保角变换数学物理方法实用教案

1、1重点重点(zhngdin)：难点难点(ndin)：分式分式(fnsh)线性变换及其映射特点线性变换及其映射特点分式线性变换与初等函数相结合，求一分式线性变换与初等函数相结合，求一些简单区域之间的映射些简单区域之间的映射 本章内容： 1）保角射的概念； 2）分式线性映射和几个初等函数所构成的映射； 3）典型实例描述保角映射的应用第1页/共31页第一页，共32页。2 1. 1. 的几何(j h)(j h)意义)(zf 第一节 保角映射(yngsh)的概念第2页/共31页第二页，共32页。3 2) 转动角的大小与方向跟曲线转动角的大小与方向跟曲线C的形状的形状(xngzhun)与方向与方向无关无关

2、.)()(Arg0)()1000处的转动角处的转动角映射后在映射后在经过经过是曲线是曲线的幅角的幅角导数导数zzfwCzfzf 3)保角性保角性方向不变的性质方向不变的性质, 此性质称为保角性此性质称为保角性. 的大小和的大小和具有保持两曲线间夹角具有保持两曲线间夹角映射映射 )( zfw )(zfw 夹角在其大小和方向上都等同于经过. 2121之间的夹角之间的夹角与与对应的曲线对应的曲线与与映射后跟映射后跟 CC之间的之间的与与的任意两条曲线的任意两条曲线相交于点相交于点210 CCz第3页/共31页第三页，共32页。4.),(lim)(00000的伸缩率的伸缩率在在为曲线为曲线的值称的值称

3、之间的弧长之间的弧长与与上对应的上对应的表示表示弧长弧长间的间的与与上点上点表示表示极限极限zCwwzzCsszfzz 4）伸缩(shn su)率的的后后通通过过点点是是经经过过映映射射 )( )(00zzfwzf 的形状及的形状及它与曲线它与曲线的伸缩率的伸缩率在在的任何曲线的任何曲线CzC , 0方向无关方向无关. 所以这种映射又具有所以这种映射又具有伸缩率的不变性伸缩率的不变性.第4页/共31页第四页，共32页。52.共形映射共形映射(yngsh)（保角映射（保角映射(yngsh)）是共形映射是共形映射在在是共形的，或称是共形的，或称在在变性，那末变性，那末具有保角性和伸缩率不具有保角性

4、和伸缩率不在在的邻域内是解析的的邻域内是解析的在在设设定义定义0000)()(,)(zzfwzzfwzzzfw 也称为第一类共形映射也称为第一类共形映射.仅保持仅保持(boch)夹角的绝对值不夹角的绝对值不变而方向相反(xingfn)的映射, 称为第二类共形映射具有两个性具有两个性在在那末映射那末映射且且0)(,0)(zzfwzf 质质: (1) 保角性保角性; (2) 伸缩率不变性伸缩率不变性. , , )(0内一点内一点为为内解析内解析在区域在区域设函数设函数DzDzfw 第5页/共31页第五页，共32页。6.), 0(均为常数均为常数定义定义dcbabcaddczbazw 称为分式称为分

5、式(fnsh)线性映射线性映射.任一分式线性映射都可看成任一分式线性映射都可看成(kn chn)是由下列三种基本的是由下列三种基本的分式映射分式映射(yngsh)复合而成复合而成:;)1(bzw 平移映射平移映射 3.分式线性映射;)2(azw 旋转与相似映射旋转与相似映射.1)3(zw 反演映射反演映射第6页/共31页第六页，共32页。7 分式(fnsh)线性映射的性质1）分式线性映射在扩充）分式线性映射在扩充(kuchng)复平面上一一对应复平面上一一对应.2）分式线性映射）分式线性映射(yngsh)在扩充复平面上具有保角性在扩充复平面上具有保角性.,01,性映射是保角的性映射是保角的则分

6、式线则分式线的两条象曲线的夹角的两条象曲线的夹角过原点过原点下所映成的通下所映成的通等于它们在映射等于它们在映射的夹角的夹角处处远的曲线在远的曲线在如果规定两条伸向无穷如果规定两条伸向无穷 zz第7页/共31页第七页，共32页。8 2. 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周;如果有一个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线. 分式线性映射将扩充分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射平面上的圆周映射成成扩充扩充w平面上的圆周平面上的圆周, 即具有保圆性即具有保圆性. 3）分式线性映射在扩充复平面上具有保圆性注意：注意：1. 此时把直线看作此时把直线看作(kn

7、 zu)是经过无穷远点的圆周是经过无穷远点的圆周.第8页/共31页第八页，共32页。9 4）分式(fnsh)线性映射具有保对称性.这一性质(xngzh)称为保对称性. . 的一对对称点的一对对称点的象曲线的象曲线 C , ,21也是关于也是关于它们的象点它们的象点在分式线性映射下在分式线性映射下ww , , 21那那么么的的一一对对对对称称点点是是关关于于圆圆周周设设点点Czz第9页/共31页第九页，共32页。10:)0(可由下式给出可由下式给出即即 bcaddczbazw.:231321231321zzzzzzzzwwwwwwww 4.唯一决定分式线性映射(yngsh)的条件交比不变性交比不

8、变性 ).3 , 2 , 1( kwk依依次次映映射射成成 , 321zzzz异的点异的点平面上任意给定三个相平面上任意给定三个相在在 , , , 321wwww个个相相异异的的点点平平面面上上也也任任意意给给定定三三在在)3 , 2 , 1( , kzk将将线线性性映映射射那那么么就就存存在在唯唯一一的的分分式式第10页/共31页第十页，共32页。11判别判别(pnbi)方法方法:对确定区域对确定区域(qy)的映射的映射 在分式线性映射下在分式线性映射下, C的内部的内部(nib)不是映射成不是映射成 . 的外部的外部的内部便映射成的内部便映射成 CC 方法方法1在分式线性映射下, 如果在圆

9、周C内任取 , , 00的内部就映为的内部就映为则则内部内部的象在的象在若若一点一点CCzz . 的外部的外部为为C , ; 0的内部就映的内部就映则则外部外部的象在的象在若若的内部的内部CCzC 若绕向相反, 则C方法2 . 321321绕向相同绕向相同与与wwwzzz . 的内部的内部的内部就映为的内部就映为则则CC . 的外部的外部的内部就映射为的内部就映射为 C 第11页/共31页第十一页，共32页。12圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所2) 当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 这二围成的区域.3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.1

10、) 当二圆周上没有点映射成无穷远点时当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域.分式线性映射(yngsh)对圆弧边界区域的映射(yngsh):第12页/共31页第十二页，共32页。13 5. 几个初等函数所构成(guchng)的映射映射特点映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍. ).2()1 nzwn幂函数幂函数0 n0)(w0 0)(znnwzzw 第13页/共31页第十三页，共32页。14特殊(tsh)地:.2arg0除去正实轴的区域除去正实轴的区域平面上平面上共形映射成共形映射成将角形域将

11、角形域wnzzwn 因此将角形域的张角拉大（或缩小）时，就可利用幂函数 所构成的共形映射.)(nnzwzw 或根式函数或根式函数)(w00)(zn 2nnwzzw 第14页/共31页第十四页，共32页。15 )(w00)(zai.)2zew 指数函数指数函数zew 如果如果(rgu)要把带形域映射成角形域要把带形域映射成角形域, 常利用指数函数常利用指数函数.0)(w特殊特殊(tsh)地地:0)(zi 22ew 映射映射(yngsh)特点特点: )Im(0 映射成映射成把水平的带形域把水平的带形域az .arg0aw 角形域角形域第15页/共31页第十五页，共32页。16三、典型(dinxng

12、)例题., 11 , 1,11, wizwz映射成映射成且使且使映射成映射成使使求分式线性映射求分式线性映射例1例1,10的对称点的对称点是关于圆周是关于圆周与与因为因为 www,1111iziz 的对称点为的对称点为关于圆周关于圆周又又称点的性质知称点的性质知据分式线性映射不变对据分式线性映射不变对解解1 1 利用利用(lyng)分式线性映射不变交比和对称点分式线性映射不变交比和对称点第16页/共31页第十六页，共32页。17 iziw1 ,11, 1), 0 , 1( iiiizzww111111111即即,1izziz .)1(1)1(为所求为所求所以所以izziw ).1(110 wi

13、zizzw对应对应平面上的逆象为平面上的逆象为在在 由交比不变性知由交比不变性知第17页/共31页第十七页，共32页。18 解2,1 wiz时时因因,)1(izbazw 所以所以, 1,1 wz时时又又由对称点的不变性知，, 011 wiz对应对应,1, 1iab 故故.)1(1)1()1(1)1(为所求为所求所以所以izziizziw 利用利用(lyng)不变对称点不变对称点, bai 故故第18页/共31页第十八页，共32页。19解3 3将所求映射(yngsh)设为zzewi 1,1zzA ,1 wiz时时因为因为, 0)1(1 i 所以所以,11,11ii , 1,1 wz时时又又,11

14、iA 所以所以ziiziw 11111故故利用典型利用典型(dinxng)区域映射公式区域映射公式.)1(1)1(为所求为所求izzi 第19页/共31页第十九页，共32页。20例例2 2 求一个分式线性映射求一个分式线性映射 它将圆它将圆 映成圆映成圆 ,且满足条件且满足条件 )(zfw 1 z1 w. 0)21(, 0)21( ff解解因因 映成映成 的映射为的映射为1 z1 w)1(1)( azaazezfwi ,21 a因为因为,212zzewi 所以所以第20页/共31页第二十页，共32页。21,)2(3)(2zezfi 又因又因3421 ief 所以所以, 0 21arg f .2

15、12zzw 所求映射为所求映射为)2, 1, 0(2 kk第21页/共31页第二十一页，共32页。22)(zfw 12 z22 iw. 0)2(arg,)2( fif例3 求一个分式线性映射 它将圆 映成圆 ，且满足条件 解解,22,21wiwz 令令),(1 gw 1 )(1 gw , 11 w0 ,2221iiiw 第22页/共31页第二十二页，共32页。23,)2)2()2(122)2(2iwiiiwezi iwiwezi 2)( 22 所所以以),(w 与与 互为反函数，互为反函数，)(zf)(w 时，时，当当)(1 gw ,21211wiiwei )(11wg 第23页/共31页第二

16、十三页，共32页。24，由由0) 2(arg fiwiiwiwei 2)(22)( ,32 ie . 0 得得，所以所以iwiwz 2)(22故故.)1(2)2(iizizw , 0) 2(1arg f)(argi 第24页/共31页第二十四页，共32页。25?11平面上的什么区域平面上的什么区域射成射成映映将单位圆盘将单位圆盘问分式线性映射问分式线性映射wzzzw 例4例4 解解:, 1解出解出故从所给映射中将故从所给映射中将由已知条件由已知条件zz ,1 wwz11 zww)1)(1(122 wwww即即, 1)(2 www1 ww所以所以,21)(21 ww,21)Re( w即即.21)

17、Re(1 wwz平面上的半平面平面上的半平面映为映为故故第25页/共31页第二十五页，共32页。26例例5 5 试证明在映射试证明在映射 下下, 互相正交的直线族互相正交的直线族 与与 依此映射成互相正交的直依此映射成互相正交的直线族与圆族线族与圆族 izew 1)Re(Cz 2)Im(Cz .2222Cevu 证证,ivuwiyxz 设设,)Im(,)Re(yzxz )sin(cosxixeewyiz 因为因为,sin,cosxevxeuyy 所所以以,tan,222xuvevuy 第26页/共31页第二十六页，共32页。2721)Im(,)Re(CyzCxz 又因为又因为.tan,1222

18、2CuvevuC 由于由于(yuy)过原点的直线与以原点为心的圆正交，过原点的直线与以原点为心的圆正交，故命题故命题(mng t)得证得证.证毕证毕第27页/共31页第二十七页，共32页。28 例6 6 试将如图所示的区域映射(yngsh)(yngsh)到上半平面. .xyO ii 1解解,1izizw 取分式线性映射取分式线性映射. 0,11 wizwi映射为映射为并将并将映射为映射为将切点将切点由分式(fnsh)线性映射的保圆性知：).)1(11iww 且且两平行的直线两平行的直线将两相切的圆周映射为将两相切的圆周映射为1122iwwewi 取旋转变换取旋转变换将铅直将铅直(qinzh)带形域带形域iww )Im(00)Re(121映射为水平带形域映射为水平带形域第28页/共31页第二十八页，共32页。29将水平带形域将水平带形域取伸缩