策略高考是人生一件大事，在高考中取得数学科0的高分是莘莘学子梦寐以求 的事，为此不少的学生做出十儿年艰苦奋斗，但是在历年的高考中还是有些数 学得很好的同学考出不满意的成绩，不能很好地展现个人的才华，造成人生第 一次，第大憾事。是什么原因造成这些考生的终生遗憾，这是本课研究的主题, 怎样有效地避免类似的悲剧在高考中重演则是木课要达到的目标。一. 数学解题错误的特征解题错误是数学过程中的正常现象，它既与数学学习环境有关，又与试题的 难易程度有关同时也考生学习水平、身体与心理状况有关。数学解题错误既有 个性又有共性，据统计数学错误有一定的规律性。1. 1主观

2、盲动性：数学解题是主体感受并处理数学信息的创造性的思维过程。 部分考生末切题意，加之高考求胜心切，凭个人的经验盲目做题，以至于出现 主观认识错误和限入主观思维定势，造成的主观盲动性错误和解题思维障碍。1. 2漏洞隐蔽性：数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程, 在这个过程中考生的数学知识结构和数学思维习惯有着决定性的作用。个体思 维的跳跃性是产生思维漏洞的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生是很难 发现的，考生本人还处我感觉很好。这是思维跳跃度大和平时解题不写过程的 考生的共同特点。（是聪明人犯的愚蠢的错误）1. 3错误可避性：解题错误是在数学解题过程中形成的，是数学认识过程中的

3、 正常现象。因此高考数学解题屮的错误也是可以避免的。所谓“吃一堑长一智”, 就是说我们要增强数学解题过程中的错祺警戒意识，养成严谨的数学思维习惯, 并构建数学解题过程中常见性错误的“错題库”1. 4形式多样性：数学解题错误形式多样性是由数学知识的广泛性和个休思维 的不确定性决定的。一般来说考生有解题错误有知识性错误、逻辑性错误、心 理性错误、策略性的错误。二. 数学解题失误的形式2.1基本概念数学特征不明1.曲线丄+丄如6）与曲线丄+丄的1（） 一加 6 - m5 一？ 9 一】（a）焦距相等（b）离心率相等（c）焦点相同（d）准线相同2 .若处（0加方程x + y2cos"l表示的

4、曲线可以是直线、圆、椭圆、双曲线2.2策略性错误策略性错误是指解题思路阻塞或一种策略产生错误导向，或指一种策略明 显增加了过程的难度和复杂性，由于时间的限制，问题最终得不到解决。主要 有：方法不当，不能正确转化问题或运用模式。（消除策略性错误的应对策 略是：后期复习注意归类总结，对基础题中档题形成模式化解法）3. 过圆/ + y2= 4外一点m （4, -1）引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为 析；4x-y-4 = 0,错谋的思路是先找切点而后再直线方程，造成了很人的计算最。4. 对止整数n,设抛物线y2=2(2n-» l)x,过点p(2n, 0)作直线交抛物线于a”,两点，则

5、数列 空如 的29n + l) j前 n 和二 -nn +1)2.3阅读理解失误【错误形式1】忽视隐含条件，导致结果错误。5. 设q、0是方程严_2也+ £ + 6 = 0的两个实根，则(4-1)2+(0-1)2的最小值是 49(a)(b) 8(c) 18(d)不存在4析：误了 a,应注意 a = 4k2-4(k + 6)>0 =>k<-2 或 k»3.思路分析木例只有一个答案正确，设了 3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：a + 0 = 2£,妙=£ + 6, (cc -1)，+ (0 i)2 = cc 2q

6、+ 1 + f3 - 20 + 1=(ex + 0尸2a0 2(6z + 0) + 2有的学生一看到-二，常受选择答案(a)的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果 4能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从屮选出正确答案。原方程有两个实根、0,a = 4k2-4(k + 6)>0 => k <-2 或k>3.当k>3时，(q 1尸+(0 1)2的最小值是8；当k<-2时，(a i)2 + (0 i)2的授小值是180这时就可以作出正确选择，只有(b).正确。26. 已知(x+2)2+=1,求x2+y2的取值范亂o 28 错解

7、 由己知得 于二一4x?16x12,因此 x2+y2= 3x2 16x 12= 3(x+ )2+ ,当x=|时，x?+y2有最大值竽,即x?+y2的取值范围是(一8, ¥ 。分析没有注意x的取值范围要受己知条件的限制，丢掉了最小值。2 2事实上,由于(x+2)2+ 才=1 =>(x+2)2=l- 才 wl => 3wxw l,从而当x=-l时x2+y2 w最小值1。x?+y2的取值范围是1, y 。 注意有界性：偶次方x20,三角函数一iwsinxwl,指数函数ax>0,圆锥曲线有界性等。兀2y2» .7. 已知椭|m| e : + - = 1的两个焦点分

8、别为片、化,若点p在椭圆e上，且满足pf, pf,=t ,求实 43数f的取值范围.8在函数y=x3-8x的图象上，其切线的倾斜角小于三的点中，坐标为整数的点的个数是4a.3b.2c.ld.0析：(忽视了倾角的定义与斜率之间的关系，即导数限制条件是：0<3x2-8<l=>-<x2<3,xez=>xe)39. 在极坐标系中，从极点0作圆q = 8sin&的弦on,则on的中点的轨迹方程是 析：° = 4sin0,错误原因是写成了直角坐标系内的方程x2 + /-4y = 010. 直线兀+ y = l与圆x2 + y2-2ay = 0 (q0)

9、没有公共点，则实数d取值范围是()a. (0,血一 1) b.(血一 1,0 + 1) c.(一血一1,血 + 1) d. (0,血+ 1)析：应选a,忽视了。>0,错误地选取了 c。11. 设0 (0, 0) a (1, 0), b (0, 1) p是线段ab上的一个动点，ap = ab若丽盘用两则实数2 取值范围是()a.丄,1b. 1- -1,1 c. -,1 + d. 1- ,1 + 2 2 2 2 2 2析：忽视了点p在线段ab上应满条件0s251,错选了 d,应选b12已知 (x, y ) | (m+3) x+y=3m-4) cl (x, y) 17x+ (5-m) y-8=

10、0 = 4> 则直线(m+3) x+y=3m+4 与坐标轴围成的 三角形的面积是析：只重平行，忽视重合，忘舍了呼4【错误形式2】忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。13. 已知：a>0 , b>0 , a+b= 1,求(a+ + )2+(b+ | )'的最小值。错解(a )?+(b )=a+bj h +422ab+424 - /uh 4=&a bcr hab v ab(a+丄r+(b+丄尸的最小值是8.a b分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b22ab,笫一次等号成立的条件是a=b=丄,笫二次等号成2立的条件是ab二丄，显然，这两个条件是不能

11、同时成立的。因此，8不是最小值。 ab事实上，原式=a2+b2+- +- +4=( a2+b2)+(- +- )+4=(a+b)22abj+l( + )2 +4ct bcr bci b ab= (l-2ab)(l + !)+4,crb2h由 abw(£±2)2二丄 得：l2ab21 丄=丄，且-16, 1 + 丄217, 242 2 a2h2a21-21 251.i原式>1x17+4=(当且仅当a=b=-时,等号成立),2 22|1osa (a + -)2 + (b+ =2的最小值是年。abz14. |ll|线y = l + j4-兀$ ,与直线y二纵兀一2)有两个公

12、共点，则实数k取值范围是()51 355 3化(°'石)丘(亍才)° (巨,+oc)d.析：错选c,错因化一元二次方程求解，忽视了函数y = l + j4-兀2的特点，解题策略不当，应注意数形 结合，用直线和圆珠笔的位置关系求解。【错误形式3】重视一般性，忘记特殊性15求过点(0,1)的直线，使它与抛物线)/ =2x仅有一个交点。错误解法 设所求的过点(0,1)的直线为y = d + l,则它与抛物线的交点为y+1,消去 y 得( + 1)2-2x = 0.整理得 /+(2r 2)兀+ i = o.宀2兀直线与抛物线仅冇一个交点，.a = 0,解得£=丄.

13、所求直线为）丄x + 1.2 - 2 错误分析此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为y = d + l时，没有考虑£=0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的 斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中耍求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切 的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系 数不能为零，即鸟工0,而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。正确解法 当所求直线斜率不存在吋，即直线垂直x轴，因为

14、过点（0,1）,所以x = 0,即y轴，它正 好m抛物线于=2兀相切。 当所求直线斜率为零吋，直线为y = l平行兀轴，它正好与抛物线y2 =2%只有一个交点。y = kx + 一般地，设所求的过点（0,1）的直线为y = kx +1伙工0）,则 7,b =2 兀 11:.k2x2 （2k-2）x + l = 0.令 = （）,解得 k = - ,所求 i线为 y=-x + ./2综上，满足条件的直线为：y = l, x = 0,+ l16. 已知函数.f（x）=的定义域为r,则实数q取值范围是（）ax'' + ax _ 3a. ci > b一12va<0 c. 1

15、2vas0 d. as 33析：应选c,错误原因是只把分母看成二次函数研究，而忽视了 a = 0情况。【错误形式4】以偏概全，错将特殊当一般17. 设等比数列血的全项和为s”.若53+s6 =2s9,求数列的公比g.错误解法sjs6=2s9，.空匕心+空匕心/空汕，1-ql-ql-q整理得 q2q6-q3-d =0.3/7山qho得方程 2q6 q3 1 = 0. /. （2q3 + l）（q3 -1） = 0,/. q = 或 q = l。错误分析 在错解中，由e（iq）+ 5（i_q6）= 2.5（i；）,-ql-ql-q整理得 q3（2q6-q3-l） =0 时，应有 a"0

16、和 qhl。在等比数列中，如工0是显然的，但公比q完全可能为1,因此，在解题时应先讨论公比q = l的情 况，再在ghl的情况下，对式子进行整理变形。正确解法 若q = l,贝i府s3=3ai9s6=6ai9s9 =9%但® h0,即得s3+56 259,与题设矛盾, 故g工1 乂依题意 s3+s6 =2s9 =>5（1-亍）+。】（1-96）=2宀（1-/） = q3（2q6_q1）=° ,即l-qi-ql-q3/7（2亍+1）（/1） = 0,因为 ghl,所以1h0,所以 2q3 +1 = 0.解得 q = 2说明 此题为1996年金国高考文史类数学试题第（21

17、）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。【错误形式5】忽视分类讨论，或分类不全18. 已知数列仏的前zi项和sn =2n +1,求©.错误解法 j = s” 一 s- = （2” +1） - （2心 +1） = t - 2n = 2心错误分析 显然，当” =1时，a = s = 3 # 21_, = 1 o 错误原因：没有注意公式勺严s“ -s“_成立的条件是。s. （ = 1）因此在运用q=s”s时，必须检验刃=1时的情形。即：an= "w m 1”（n>2,nen）19. 实数d为何值时，圆x2 +y2-2ax-a2=0与抛物线y2 =-x有两个公

18、共点。-2错误解法 将圆x2 + y2 -2ax + a2 - = 0与抛物线y2 =-x联立，消去y,2得 x (2d )x cc 1 0 (x 0).2要使闘与抛物线冇两个交点的充要条件是方程冇一正根、一负根；或冇两个相等匸根。a>0当方程有一正根、一负根时，得彳7解之，得-<a<.宀1 <0.171因此，当ci= 或lvavl时，圆x2 + y2-2ax + a2-1 = 0与抛物线y2 =-xii两个公共点。 82思考题：实数。为何值时，圆，+丿22处+ /一 1 =（）与抛物线y2（1）有一个公共点；（2）有三个公共点；（3）有四个公共点；（4）没有公共点。【

19、错误形式6】空间图形读图平面化20. 一个简单空间儿何体的三视图其主视图与左视图为边长为2的正三角形，俯视图是正方形则其体积二43析：误将斜高当侧棱【错谋形式7】类比推理中，推理方向的盲目性21. 如图，在三角形abc中，ab1ac, ad丄bc, d是垂足，贝dab? =bdbc (射影定理)类似有命题:三棱锥a-bcd中ad丄平面abc, ao丄平面bcd, 0为垂足，且0在zbcd内，则有【错误形式8】归纳推理中，推理方向的盲目性22. 将正偶数按右表排列，则2006在第行，第列。第1列第二列第1行2第2行1614第3行18第4行3230第三列第四列第五列46812102022242826【错误形式9】限域求值，等号取舍不当23. 不共线的向量方与胎夹角不超过ji5o°, a =v3, c = a-2b9则匸的取值范围是tt24. 设函数 y = log2(sin + cos&),xw(0,),求两